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3.3.1 双曲线及其标准方程A.基础达标1已知双曲线C的右焦点为F(3,0),则C的标准方程是()A.1B.1C.1 D.1解析:选B.由题意可知c3,a2,b,故双曲线C的标准方程为1.2“3m5”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析:选A.方程1表示双曲线的充要条件是(m5)(m2m6)0,即(m5)(m3)(m2)0.解得m2或3m5.故“3m5”“m2或3m5”,但“m2或3m5”/ “3m5”,所以选A.3已知ABP的顶点A,B分别为双曲线C:1的左、右焦点,顶点P在双曲线C上,则的值等于()A. B.C. D.解析:选D.4已知F1,F2为双曲线x2y22的左,右焦点,点P在该双曲线上,且|PF1|2|PF2|,则cosF1PF2()A. B.C. D.解析:选C.双曲线方程可化为1,ab,c2,由得|PF2|2,|PF1|4,又因为|F1F2|2c4,在F1PF2中,由余弦定理得cosF1PF2.5如图,ABC外接圆半径R,ABC120,BC10,弦BC在x轴上且y轴垂直平分BC边,则过点A且以B,C为焦点的双曲线的方程为()A.1(x0) B.1(x0)C.1(x0) D.1(x0)解析:选B.由正弦定理:2R,得|AC|14.由余弦定理:|AC|2|BC|2|AB|22|BC|AB|cos ABC,得|AB|6,所以82a,得a4,因为c5,所以b3,所以该双曲线的方程为1(x0)6若双曲线8kx2ky28的一个焦点为(0,3),则k的值为_解析:依题意,双曲线方程可化为1,已知一个焦点为(0,3),所以9,解得k1.答案:17已知双曲线1(a0,b0)的两个焦点分别为F1(2,0),F2(2,0),点P(3,)在双曲线上,则双曲线的方程为_解析:因为|PF1|4,|PF2|2,所以2a2,即a,又因为c2,所以b,所以该双曲线的方程为1.答案:18已知F为双曲线C:1的左焦点,P,Q为C上的点若|PQ|16,点A(5,0)在线段PQ上,则PQF的周长为_解析:显然点A(5,0)为双曲线的右焦点由题意得,|FP|PA|6,|FQ|QA|6,两式相加,利用双曲线的定义得|FP|FQ|28,所以PQF的周长为|FP|FQ|PQ|44.答案:449设圆C与两圆(x)2y24,(x)2y24中的一个内切,另一个外切求圆心C的轨迹L的方程解:依题意得两圆的圆心分别为F1(,0),F2(,0),从而可得|CF1|2|CF2|2或|CF2|2|CF1|2,所以|CF2|CF1|40,b0)由P1,P2在双曲线上,知解之得舍去;当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为1(a0,b0)由P1,P2在双曲线上,知解之得即a29,b216.故所求双曲线的标准方程为1.法二:设双曲线方程为mx2ny21(mn0),由P1,P2在双曲线上,知解得故所求双曲线的标准方程为1.6(选做题)设点P到点M(1,0),N(1,0)的距离之差为2m,到x轴,y轴的距离之比为2,求m的取值范围解:设点P的坐标为(x,y),依题意,有2,即y2x(x0)所以点P
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