2019年中考数学总复习第5章四边形第17讲矩形、菱形与正方形（精讲）练习.docx

第十七讲矩形、菱形与正方形宜宾中考考情与预测宜宾考题感知与试做1.（2013宜宾中考）矩形具有而菱形不具有的性质是（B）A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等2.（2016宜宾中考）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（A）A.4.8 B.5 C.6 D.7.2（第2题图）（第4题图）3.（2014宜宾中考）菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为12，则较长的对角线长度是5 cm.4.（2015宜宾中考）如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PEAB于点E.若PE3，则点P到AD的距离为3.5.（2013宜宾中考）如图，在ABC中，ABC90，BD为AC的中线，过点C作CEBD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FGBD，连结BG、DF.若AG13，CF6，则四边形BDFG的周长为20.（第5题图）（第6题图）6.（2015宜宾中考）如图，在正方形ABCD中，BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论：ABEDCF；DP2PHPB；.其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）宜宾中考考点梳理矩形及其性质与判定定义有一个角是直角的平行四边形是矩形性质（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有2条对称轴判定（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是矩形面积Sab（a，b表示矩形的长和宽）菱形及其性质与判定定义菱形是有一组邻边相等的平行四边形性质（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的对角线互相垂直平分且每一条对角线都平分一组对角；（3）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴判定（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边都相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形面积S底高（l1，l2表示菱形两条对角线的长）正方形及其性质与判定定义四个角是直角，四条边相等的四边形是正方形性质（1）正方形的对边平行，四条边都相等；（2）正方形的四个角都是直角；（3）对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角判定（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形；（4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形面积Sa2（a表示正方形的边长）；S（l表示正方形对角线的长）平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系1.下列说法中正确的是（D）A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形C.两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D.两条对角线相等的菱形是正方形2.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CEBD，DEAC.若AC6 cm，则四边形CODE的周长为（D）A.6 cmB.8 cmC.10 cm D.12 cm（第2题图）（第3题图）3.如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使ABC60，则四边形ABCD的面积为6.4.如图，在ABC中，AB3，AC4，BC5，P为BC上一动点，PEAB于点E，PFAC于点F，则EF的最小值为2.4.5.（2018遵义中考）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AEBE），且EOF90，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连结MN.（1）求证：OMON；（2）若正方形ABCD的边长为4，点E为OM的中点，求MN的长.（1）证明：四边形ABCD是正方形，OAOB，OADOBA45，OAMOBN135.EOF90，AOB90，AOMBON，OAMOBN（A.S.A.）.OMON；（2）解：过点O作OHAD于点H.正方形ABCD的边长为4，OHHA2.点E为OM的中点，EAOH，HM2HA4，OM2，MNOM2.中考典题精讲精练矩形的性质和判定【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB2，BC5，E、P分别在AD、BC上，且DEBP1.（1）判断BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形，并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积.【解析】（1）根据矩形的性质得出CD2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE2BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理可得结论；（2）根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出四边形DEBP和AECP是平行四边形，推出EHFP，EFHP，推出四边形EFPH是平行四边形，再由矩形的判定可得结论；（3）根据三角形的面积公式求出CF，再求出EF，根据勾股定理求出PF，根据矩形面积公式可得答案.【解答】解：（1）BEC是直角三角形.理由如下：四边形ABCD是矩形，ADCABP90，ADBC5，ABCD2.由勾股定理，得CE.