浙江2020版高考数学第四章导数及其应用4.2导数的应用（第1课时）讲义（含解析）.docx

4.2导数的应用最新考纲考情考向分析1.了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间2.理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值.考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大.1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；考查f(x)在方程f(x)0的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值概念方法微思考1“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f(x)0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零2对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示必要不充分题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(2)函数的极大值一定大于其极小值()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()(4)开区间上的单调连续函数无最值()题组二教材改编2P32A组T4如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下面判断正确的是()A在区间(2,1)上f(x)是增函数B在区间(1,3)上f(x)是减函数C在区间(4,5)上f(x)是增函数D当x2时，f(x)取到极小值答案C解析在(4,5)上f(x)0恒成立，f(x)是增函数3P29练习T2设函数f(x)lnx，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点答案D解析f(x)(x0)，当0x2时，f(x)2时，f(x)0，x2为f(x)的极小值点4P26练习T1函数f(x)x36x2的单调递减区间为_答案(0,4)解析f(x)3x212x3x(x4)，由f(x)0，得0x0；当x时，y0，得x2或x2；令f(x)0，得2x0，即8x0，解得x，函数y4x2的单调增区间为.故选B.2已知函数f(x)xlnx，则f(x)()A在(0，)上单调递增B在(0，)上单调递减C在上单调递增D在上单调递减答案D解析因为函数f(x)xlnx的定义域为(0，)，所以f(x)lnx1(x0)，当f(x)0时，解得x，即函数的单调递增区间为；当f(x)0时，解得0x0，则其在区间(，)上的解集为，即f(x)的单调递增区间为和.思维升华确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)求f(x)(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间(4)解不等式f(x)0，所以令g(x)ax22x0，解得x0或x.当a0时，函数g(x)ax22x在(，0)和上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递减；函数g(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递增当a0，即f(x)0，函数yf(x)单调递增；函数g(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递减综上所述，当a0时，函数yf(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，0)；当a0时，函数yf(x)的单调递减区间为(，0)，单调递增区间为；当a0)，试讨论f(x)的单调性解由题意得f(x)exax2(2a2)x(a0)，令f(x)0，解得x10，x2.当0a0，则x，令f(x)0，则0x1时，令f(x)0，则x0或x，令f(x)0，则x0.综上所述，当0a1时，f(x)在和(0，)上单调递增，在上单调递减题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例2(1)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f(x)，当x0时，xf(x)f(x)0.若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()AbacBacbCabcDcab答案D解析设g(x)，则g(x)，又当x0时，xf(x)f(x)0，所以g(x)0，即函数g(x)在区间(，0)内单调递减因为f(x)为R上的偶函数，所以g(x)为(，0)(0，)上的奇函数，所以函数g(x)在区间(0，)内单调递减由0ln2e3，可得g(3)g(e)g(ln2)，即ca1，f(0)4，则不等式exf(x)ex3(其中e为自然对数的底数)的解集为()A(0，)B(，0)(3，)C(，0)(0，)D(3，)答案A解析令g(x)exf(x)ex，g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1，f(x)f(x)1，g(x)0，yg(x)在定义域上单调递增，exf(x)ex3，g(x)3，g(0)3，g(x)g(0)，x0，故选A.命题点2根据函数单调性求参数例3已知函数f(x)lnx，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围解(1)h(x)lnxax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax2有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)21，所以G(x)min1.所以a1.