上海市松江区2019届高三数学上学期期末质量监控试题.docx

上海市松江区2019届高三数学上学期期末质量监控试题一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 设集合，则 2. 若复数满足，则 3. 已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，且点在函数的图像上，则实数 4. 已知等差数列的前项和为，则 5. 若增广矩阵为的线性方程组无解，则实数的值为 6. 已知双曲线标准方程为，则其焦点到渐近线的距离为 7. 若向量，满足，且，则向量与夹角为 8. 在中，内角、所对的边分别是、，若，则的面积 9. 若，则图像上关于原点对称的点共有 对10. 已知、是单位圆上三个互不相同的点，若，则的最小值是 11. 已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，则称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为、，对于下列命题： 线段、的中点的广义坐标为； A、两点间的距离为； 向量平行于向量的充要条件是； 向量垂直于向量的充要条件是.其中的真命题是 （请写出所有真命题的序号）12. 已知函数的定义域为，且和对任意的都成立，若当时，的值域为，则当时，函数的值域为 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ）A. B. C. D. 14. 若，则是的（ ）条件A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要15. 将函数的图像向下平移个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 16. 对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作，若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为（ ）A. B. C. D. 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，求函数的最小正周期及当时的最大值.18. 已知函数（常数）（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求的最大值.19. 某科技创新公司投资万元研发了一款网络产品，产品上线第个月的收入为万元，预计在今后若干个月内，该产品每月的收入平均比上一月增长，同时，该产品第个月的维护费支出为万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加万元.（1）分别求出第个月该产品的收入和维护费支出，并判断第个月该产品的收入是否足够支付第个月的维护费支出？（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总支出包括维护费支出和研发投资支出）20. 已知曲线上的任意一点到两定点、的距离之和为，直线交曲线于、两点，为坐标原点.（1）求曲线的方程；（2）若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（3）若，求面积的取值范围.21. 对于给定数列，若数列满足：对任意，都有，则称数列是数列的“相伴数列”.（1）若，且数列是的“相伴数列”，试写出的一个通项公式，并说明理由；（2）设，证明：不存在等差数列，使得数列是的“相伴数列”；（3）设，（其中），若是的“相伴数列”，试分析实数、的取值应满足的条件.参考答案一. 填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 12令，则有，即当时，又，即当时，的值域为当时，的值域为当时，的值域为，时，的值域为，依此类推可知，当时，的值域为，当时，的值域为又，当时，综上，当时，函数的值域为.二. 选择题13. A 14. B 15. A 16. D三、解答题17解：（1）由得, ， 2分 4分 6分（2） 8分 10分函数的最小正周期为 12分当时，当，即时， 14分18解：（1）若为奇函数，必有 得，2分当时， 当且仅当时，为奇函数 4分又，对任意实数，都有不可能是偶函数 6分（2）由条件可得：恒成立， 8分记，则由 得， 10分此时函数在上单调递增， 12分所以的最小值是， 13分所以 ，即的最大值是 14分19解：记产品从第一个月起，每个月的收入为数列，每个月的维护费支出为数列，则， 4分(1) 第6个月的收入为：万元，第6个月的维护费为：万元，6分第6个月的收入还不足以支付第6个月的维护费 7分 (2)到第个月，该产品的总收入为 9分该产品的总支出为 11分由题意知，只需 ，即 12分由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=10. 从第10个月起，该产品的总收入首次超过总支出 14分注：20. 解：（1）由题意知曲线是以原点为中心，长轴在轴上的椭圆， 1分设其标准方程为，则有，所以， 4分（2）证明：设直线的方程为， 5分设则由 可得，即， 8分， 9分直线的斜率与 的斜率的乘积=为定值 10分（3）解法一：设则由知，即， 11分 12分因、两点在椭圆上，有 即 也即 得 13分 又由 得 15分 16分解法二：当直线、分别与坐标轴重合时，易知的面积，11分当直线、的斜率均存在且不为零时，设直线、的方程为：、 ， 点，由 可得，代入 得 12分同理可得， 13分令，则 14分由知 15分综上可知， 16分21 解：（1）， 2分此时，所以是数列的“相伴数列” 4分注：答案不唯一，只需是正负相间的数列（2）证明，假设存在等差数列是的“相伴数列”，则有 5分若，则由 得， 又由 得 又因为是等差数列，所以，得，与矛盾 7分同理，当，则由 得，又由 得又因为是等差数列，所以，得，与矛盾 9分所以，不存在等差数列，使得数列是的“相伴数列” 10分（3）由于，易知且， 当时，由于对任意，都有，故只需， 12