2018_2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.2.3独立重复试验与二项分布学案.docx

22.3独立重复试验与二项分布1.理解n次独立重复试验的模型2.理解二项分布3能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题1n次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验2二项分布前提在n次独立重复试验中字母的含义X事件A发生的次数p每次试验中事件A发生的概率分布列P(Xk)Cpk(1p)nk，k0，1，2，n结论随机变量X服从二项分布记法记作XB(n，p)，并称p为成功概率明确该公式中各量表示的意义：n为重复试验的次数；p为在一次试验中某事件A发生的概率；k是在n次独立重复试验中事件A发生的次数 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)n次独立重复试验的每次试验结果可以有多种()(2)n次独立重复试验的每次试验的条件可以略有不同()(3)二项分布与超几何分布是同一种分布()(4)两点分布是二项分布的特殊情形()答案：(1)(2)(3)(4) 已知随机变量X服从二项分布，XB，则P(X2)等于()A.B.C. D.答案：D 任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为()A. B.C. D.答案：B 设随机变量XB(2，p)，若P(X1)，则p_答案：探究点1独立重复试验的概率甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响(结果须用分数作答)(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率【解】(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)1P(A1)1()3.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)C()2，P(B2)C()1(1)，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2).1变问法在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率？解：记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)C，P(B3)，所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3).2变问法在本例(2)的条件下，求甲未击中、乙击中2次的概率？解：记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)C(1)2，P(B4)C()2，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P(A4B4).独立重复试验概率求法的三个步骤 1.某一试验中事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中发生k次的概率为()ACpk(1p)nkB(1p)kpnkC(1p)k DC(1p)kpnk解析：选D.由于P(A)p，P(A)1p，所以在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为C(1p)kpnk.故选D.2某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率解：(1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)0.8.5次预报相当于5次独立重复试验“恰有2次准确”的概率为PC0.820.230.051 20.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为PC0.25C0.80.240.006 72.所以所求概率为1P10.006 720.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.探究点2二项分布抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点P的横坐标，另一枚的点数为点P的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点P在圆x2y216内的次数X的分布列【解】由题意可知，点P的坐标共有6636(种)情况，其中在圆x2y216内的有点(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共8种，则点P在圆x2y216内的概率为.由题意可知XB，所以P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C.故X的分布列为X0123P解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次 1.将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k1次正面的概率，那么k的值等于()A0 B1C2 D3解析：选C.事件A“正面向上”，发生的次数B，由题设得CC，所以kk15，所以k2.2位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动5次后位于点(2，3)的概率是()A. BCCC DCC解析：选B.质点P由原点移动到(2，3)需要移动5次，且必须有2次向右，3次向上，所以质点P移动5次后位于点(2，3)的概率即为质点P的5次移动中恰有2次向右移动的概率，而每一次向右移动的概率都是，所以向右移动的次数XB，所以所求的概率为P(X2)CC.究点3二项分布的综合应用袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球求：(1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列；(2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列【解】(1)有放回抽样时，取到的黑球的次数X可能的取值为0，1，2，3.由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则XB，则P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C.所以X的分布列为X0123P(2)不放回抽样时，取到的黑球数Y可能的取值为0，1，2，则P(Y0)，P(Y1)，P(Y2).所以Y的分布列为Y012P二项分布实际应用问题的解题策略(1)根据题意设出随机变量(2)分析出随机变量服从二项分布(3)找到参数n(试验的次数)和p(事件发生的概率)(4)写出二项分布的分布列 在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题规定每位考生必须且只需在其中选做一题设4名考生选做这两题的可能性均为. (1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X，求X的分布列解：(1)设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“ABA B”，且事件A，B相互独立所以P(ABA B)P(A)P(B)P(A)P(B)(1)(1).(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.且XB(4，)所以P(Xk)C()k(1)4kC()4(k0，1，2，3，4)所以随机变量X的分布列为X01234P1某人投篮一次投进的概率为，现在他连续投篮6次，且每次投篮相互之间没有影响，那么他投进的次数服从参数为的二项分布，记为B，计算P(2)()A.B.C. D.解析：选A.根据二项分布概率的计算公式可得，P(2)C，故选A.2一名射手对同一目标独立地射击四次，已知他至少命中一次的概率为，则此射手一次射击命中的概率为()A. B.C. D.解析：选B.设此射手射击四次命中次数为，一次射击命中的概率为p，所以B(4，p)依题意可知，P(1)，所以1P(0)1C(1p)4，所以(1p)4，所以p.3某市公租房的房源位于甲、乙、丙三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的则该市的4位申请人中恰有2人申请甲片区房源的概率为_解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请甲片区房源记为A，则P(A)，恰有2人申请甲片区的概率为PC.答案：4甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.求乙恰好比甲多击中目标2次的概率解：设“乙恰好比甲多击中目标2次”为事件A，“乙击中目标2次且甲击中目标0次”为事件B1，“乙击中目标3次且甲击中目标1次”为事件B2，则AB1B2，B1，B2为互斥事件，则P(A)P(B1)P(B2)C()2C()3C()3C()3，所以乙恰好比甲多击中目标2次的概率为. 知识结构深化拓展1.独立重复试验的基本特征(1)每次试验都在同样条件下进行(2)每次试验都只有两种结果：发生与不发生(3)各次试验之间相互独立(4)每次试验，某事件发生的概率都是一样的2n次独立重复试验的概率公式中各字母的含义A基础达标1某学生通过英语听力测试的概率为，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()A.B.C. D.解析：选A.记“恰有1次获得通过”为事件A，则P(A)C()(1)2.故选A.2设随机变量服从二项分布B(6，)，则P(3)等于()A. B.C. D.解析：选C.P(3)P(0)P(1)P(2)P(3)C()6C()6C()6C()6.故选C.3甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以31的比分获胜的概率为()A. B.C. D.解析：选A.当甲以31的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以31的比分获胜的概率为PC()2(1)3，故选A.4一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为()A6 B5C4 D3解析：选C.由1C0.9，得0.1，所以n4.5口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列an，an，如果Sn为数列an的前n项和，那么S73的概率为()AC()2()5BC()2()5CC()2()5DC()2()2解析：选B.由S73知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为，摸取白球的概率为，则S73的概率为C()2()5，故选B.6下列例子中随机变量服从二项分布的有_随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数；有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数(M1)1CP(X3)0.5 DP(X1)0.9，P(X3)0.6，P(X1，得k6，即当kP(Xk)；当k6时，P(X7)P(X6)；当k6时，P(Xk1)98%，即0.2n0.02.两边同时取以10为底的对数，得nlg 0.2lg 0.02，即n(lg 21)2.43.因为nN*，所以n的最小正整数值为3.答案：3三、解答题15已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为和，假设两人射击相互独立，且每人各次射击互不影响(1)若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；(2)若甲、乙两人各射击4次，求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率解：(1)若甲、乙两人各射击1次，由题意可得他们都没有命中目标的概率为，故至少有一人命中目标的概率为1.(2)若甲、乙两人各射击4次，则甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率为CC.16为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：队别北京上海天津八一人数4635(1)从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一队的概率；(2)中国女排奋力拼搏，战胜了韩国队获得冠军，若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为，求随机变量的分布列解：(1)“从这18名队员中选出两名，两人来自同一队”记作事件A，则P(A).(2)的所有可能取值为0，1，2.因为P(0)，P(1)，P(2)，所以的分布列如下：012P17.甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列解：用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”则P(Ak)，P(Bk)，k1，2，3，4，5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)()2()2()2.(2)X的可能取值为2，3，4，5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2).P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3).P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4).P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4).故X的分布列为X2345P18.甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲、乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分