[高等教育]第三讲 符号计算.ppt

1,2,第三章 符号计算,3,1. 什么是符号运算？ 与数值运算的区别 数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。 符号运算无须事先对独立变量赋值,但是必须预先定义，运算结果以标准的符号形式表达。,一 符号计算基础,符号运算重点用于解决自然科学理论中，各种公式、表达式以及相应的推导问题,4,特点： 运算对象可以是没赋值的符号变量 可以获得任意精度的解 Symbolic Math Toolbox符号运算工具包通过调用Maple软件实现符号计算的。 maple软件主要功能是符号运算， 它占据符号软件的主导地位。,5,2. 符号变量与符号表达式,f = sin(x)+5x f 符号变量名 sin(x)+5x 符号表达式 符号标识,6, 的内容可以是符号表达式，也可以是符号方程。 例： f1=ax2+bx+c 二次三项式 f2= ax2+bx+c=0 方程 f3=Dy+y2=1 微分方程 符号表达式或符号方程可以赋给符号变量，以后调用方便；也可以不赋给符号变量直接参与运算,7,3.1. 建立符号变量和符号常数 (1)sym函数 sym函数用来建立单个符号量，例如，a=sym(a)建立符号变量a，此后，用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算。,3. 符号对象,8,例 考察符号变量和数值变量的差别。 在 MATLAB命令窗口，输入命令： a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d); %定义4个符号变量 w=10;x=5;y=-8;z=11; %定义4个数值变量 A=a,b;c,d %建立符号矩阵A B=w,x;y,z %建立数值矩阵B A_d=det(A) %计算符号矩阵A的行列式 B_d=det(B) %计算数值矩阵B的行列式,9,运行结果： A = a, b c, d B = 10 5 -8 11 A_d = a*d-b*c B_d = 150,10,例 比较符号常数与数值在代数运算时的差别。,在 MATLAB命令窗口，输入命令： pi2=pi ; % 定义数值变量 pi1=sym(pi); % 定义符号变量,sin(pi1/3) % 计算符号表达式值 ans = 1/2*3(1/2),sin(pi2/3) % 计算数值表达式值 ans = 0.8660,11,k1=sym(8); k2=sym(2);k3=sym(3); % 定义符号变量 r1=8; r2=2;r3=3; % 定义数值变量,sqrt(k3+sqrt(k2) ans = (3+2(1/2)(1/2 ),sqrt(k1) ans = 2*2(1/2),sqrt(r3+sqrt(r2) ans = 2.1010,sqrt(r1) ans = 2.8284,12,符号对象建立时可以附加属性： real、positive 和 unreal, k=sym(k,positive), x=sym(x,real), x=sym(x,unreal),表明 x 是实的,表明 k 是正的,去掉 x 的附加属性,13,例：利用符号变量验证,var=sym(x,positive); %定义正的积分变量 upper=sym(b,real); %定义积分上限 lower=sym(a,real); %定义积分下限 integral=int(1/(var),lower,upper),integral =log(b)-log(a),14,(2)syms函数,syms函数的一般调用格式为： syms var1 var2 varn 函数定义符号变量var1,var2,varn等, 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。,例： Syms var1 var2 varn Syms var1,var2,varn,3.2. 建立符号表达式 例 用两种方法建立符号表达式。 利用sym函数： U=sym(3*x2+5*y+2*x*y+6) %定义符号表达式U 利用syms函数 syms x y; %建立符号变量x、y V=3*x2+5*y+2*x*y+6 %定义符号表达式V U-V %求符号表达式的值 ans =0 2*U-V+6 ans= 3*x2+5*y+2*x*y+12,16,例 计算3阶范得蒙矩阵行列式的值。设A是一个由符号变量a,b,c确定的范得蒙矩阵。 命令如下： syms a b c; U=a,b,c; A=1,1,1;U;U.2 %建立范得蒙符号矩阵 det(A) %计算A的行列式值,A = 1, 1, 1 a, b, c a2, b2, c2 ans = b*c2-c*b2-a*c2+a*b2+a2*c-a2*b,17,例 建立x,y的一般二元函数。 在MATLAB命令窗口，输入命令： syms x y; f=sym(f(x,y);,f = f(x,y),18,3.3.