2018_2019学年高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理学案新人教A版.docx_第1页
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文档简介

13.1二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式3会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题,二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)二项展开式公式右边的式子二项式系数C(k0,1,2,n)二项展开式的通项Tk1Cankbk通项公式中的注意点(1)Tk1是展开式中的第k1项,而不是第k项; (2)公式中a,b的指数和为n,且a,b不能随便颠倒位置;(3)要将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题;(4)对二项式(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题 判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)(ab)n展开式中共有n项()(2)在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响()(3)Cankbk是(ab)n展开式中的第k项()(4)(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同()答案:(1)(2)(3)(4) 的二项展开式中,第4项是()ACx12BCx10CCx10 DCx8答案:C C2nC2n1C2nkC等于()A2n B2n1C3n D1答案:C (12x)5的展开式的第三项的系数为_,第三项的二项式系数为_答案:4010探究点1二项式定理的正用与逆用(1)用二项式定理展开;(2)化简:(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)【解】(1)法一:1CCC1.法二:(x1)4(x4Cx3Cx2Cx1)1.(2)原式C(x1)5C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C(x1)01(x1)151x51. 运用二项式定理的解题策略(1)正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂形如(ab)n的展开式中会出现正负间隔的情况对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开(2)逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数注意逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的,则是(ab)n的形式 1.设n为自然数,化简C2nC2n1(1)kC2nk(1)nC_解析:原式C2n(1)0C2n1(1)1(1)kC2nk(1)nC20(21)n1.答案:12求(a2b)4的展开式解:(a2b)4Ca4Ca3(2b)Ca2(2b)2Ca(2b)3C(2b)4a48a3b24a2b232ab316b4.探究点2求二项展开式中的特定项或其系数已知()n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162,求:(1)n的值;(2)展开式中含x3的项【解】(1)因为T3C()n2()24Cx,T2C()n1()2Cx,依题意得4C2C162,所以2CC81,所以n281,n9.(2)设第r1项含x3项,则Tr1C()9r()r(2)rCx,所以3,r1,所以第二项为含x3的项:T22Cx318x3.1变问法在本例条件下,求二项展开式的常数项解:因为Tr1(2)rCx,若Tr1为常数项,则93r0,所以r3,因此常数项为第4项(2)3C672.2变问法在本例条件下,求二项展开式的所有有理项解:因为Tr1(2)rCx,若Tr1为有理项,当且仅当为整数因为0r9,rN,所以r1,3,5,7,9,即展开式中的有理项共5项,它们是T218x3,T4672,T6,T8,T10.(1)求二项展开式特定项的步骤 (2)正确区分二项式系数与该项的系数二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项式无关,后者与二项式,二项式的指数及项数均有关 二项式(2x)6的展开式中的常数项为_解析:Tr1C(2x)6r(1)r()r(1)rC26r()rx62r,令62r0,得r3,所以T4(1)3C20.答案:20探究点3二项式定理的灵活应用(1)(x2xy)5的展开式中,x5y2的系数为()A10B20C30 D60(2)(2018三明高二检测)(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案)【解析】(1)法一:(x2xy)5(x2x)y5,含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.故选C.法二:(x2xy)5为5个x2xy之积,其中有两个取y,两个取x2,一个取x即可,所以x5y2的系数为CCC30.故选C.(2)依题意,(xy)8的二项展开式的通项为Tk1Cx8kyk,0k8,kZ.当k7时,T8Cxy78xy7;当k6时,T7Cx2y628x2y6.所以(xy)(xy)8的展开式中含x2y7的项为x8xy7(y)28x2y620x2y7,故x2y7的系数为20.【答案】(1)C(2)20(1)两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点找到构成展开式中特定项的组成部分分别求解再相乘,求和即得(2)三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性 1.(2017高考全国卷)(1x)6展开式中x2的系数为()A15 B20C30 D35解析:选C.