又因为a0，所以a的取值范围为(1,0)(0，)(2)因为h(x)在1,4上单调递减，所以当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立所以aG(x)max，而G(x)21，因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，又因为a0，所以a的取值范围是(0，)引申探究1本例(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递增，求a的取值范围解因为h(x)在1,4上单调递增，所以当x1,4时，h(x)0恒成立，所以当x1,4时，a恒成立，又当x1,4时，min1(此时x1)，所以a1，即a的取值范围是(，12本例(2)中，若h(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围解h(x)在1,4上存在单调递减区间，则h(x)有解，又当x1,4时，min1，所以a1，又因为a0，所以a的取值范围是(1,0)(0，)思维升华根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题跟踪训练2 (1)(2018宁波模拟)已知三次函数f(x)x3(4m1)x2(15m22m7)x2在(，)上是增函数，则m的取值范围是()Am4B4m2C2m0，得0x1，由g(x)1.当a0时，令g(x)0，得x1或x，若，由g(x)0，得x1或0x，由g(x)0，得x1，即0a0，得x或0x1，由g(x)0，得1x，若1，即a，在(0，)上恒有g(x)0.综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a时，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，)上单调递增1函数f(x)x22lnx的单调递减区间是()A(0,1) B(1，)C(，1) D(1,1)答案A解析f(x)2x(x0)，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数2.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()Af(b)f(c)f(d)Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(e)f(d)答案C解析由题意得，当x(，c)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，c)上是增函数，因为abf(b)f(a)，故选C.3(2018台州调考)定义在R上的可导函数f(x)，已知y2f(x)的图象如图所示，则yf(x)的单调递增区间是()A0,1 B1,2C(，1 D(，2答案D解析据函数y2f(x)的图象可知，当x2,2f(x)1f(x)0，且使f(x)0的点为有限个，所以函数yf(x)在(，2上单调递增，故选D.4(2018浙江台州中学质检)已知函数f(x)ax3ax2x(aR)，下列选项中不可能是函数f(x)图象的是()答案D解析由题意得f(x)ax2ax1，若函数f(x)的图象如D选项中的图象所示，则f(x)0在R上恒成立，所以此时不等式组无解，所以D错误，故选D.5定义在R上的函数yf(x)，满足f(3x)f(x)，f(x)0，若x13，则有()Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) D不确定答案B解析据已知由f(x)f(3x)，可得函数图象关于直线x对称，又由f(x)时，f(x)0；当x0.又若x13，则有，因此据函数的单调性可得f(x1)f(x2)，故选B.6(2018浙江名校协作体模拟)已知函数f(x)(2x1)exax23a(x0)为增函数，则a的取值范围是()A2，) B.C(，2 D.答案A解析f(x)(2x1)exax23a在(0，)上是增函数，f(x)(2x1)ex2ax0在区间(0，)上恒成立，即2aex.设g(x)ex，则g(x)ex，由g(x)ex0和x0得x，当x时，g(x)0，当0x时，g(x)0，g(x)在x处取得最小值，g4，2a4，a2，故选A.7若函数f(x)x3bx2cxd的单调递减区间为(1,3)，则bc_.答案12解析f(x)3x22bxc，由题意知，1x3是不等式3x22bxc0的解，1,3是f(x)0的两个根，b3，c9，bc12.8已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，f(x)的导数f(x)，则不等式f(x2)的解集为_答案x|x1解析设F(x)f(x)x，F(x)f(x)，f(x)，F(x)f(x)0，即函数F(x)在R上单调递减f(x2)，f(x2)f(1)，F(x2)1，即不等式的解集为x|x19已知函数f(x)x24x3lnx在区间t，t1上不单调，则t的取值范围是_答案(0,1)(2,3)解析由题意知f(x)x4，由f(x)0，得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t0在上有解，所以b0，则当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增；若k0，函数f(x)单调递增；当x时，f(x)0，则当且仅当1，即k1时，函数f(x)在(1,1)上单调递增；若k0时，f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，)；当a0时，f(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1)；当a0时，f(x)为常函数(2)由(1)及题意得f(2)1，即a2，f(x)2lnx2x3，f(x).g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g(x)在区间(t,3)上有变号零点由于g(0)2，当g(t)0时，即3t2(m4)t20对任意t1,2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m0，即m.m9.即实数m的取值范围是.13(2018杭州高级中学模拟)已知函数f(x)x3ax2bxc，g(x)为f(x)的导函数若f(x)在(0,1)上单调递减，则下列结论正确的是()Aa23b有最小值3Ba23b有最大值2Cf(0)f(1)0Dg(0)g(1)0答案D解析由题意可得g(x)f(x)3x22axb.因为f(x)在(0,1)上单调递减，所以g(x)0在(0,1)上恒成立，即g(0)0，g(1)0，所以g(0)g(1)0，故选D.14(2019杭州第二中学模拟)对于函数f(x)和g(x)，设xR|f(x)0，xR|g(x)0，若存在，使得|1，则称f(x)与g(x)互为“情侣函数”若函数f(x)ex2x3与g(x)axlnx互为“情侣函数”，则实数a的取值范围为()A.B.C.D.答案C解析令f(x)ex2x30，解得x2，根据条件可得|2|1，解得13，对于函数g(x)axlnx，当a0时，g(1)0，满足条件；当a0时，要使得3，由ylnx可得y，设切点为(x0，y0)，则对应的切线方程为yy0(xx0)，若该切线过原点