符号矩阵的创建 数值矩阵A=1,2;3,4 A=a,b;c,d 用matlab函数sym创建矩阵(symbolic 的缩写) 命令格式：A=sym( ) 符号矩阵内容同数值矩阵 需用sym指令定义 需用 标识,19,例如：A = sym(a , 2*b ; 3*a , 0) A = a, 2*b 3*a, 0 注意：符号矩阵的每一行的两端都有方括号，这是与 matlab数值矩阵的一个重要区别。,20,用字符串直接创建矩阵,模仿matlab数值矩阵的创建方法 需保证各行元素包含的字符串有相 同的长度。,例：A = a,2*b; 3*a, 0 A = a, 2*b 3*a, 0,21,符号表达式的修改,a.直接修改 可用、 键找到所要修改的表达式，直接修改 b.指令修改 用R=subs(S, old, new)来修改 将符号表达式中的符号变量old用数值型变量或表达式new替换,22,例如：, syms x y f=x2*y+5*x*sqrt(y) f = x2*y+5*x*y(1/2) subs(f,x,3) ans = 9*y+15*y(1/2) subs(f,y,3) ans = 3*x2+5*x*3(1/2), findsym(f) ans = x, y findsym(f,1) ans = x findsym(f,2) ans = x,y,23,将数值矩阵转化为符号矩阵 函数调用格式：sym(A) A=1/3,2.5;1/0.7,2/5 A = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000 sym(A) ans = 1/3, 5/2 10/7, 2/5,符号矩阵与数值矩阵的转换,24,将符号矩阵转化为数值矩阵 函数调用格式： numeric(A) A = 1/3, 5/2 10/7, 2/5 numeric(A) ans = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000,25,4. 基本的符号运算,符号运算的运算符与函数和数值计算几乎完全相同 基础运算符： +，-，*, /等 关系运算符 三角、双曲函数 指数、对数函数 复数函数 矩阵代数命令,26,4.1. 任意精度的数学运算,在symbolic中有三种不同的算术运算： 数值类型 matlab的浮点算术运算 有理数类型 maple的精确符号运算 vpa类型 maple的任意精度算术 运算,27,浮点算术运算 1/2+1/3 (定义输出格式format long) ans = 0.83333333333333 符号运算 sym(1/2)+(1/3) ans = 5/6 精确解,28,任意精度算术运算 digits(n) 设置可变精度，缺省32位 vpa(x,n) 显示可变精度计算 digits(25) vpa(1/2+1/3) %在digits指定精度下，给出结果 ans = .8333333333333333333333333,29,vpa(5/6,40) %在40位精度下给出计算结果 ans = .8333333333333333333333333333333333333333 a=sym(1/4,exp(1);log(3),3/7) a = 1/4,exp(1) log(3), 3/7 vpa(a,10) ans = .2500000000, 2.718281828 1.098612289, .4285714286,30,4.2. 符号表达式运算 (1)符号表达式的四则运算：同数值运算 例 符号表达式的四则运算示例。 在 MATLAB命令窗口，输入命令： syms x y z; f1=2*x+x2*x-5*x+x3 %符号表达式的结果为最简形式 f2=2*x/(5*x) %符号表达式的结果为最简形式 f3=(x+y)*(x-y) %符号表达式的结果不是x2-y2，而是 %(x+y)*(x-y),f1 = -3*x+2*x3 f2 = 2/5 f3 = (x+y)*(x-y),31,(2)因式分解与展开 MATLAB提供处理符号表达式和符号矩阵的操作命令，例如因式分解、展开和化简等 若S为符号表达式或符号矩阵。 factor(S) 对S分解因式 expand(S) 对S进行展开 collect(S) 对S合并同类项 collect(S,v) 对S按变量v合并同类项 simple(S)，simplify(S) 将S化简,32,例 对符号矩阵A的每个元素分解因式。 