(1x)6展开式的通项Tr1Cxr,所以(1x)6的展开式中x2的系数为1C1C30,故选C.2求(x23x2)5的展开式中x的系数解:法一:因为(x23x2)5(x2)5(x1)5(Cx5Cx42C25)(Cx5Cx4C),所以展开后含x的项为Cx24CC25Cx240x,所以(x23x2)5的展开式中x的系数为240.法二:把(x23x2)5看成5个(x23x2)相乘,每个因式各取一项相乘得到展开式中的一项,x项可由1个因式取3x,4个因式取2得到,即C3xC24240x,所以(x23x2)5的展开式中x的系数为240.1S(x1)44(x1)36(x1)24x3,则S等于()Ax4Bx41C(x2)4 Dx44解析:选A.S(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C(x1)14x4,故选A.2(x2)n的展开式中,常数项为15,则n的值为()A3 B4C5 D6解析:选D.展开式的通项为Tr1C(x2)nr(1)r(x1)r(1)rCx2n3r.令2n3r0,得nr(n,rN*),若r2,则n3不符合题意,若r4,则n6,此时(1)4C15,所以n6.3(2016高考全国卷)(2x)5的展开式中,x3的系数是_(用数字填写答案)解析:由(2x)5得Tr1C(2x)5r()r25rCx5,令53得r4,此时系数为10.答案:104求二项式()9展开式中的有理项解:Tr1C(x)9r(x)r(1)rCx,令Z(0r9),得r3或r9,所以当r3时,4,T4(1)3Cx484x4,当r9时,3,T10(1)9Cx3x3.综上:展开式中的有理项为84x4与x3. 知识结构深化拓展1.二项展开式的特点(1)项数:共有(n1)项(2)二项式系数:依次为组合数C,C,C,C,C.(3)每一项的次数是一样的,都为n次,展开式依a的降幂、b的升幂排列2求二项展开式的特定项常见题型及处理措施(1)求第k项TkCank1bk1.(2)求常数项对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项)(3)求有理项对于有理数,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解(4)求整式项,求二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致., A基础达标1(x2)n的展开式共有11项,则n等于()A9B10C11 D8解析:选B.因为(ab)n的展开式共有n1项,而(x2)n的展开式共有11项,所以n10.故选B.2(x2)5展开式中的常数项为()A80 B80C40 D40解析:选C.Tk1C(x2)5k()kC2kx105k,令105k0得k2.所以常数项为T3C2240.3在(nN*)的展开式中,若存在常数项,则n的最小值是()A3 B5C8 D10解析:选B.Tk1C(2x3)nk2nkCx3n5k,令3n5k0,则nk,又nN*,kN,所以n的最小值为5.4(2018浙江宁波北仑中学高二下学期期中)二项式的展开式中的有理项共有()A4项 B5项C6项 D7项解析:选C.二项式的展开式中,通项公式为Tr1C2rx20.令20为整数,可得r0,2,4,6,8,10,共6项故选C.5二项式的展开式的第二项的系数为,则x2dx的值为()A. B3C3或 D3或解析:选A.因为Tr1C(ax)6rCa6rx6r,因为展开式的第二项的系数为,所以Ca5,所以a1,因为x2dxx2dxx3,所以选A.6在的展开式中,中间项是_解析:由n6知,中间项是第4项,T4C(2x2)3C(1)323x3160x3.答案:160x37(2016高考山东卷)若(ax2)5的展开式中x5的系数是80,则实数a_解析:(ax2)5的展开式的通项Tr1C(ax2)5r()rCa5rx10,令10r5,得r2,所以Ca380,解得a2.答案:28(1x)2(1x)5的展开式中含x3的项是_解析:法一:(1x)2(1x)5(1x2)2(1x)3(12x2x4)(13x3x2x3),所以x3的系数为1(1)(2)(3)5.故含x3的项为5x3.法二:因为(1x)2的通项:Tr1Cxr,(1x)5的通项:Tk1(1)kCxk,所以(1x)2(1x)5的通项:(1)kCCxkr(其中r0,1,2,k0,1,2,3,4,5)令kr3,则有或或所以x3的系数为CCCC5,故含x3的项为5x3.答案:5x39已知(3)10,求:(1)展开式第四项的二项式系数;(2)展开式中第四项的系数;(3)第四项解:(3)10的展开式的通项是:Tk1C(3)10k()k()kC310kx5k.(1)展开式第四项的二项式系数为当k3时,C120.(2)展开式中第四项的系数为()3C3777 760.(3)展开式中的第四项为:T4()3C37x5377 760.10设(x)n的展开式中第二项与第四项的系数之比为12,求含x2的项解:(x)n的展开式中第二项与第四项分别为:T2Cxn1()nxn1,T4Cxn3()32Cxn3.根据题意得到,整理得n23n40,解得n4或n1(没有意义,舍去)设(x)4的展开式中含x2的项为第(r1)项,则Tr1Cx4r()r(r0,1,2,3,4),根据题意有4r2,解得r2,所以(x)4的展开式中含x2的项为T3Cx2()212x2.B能力提升11(2018沈阳高二检测)若对于任意实数x,有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3,则a2的值为()A3 B6C9 D12解析:选B.x32(x2)3,a2C26.12(2018合肥高二检测)已知C2C22C2nC729,则CCC的值为()A64 B32C63 D31解析:选B.C2C2nC(12)n3n729,所以n6,所以CCC32.13已知在(x2)n的展开式中,第9项为常数项求:(1)n的值;(2)展开式中x5的系数;(3)含x的整数次幂的项的个数解:二项展开式的通项为Tk1C(x2)nk()k(1)k()nkCx2nk.(1)因为第9项为常数项,即当k8时,2nk0,即2n200,解得n10.(2)令2

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