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文档简介

第八节 曲线与方程限时规范训练(限时练夯基练提能练)A级基础夯实练1(2018云南质量检测)已知M(2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为()Ax2y22Bx2y24Cx2y22(x) Dx2y24(x2)解析:选D.MN的中点为原点O,易知|OP|MN|2,P的轨迹是以原点O为圆心,2为半径的圆,除去与x轴的两个交点,即P的轨迹方程为x2y24(x2),故选D.2(2018湖北荆门调考)已知是ABC的一个内角,且sin cos ,则方程x2sin y2cos 1表示()A焦点在x轴上的双曲线B焦点在y轴上的双曲线C焦点在x轴上的椭圆D焦点在y轴上的椭圆解析:选D.因为(sin cos )212sin cos ,所以sin cos 0,又sin cos 0,所以sin cos 0,故0,而x2sin y2cos 1可化为1,故方程x2sin y2cos 1表示焦点在y轴上的椭圆3(2018浙江杭州七校质量检测)已知F1,F2是双曲线的两个焦点,Q是双曲线上任意一点,从焦点F1引F1QF2的平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹为()A直线 B圆C椭圆 D双曲线解析:选B.不妨设点Q在双曲线的右支上,延长F1P交直线QF2于点S,QP是F1QF2的平分线,且QPF1S,P是F1S的中点O是F1F2的中点,PO是F1SF2的中位线,|PO|F2S|(|QS|QF2|)(|QF1|QF2|)a,点P的轨迹为圆4(2018湖北武汉调研)已知不等式3x2y20所表示的平面区域内一点P(x,y)到直线yx和直线yx的垂线段分别为PA,PB,若PAB的面积为,则点P的轨迹的一个焦点坐标可以是()A(2,0) B(3,0)C(0,2) D(0,3)解析:选A.不等式3x2y20(xy)(xy)0或其表示的平面区域如图中阴影部分所示点P(x,y)到直线yx和直线yx的距离分别为|PA|,|PB|,AOB120,APB60,SPAB|PA|PB|sin 60,又SPAB,3x2y23,即x21,P点的轨迹是双曲线,其焦点为(2,0),故选A.5已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N.若,其中为常数,则动点M的轨迹不可能是()A圆 B椭圆C抛物线 D双曲线解析:选C.以AB所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,设M(x,y),A(a,0),B(a,0),则N(x,0)因为,所以y2(xa)(ax),即x2y2a2,当1时,轨迹是圆;当0且1时,轨迹是椭圆;当0时,轨迹是双曲线;当0时,轨迹是直线综上,动点M的轨迹不可能是抛物线6设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,且|AB|5,则点M的轨迹方程为()A.1 B1C.1 D1解析:选A.设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),由,得(x,y)(x0,0)(0,y0),则解得由|AB|5,得25,化简得1.7在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足向量在向量上的投影为,则点P的轨迹方程是_解析:由,知x2y5,即x2y50.答案:x2y508在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,0),B(2,2),若点C满足t(),其中tR,则点C的轨迹方程是_解析:设C(x,y),则(x,y),t()(1t,2t),所以消去参数t得点C的轨迹方程为y2x2.答案:y2x29已知圆的方程为x2y24,若抛物线过点A(1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线焦点的轨迹方程是_解析:设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|BB1|2|OO1|4,由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|,所以|FA|FB|4,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)所以抛物线焦点的轨迹方程为1(y0)答案:1(y0)10(2018郑州市第一次质量预测)已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(2)记(1)中轨迹为C,过点N(2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程解:(1)由题意,得5,即5,化简,得x2y22x2y230,所以点M的轨迹方程是(x1)2(y1)225.轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆(2)当直线l的斜率不存在时,l:x2,此时所截得的线段长度为28,所以l:x2符合题意当直线l的斜率存在时,设l的方程为y3k(x2),即kxy2k30,圆心(1,1)到直线l的距离d,由题意,得4252,解得k.所以直线l的方程为xy0,即5x12y460.综上,直线l的方程为x2或5x12y460.B级能力提升练11若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(5,0),B(5,0),距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”以下曲线不是“好曲线”的是()Axy5Bx2y29C.1 Dx216y解析:选B.因为M到平面内两点A(5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,所以M的轨迹是以A(5,0),B(5,0)为焦点的双曲线,方程为1.A项,直线xy5过点(5,0),满足题意,为“好曲线”;B项,x2y29的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C项,1的右顶点为(5,0),满足题意,为“好曲线”;D项,方程代入1,可得y1,即y29y90,所以0,满足题意,为“好曲线”12已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点M在AB上,且AM,点P在平面ABCD内,且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1,则动点P的轨迹是()A直线 B圆C双曲线 D抛物线解析:选D.在平面ABCD内过点P作PFAD,垂足为F,过点F在平面AA1D1D内作FEA1D1,垂足为E,连接PE,则有PEA1D1,即PE为点P到A1D1的距离由题意知|PE|2|PM|21,又因为|PE|2|PF|2|EF|2,所以|PF|2|EF|2|PM|21,即|PF|2|PM|2,即|PF|PM|,所以点P满足到点M的距离等于点P到直线AD的距离由抛物线的定义知点P的轨迹是以点M为焦点,AD为准线的抛物线,所以点P的轨迹为抛物线13已知圆O的方程为x2y29,若抛物线C过点A(1,0),B(1,0),且以圆O的切线为准线,则抛物线C的焦点F的轨迹方程为()A.1(x0) B1(x0)C.1(y0) D1(y0)解析:选D.设抛物线C的焦点为F(x,y),准线为l,过点A,B,O分别作AAl,BBl,OPl,其中A,B,P分别为垂足,则l为圆的切线,P为切点,且|AA|BB|2|OP|6.因为抛物线过点A,B,所以|AA|FA|,|FB|BB|,所以|FA|FB|AA|BB|6|AB|2,所以点F的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且点F不在x轴上,所以抛物线C的焦点F的轨迹方程为1(y0)14如图,已知ABC的两顶点坐标A(1,0),B(1,0),圆E是ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点C的轨迹为曲线M.则曲线M的方程为_解析:由题知|CA|CB|CP|CQ|AP|BQ|2|CP|AB|4|AB|,所以曲线M是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)设曲线M的方程为1(ab0,y0),则a24,b2a23,所以曲线M:1(y0)为所求答案:1(y0)15(2018安徽合肥检测)已知M为椭圆C:1上的动点,过点M作x轴的垂线,垂足为D,点P满足.(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)若A,B两点分别为椭圆C的左、右顶点,F为椭圆C的左焦点,直线PB与椭圆C交于点Q,直线QF,PA的斜率分别为kQF,kPA,求的取值范围解:(1)设P(x,y),M(m,n),依题意知D(m,0),且y0.由,得(mx,y)(0,n),则有又M(m,n)为椭圆C:1上的点,1,即x2y225

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