命令如下： syms a b x y; A=2*a2*b3*x2-4*a*b4*x3+10*a*b6*x4,3*x*y-5*x2;4,a3-b3 factor(A) %对A的每个元素分解因式,33,A = 2*a2*b3*x2-4*a*b4*x3+10*a*b6*x4, 3*x*y-5*x2 4, a3-b3 ans = 2*b3*a*x2*(5*b3*x2-2*b*x+a), x*(-5*x+3*y) 4, -(b-a)*(b2+b*a+a2),34,在有理数范围内对多项式 进行因式分解，其中n是1，8范围内的整数,syms x y n=1:8; p=x.n-y.n; f=factor(p),f = x-y -(y-x)*(x+y) -(y-x)*(y2+x*y+x2) -(y-x)*(x+y)*(y2+x2) -(y-x)*(y4+y3*x+y2*x2+y*x3+x4) -(y-x)*(x+y)*(y2+x*y+x2)*(y2-x*y+x2) -(y-x)*(y6+y5*x+y4*x2+y3*x3+y2*x4+y*x5+x6) -(y-x)*(x+y)*(y2+x2)*(y4+x4),35,例：将符号矩阵元素展开,syms alpha theta a b x y r1=expand(sin(alpha+theta); r2=expand(2(x+y); r3=expand(a+b)3); r=r1;r2;r3 r = sin(alpha)*cos(theta)+cos(alpha)*sin(theta) 2x*2y a3+3*a2*b+3*a*b2+b3,36,例 计算表达式S的值。 命令如下： syms x y; s=(-7*x2-8*y2)*(-x2+3*y2); expand(s) %对s展开 collect(s,x) %对s按变量x合并同类项(无同类项) factor(ans) % 对ans分解因式,37,s=(-7*x2-8*y2)*(-x2+3*y2); %原始符号表达式 运算结果： ans = 7*x4-13*x2*y2-24*y4 %展开 ans =7*x4-13*x2*y2-24*y4 %合并同类项（无） ans =(8*y2+7*x2)*(x2-3*y2) %因式分解,38,collect(S,v)及collect(S)的用法： syms x y collect(x2*y+y*x-x2-2*x) ans = (y-1)*x2+(y-2)*x collect(x2*y+y*x-x2-2*x,x) ans = (y-1)*x2+(y-2)*x collect(x2*y+y*x-x2-2*x,y) ans = (x2+x)*y-x2-2*x,39,(3)表达式化简 MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有： simplify(S) 应用函数规则对S进行化简。 simple(S) 调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。 例 化简公式 命令如下： syms x y; s=(x2+y2)2+(x2-y2)2; simple(s) %MATLAB自动调用多种函数对s进行化简，并显示每步结果,40,simple(s)执行过程中调用的函数 simplify: 2*x4+2*y4 radsimp: 2*x4+2*y4 combine(trig): 2*x4+2*y4 factor: 2*x4+2*y4 expand: 2*x4+2*y4 combine: (x2+y2)2+(x2-y2)2 convert(exp): (x2+y2)2+(x2-y2)2 convert(sincos): (x2+y2)2+(x2-y2)2 convert(tan): (x2+y2)2+(x2-y2)2 collect(x): 2*x4+2*y4 mwcos2sin: (x2+y2)2+(x2-y2)2 ans = 2*x4+2*y4,41,R, how=simple(s) R = 2*y4+2*x4 how = simplify,42,4.3. 符号矩阵运算,关于矩阵代数运算、数值运算和符号运算几乎相同 1、符号矩阵的四则运算 符号矩阵的四则运算与幂运算可直接用：+、*、.*、/、./、.、.实现。, B=sym(a,b;c,d); C=sym(x,y;z,w); B*C ans = a*x+b*z, a*y+b*w c*x+d*z, c*y+d*w,43,2、符号矩阵的其他运算,(1)转置运算：、., B=sym(a,b;c,d); B %求转置共轭 conj(a), conj(c) conj(b), conj(d) B. %求转置 a, c b, d,B = a, b c, d,44,(2)行列式运算：det,(3)求逆：inv(A)或A(-1),(4)求秩：rank(A),(5)求特征值：V,D=eig(A), A=sym(1,2;3,4) eig(A),A = 1, 2 3, 4 ans = 5/2+1/2*33(1/2) 5/2-1/2*33(1/2),45,4.3 符号表达式中变量的确定 MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为： findsym(S,n) 函数返回符号表达式S中的n个符号变量，若没有指定n，则返回S中的全部符号变量。 