同理，BE2.CE2BE252025.BC25225，BE2CE2BC2，BEC90，BEC是直角三角形；（2）四边形EFPH是矩形.证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC.DEBP，四边形DEBP是平行四边形，BEDP.ADBC，ADBC，DEBP，AECP，四边形AECP是平行四边形，APCE，四边形EFPH是平行四边形.BEC90，四边形EFPH是矩形.（3）解：在RtPCD中，FCPD.由三角形的面积公式，得PDCFPCCD，CF.EFCECF.PF，S矩形EFPHEFPF，即四边形EFPH的面积是.菱形的性质和判定【典例2】下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（C）A.对边平行且相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直 D.对角互补【解析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断.【典例3】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AD、CD边上的中点，连结EF.若EF，BD2，则菱形ABCD的面积为2.【解析】由题意知EF是ACD的中位线，根据三角形中位线定理求出AC的长，然后根据菱形的面积公式求解.正方形的性质和判定【典例4】某同学把两个完全相同的直角三角形纸片重叠在一起（如图1），固定ABC不动，将DEF沿线段AB向右平移.图1图2（1）若A60，斜边AB4，设ADx（0x4），两个直角三角形纸片重叠部分的面积为y，试求出y与x的函数关系式；1. 如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（C）A.3 B.2C. D.42.如图，四边形ABCD为平行四边形纸片.把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF.且AB10 cm，AD8 cm，DE6 cm.（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长.（1）证明：把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，AEAB10，AE2102100，AD2DE2AE2，ADE是直角三角形，且D90，又四边形ABCD为平行四边形，平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：设BFx cm，则EFBFx cm，ECCDDE1064 cm，FCBCBF8x cm.在RtEFC中，EC2FC2EF2，即42（8x）2x2，解得x5，故BF5 cm；（3）解：在RtABF中，AB2BF2AF2，AB10 cm，BF5 cm，AF5 cm.3.下列性质中菱形不一定具有的是（C）A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.既是轴对称图形，又是中心对称图形4.下列命题中，真命题是（A）A.对角线互相平分且相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形5.已知一个菱形的周长为24 cm，有一个内角为60，则这个菱形较短的一条对角线的长为6 cm.6.如图，在四边形ABCD中，ABDC，ABAD，对角线AC、BD交于点O，AC平分BAD，过点C作CEAB交AB的延长线于点E，连结OE.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB，BD2，求OE的长.（1）证明：ABCD，CABACD.AC平分BAD，CABCAD，CADACD，ADCD.又ADAB，ABCD.又ABCD，四边形ABCD是平行四边形.又ABAD，四边形ABCD是菱形；（2）解：四边形ABCD是菱形，ACBD，OAOCAC，OBODBD1.在RtAOB中，AOB90，OA2.CEAB，AEC90.在RtAEC中，点O为AC中点，OEACOA2.7.如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB2 cm，则图中阴影部分的面积为cm2.8.我们给出如下定义：顺次连结任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形. （1）如图1，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点.求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，连结CD、CF、BF，得到四边形CDBF.在运动过程中，四边形CDBF能否为正方形？若能，请指出此时点D的位置，并说明理由；若不能，请你添加一个条件，并说明四边形CDBF为正方形？【解析】（1）设CB与DF交于点G.根据平移的性质得到DFAC，所以由平行线的性质、勾股定理求得GD，BG，最后由三角形的面积公式列出函数关系式；（2）不能为正方形，添加条件：ACBC时，点D运动到AB中点位置时四边形CDBF为正方形.当点D移至AB的中点时，四边形CDBF是菱形.再由ACBC，D为AB的中点，可得CDB90，从而可知四边形CDBF为正方形.【解答】解：（1）如图，设CB与DF交于点G.DFAC，DGBC90，GDBA60，GBD30.BD4x，GD，BG，ySBDG（0x4）；（2）不能为正方形.添加条件：ACBC.ACBDFE90，D是AB的中点，CDAB，BFDE，CDBDBFBE.CFBD，CDBDBFCF，四边形CDBF是菱形.ACBC，D是AB的中点，CDAB即CDB90，四边形CDBF是正方形.（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PAPB，PCPD，APBCPD，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使APBCPD90，其他条件不变，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想.图1图2解：（1）连结BD.点E、H分别为边AB、AD的中点，EHBD，EHBD.点F、G分别为BC、DC的中点，FGBD，FGBD，EHFG，EHFG，中点四边形EFGH是平行四边形；（2）中点四边形EFGH是菱形.证明：连结AC、BD.APBCPD，APBAPDCPDAPD，即APCBPD.在APC和BPD中，