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文档简介
6.2 定积分的几何应用 1,用曲线积分求旋转曲面的面积,蜀南竹海,6.2 定积分的几何应用 2,作为定积分的几何应用,旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。 本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。 将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。,6.2 定积分的几何应用 3,先看特殊的情形,旋转轴为坐标轴,6.2 定积分的几何应用 4,设L是上半平面内的一条平面曲线。 将L绕x轴旋转一周得一旋转曲面,求该旋转曲面的面积Ax。,我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。,L,6.2 定积分的几何应用 5,L,在曲线L的(x,y)处取一弧微分,它到x轴的距离是 y (如图)。,该弧微分绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积约为:,(面积元素),于是整个曲线绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为:,6.2 定积分的几何应用 6,命题1:上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为:,L,6.2 定积分的几何应用 7,命题2:右半平面内一条曲线L绕y轴旋转而成的旋转曲面的面积为:,同理,L,6.2 定积分的几何应用 8,下面针对不同的曲线方程 将曲线积分化为定积分 得到熟悉的旋转曲面的面积公式,6.2 定积分的几何应用 9,直角坐标方程,6.2 定积分的几何应用 10,y=f(x),如果,L绕 x轴旋转的旋转曲面的面积为:,6.2 定积分的几何应用 11,y=f(x),如果,L绕 y轴旋转的旋转曲面的面积为:,6.2 定积分的几何应用 12,参数方程,6.2 定积分的几何应用 13,如果,L绕 x轴旋转的旋转曲面的面积为:,6.2 定积分的几何应用 14,如果,则L绕 y轴旋转的旋转曲面的面积为:,6.2 定积分的几何应用 15,极坐标方程,6.2 定积分的几何应用 16,如果,L绕 x轴旋转的旋转曲面的面积为:,6.2 定积分的几何应用 17,我们来推导一个有关曲线L的形心(质心)和 旋转曲面面积之间的关系的定理: 古尔丁定理,Paul Guldin(古尔丁) 1577 1643 Swiss mathematician who wrote on volumes and centres of gravity.,6.2 定积分的几何应用 18,L,上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积等于该曲线的形心所经过的路程与L的弧长s的乘积。,古尔丁定理,形心,6.2 定积分的几何应用 19,如果你很容易求得曲线L的弧长和形心,用古尔丁定理就很容求得旋转曲面的面积。,L,形心,6.2 定积分的几何应用 20,下面来看一般的情形,一般的曲线 & 一般的旋转轴,6.2 定积分的几何应用 21,设L是xOy坐标平面内的一条曲线。L在直线 l 的一侧(如图) 。 将L绕直线 l 旋转一周得一旋转曲面,求该旋转曲面的面积A。,我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。,L,l,6.2 定积分的几何应用 22,L,在曲线L的(x,y)处取一弧微分,它到直线 l 的距离是 :,该弧微分绕 l 旋转而成的旋转曲面的面积约为:,于是整个曲线L绕直线 l 旋转而成的旋转曲面的面积为:,设直线 l 的方程为 ax+by+c=0。,l,6.2 定积分的几何应用 23,命题3 曲线L绕直线 ax+by+c=0旋转而成的旋转曲面的面积为:,L,l,6.2 定积分的几何应用 24,下面举几个例子来说明 命题中的公式的应用,由于其中积分较难 计算用数学软件Maple完成,6.2 定积分的几何应用 25,例1 求曲线y=x2(0x2)绕直线 y=2x旋转的 旋转曲面的面积A。,y:=x-x2; f:=(x,y)-2*x-y; a:=0:b:=2: (2*Pi/sqrt(5)*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=ab)=(2*Pi/sqrt(5)*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=ab); evalf(%);,with(plots): quxian:=plot(x2,2*x,x=-13,y=-15,thickness=4): display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,6.2 定积分的几何应用 26,例2 求y=x2 (0x1)绕直线 y=x-1旋转的 旋转曲面的面积A。,y:=x-x2; f:=(x,y)-y-x+1; a:=0:b:=1: sqrt(2)*Pi*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=ab)=sqrt(2)*Pi*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=ab); evalf(%);,6.2 定积分的几何应用 27,例3 求y=lnx (1xe)绕直线 y= -x旋转的 旋转曲面的面积A。,y:=x-ln(x); f:=(x,y)-x+y; a:=1:b:=exp(1
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