在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLAB将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。 可用findsym(S,1)查找系统的缺省变量，事实上，MATLAB按离字符x最近原则确定缺省变量。,46,二、符号微积分,47,表达式的极限是微分的基础 求表达式极限的命令用“limit”，基本用法见下表,1. 符号极限运算,48,例 求函数f (x) = ax2+bx+c的极限。,解 输入及结果如下：,f2 = a*x2+3*x+c,syms a b c x,f = a*x2+b*x+c,f1 = limit (f,x,2),f1 = 4*a+2*b+c,f2 = limit (f,b,3),49,例 求函数f (x) = axy+bx+cy+d的极限。,解 输入及结果如下：,f2 = 3*a*x+b*x+3*c+d,syms a b c d x;,f = a*x*y+b*x+cy+d;,f1 = limit (f,x,3),f1 = 3*a*y+3*b+c*y+d,f2 = limit (f,y,3),50,例 用导数定义求函数 f (x)=cos(x)的导数。,解 输入及结果如下：,ans = - sin(x),syms t x,limit ( (cos (x+t)-cos (x) )/ t, t,0),51,求导数用命令“diff”，相关的语法见下表,2. 符号微分运算,52,例、求函数f (x) = ax2+bx+c的导数。,解 输入及结果如下：,f4=0,syms a b c x,f1=diff(a*x2+b*x+c) %缺省对x求微分,f1=2*a*x+b,f2=diff(a*x2+b*x+c,2) %对x求二次微分,f2=2*a,f3=diff(f,a) %对a求微分,f3=x2,f4=diff(f,a,2), f=a*x2+b*x+c,53,运用命令“ int ”可以求函数式的积分但是，函数的积分不可能都存在，即使有时存在，也可能限于软件无法顺利表达出来当MATLAB不能找到积分时，它将返回函数表达式运用“ int ”的语法见下表,2. 符号积分运算,54,解 输入及结果如下：,syms a b c x,f=a*x2+b*x+c,f1=int(f),f1 =1/3*a*x3+1/2*b*x2+c*x,例 求,55,f4=int(int(f,a),x) %双重积分,f2=int(f,x,0,2),f2 =8/3*a+2*b+2*c,f3=int(f,a) %对a积分,f3=1/2*a2*x2+b*x*a+c*a,f4 =1/6*a2*x3+1/2*b*x2*a+c*a*x,56,例 求椭球的体积。 命令如下： syms a b c z; f=pi*a*b*(c2-z2)/c2; V=int(f,z,-c,c) V = 4/3*pi*a*b*c,57,3. 符号积分变换,数学变换中通过积分运算将一类函数转变为另一种函数，使得计算分析更为简洁 三个主要积分变换： 傅里叶变换 拉普拉斯变换 Z 变换,58,（1）. 傅立叶(Fourier)变换 在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是： fourier(fx,x,t) 求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。 ifourier(Fw,t,x) 求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x)。,59,例 求函数的傅立叶变换及其逆变换。 命令如下： syms x t; y=abs(x); Ft=fourier(y,x,t) %求y的傅立叶变换 fx=ifourier(Ft,t,x) %求Ft的傅立叶逆变换,Ft =-2/t2 fx = x*(2*heaviside(x)-1) %heaviside阶跃函数,60,（2）. 拉普拉斯(Laplace)变换 在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是： laplace(fx,x,t) 求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。 ilaplace(Fw,t,x) 求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。,61,例 计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换. 命令如下： x=sym(x);y=x2; Ft=laplace(y,x,t) %对函数y进行拉普拉斯变换 fx=ilaplace(Ft,t,x) %对函数Ft进行拉普拉斯逆变换,Ft = 2/t3 fx =x2,62,（3）. Z变换 对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是： ztrans(fn,n,z) 求fn的Z变换像函数F(z) iztrans(Fz,z,n) 求Fz的z变换原函数f(n),63,例 求数列 fn=e-n的Z变换及其逆变换。 命令如下： syms n z fn=exp(-n); Fz=ztrans(fn,n,z) %求fn的Z变换 f=iztrans(Fz,z,n) %求Fz的逆Z变换,Fz =z/exp(-1)/(z/exp(-1)-1) f =exp(-1)n,64,三、符号方程和符号微分方程,65,1. 一般符号代数方程的求解,求解函数是solve，调用格式为： solve(eqn1,eqn2,eqnN,var1,var2,varN) 其中eqn1,eqn2,eqnN等为符号表达式或不带符号的字符串；var1,var2,varN 为自变量,66,例 解方程。 命令如下： x1=solve(1/(x+2)+4*x/(x2-4)=1+2/(x-2),x) %解方程(1) f=sym(x-(x3-4*x-7)(1/3)=1); x2=solve(f) %解方程(2) x3=solve(2*sin(3*x-pi/4)=1) %解方程(3) x4=solve(x+x*exp(x)-10,x) %解方程(4)。仅标出方程的左端,x1 =1 x2 =3 x3 =5/36*pi x4 =1.633506170155846384193165178978923428636,67,例 求方程组 的解。 命令如下： x y=solve(1/x3+1/y3=28,1/x+1/y=4,x,y) x = 1 1/3 y = 1/3 1,68,2. 符号线性方程组的求解,求解线性方程组的函数是linsolve，调用格式为： linsolve(A,B) 它的结果与sym(A)/sym(B)相同,69,3. 符号非线性方程组的求解,求解函数是fsolve，调用格式为： fsolve(f,X0) 以X0为初始矩阵来求解方程f 例：求解下列方程组 3x2-y2=0 3xy2-x2-1=0,70,解微分方程的基本操作命令见下表,4. 常微分方程的符号求解,71,例 求以下微分方程和微分方程组：,的特解。,72,解 输入及结果如下：,syms x y,y=dsolve(Dy=x,x),y =1/2*x2+C1,dsolve (D2y= Dy+1,x),ans =-x+C1+C2*exp(x),dsolve(D2y= Dy+1,y(0)=1,Dy(0)=0,x),ans =-x+exp(x),(1),(2),(3),73,1. 级数的符号求和 级数符号求和函数symsum，调用格式为： symsum(s,v,a,b) 符号表达式S中的变量v从a到b的有限和,四、符号级数运算,74,例 求级数 之和。 命令如下： n=sym(n); s1=symsum(1/n2,n,1,inf) %求s1 s1 = 1/6*pi2,75,函数的泰勒级数,MATLAB提供了taylor函数将函数展开为幂级数，其调用格式为： taylor(f,v,n,a) 该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项(即变量v的n-1次幂)为止，n的缺省值为6。v的缺省值与diff函数相同。参数a指定将函数f在自变量v=a处展开，a的缺省值是0。,76,例 求函数在指定点的泰勒展开式。 命令如下： x=sym(x); f2=sqrt(1-2*x+x3)-(1-3*x+x2)(1/3); taylor(f2,6) %求泰勒展开式 ans = 1/6*x2+x3+119/72*x4+239/72*x5,77,1. 函数曲线图 ezplot(F, a,b) 作函数F在a,b上的图 F可以是显函数、隐函数或参变量函数 其表示可以是字符串、函数句柄、 Inline 函数或匿名函数. a,b 缺省为-2*pi, 2*pi,五、符号分析可视化,78,例：绘出符号表达式 在0，10间的曲线,程序： syms x y=x2+exp(x); ezplot(y,0,10),79,ezpolar(F, a,b) 作极坐标函数F()在 ab上的图, a,b 缺省值为0, 2*pi ezplot3(x,y,z,a,b) 作曲线x=x(t),y=y(t),z=z(t)在atb上 的三维曲线图, a,b的缺省值为0, 2*pi,2 .函数曲面图 ezmesh(z, a,b,c,d) 作函数z(x,y)在 axb, cyd上的图,80,ezmesh(x,y,z,a,b,c,d) 作参变量函数x(s,t),y(s,t), z(s,t)在 asb,ctd上的图 函数用字符串、函数句柄、Inline函数 或匿名函数 ezmesh(, n) 网格用n2个节点， n的缺省值为60. 类似命令有ezsurf, ezcontour等,81,1、符号计算局限性 （1）许多问题没有解析解，一般无法用符号计算求解； （2）速度太慢，尤其是高维问题； （3）数值近似求解算法参数设置不够灵活，往往不能满足实际需要； （4