高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算学案.docx

3.2.2复数代数形式的乘除运算1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念.1.复数乘法的运算法则和运算律（1）复数的乘法法则设z1abi，z2cdi（a，b，c，dR），则z1z2（abi）（cdi）（acbd）（adbc）i.（2）复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3C，有交换律z1z2z2z1结合律（z1z2）z3z1（z2z3）乘法对加法的分配律z1（z2z3）z1z2z1z32.共轭复数（1）如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数.z的共轭复数用表示，即zabi（a，bR），则abi.（2）复数与共轭复数的乘法性质z（abi）（abi）a2b2.3.复数的除法法则设z1abi，z2cdi（cdi0），则i（cdi0）.1.复数的乘法的两点说明（1）复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开（i2换成1）.（2）多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用. 2.对复数除法的两点说明（1）分子、分母同乘以分母的共轭复数cdi，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.（2）注意最后结果要将实部、虚部分开.3.共轭复数的注意点（1）结构特点：实部相等，虚部互为相反数.（2）几何意义：在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴对称. 判断正误（正确的打“”，错误的打“”）（1）两个复数的积与商一定是虚数.（）（2）两个共轭复数的和与积是实数.（）（3）复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减.（）答案：（1）（2）（3） （2017高考全国卷）（1i）（2i）（）A.1iB.13iC.3i D.33i解析：选B.依题意得（1i）（2i）2i23i13i，选B. （）A.12i B.12i C.12i D.12i答案：B 若x2yi和3xi互为共轭复数，则实数x，y.答案：11探究点1复数代数形式的乘除运算（1）（1i）；（2）；（3）.【解】（1）（1i）（1i）（1i）ii.（2）i.（3）1i.解决复数的乘、除运算问题的思路（1）复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成1，并将实部、虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如（abi）2a22abib2i2a2b22abi，（abi）3a33a2bi3ab2i2b3i3a33ab2（3a2bb3）i.（2）复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算. 1.（2017高考全国卷）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A.i（1i）2B.i2（1i）C.（1i）2 D.i（1i）解析：选C.i（1i）2i2i2，不是纯虚数，排除A；i2（1i）（1i）1i，不是纯虚数，排除B；（1i）22i，2i是纯虚数.故选C.2.计算：（1）（4i）（62i）（7i）（43i）；（2）；（3）.解：（1）（4i）（62i）（7i）（43i）（248i6i2）（2821i4i3）（262i）（3117i）515i.（2）ii0.（3）1i.探究点2i的运算性质（1）等于.（2）化简i2i23i3100i100.【解】（1）i2 017（i4）504i1504ii.故填i.（2）设Si2i23i3100i100，所以iSi22i399i100100i101，得（1i）Sii2i3i100100i101100i1010100i100i.所以S5050i.所以i2i23i3100i1005050i.（1）等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即inin1in2in30（nN*）.（2）记住以下结果，可提高运算速度.（1i）22i，（1i）22i. i，i.i.1.复数z，则z2z4z6z8z10的值为（）A.1B.1C.i D.i解析：选B.z21，所以111111.2.计算：（1）；（2）ii2i2 017.解：（1）原式i（1i）（i）1 008ii2（1）1 008i1 008i1i4252i11i.（2）法一：原式i.法二：因为inin1in2in3in（1ii2i3）0（nN*），所以原式（ii2i3i4）（i5i6i7i8）（i2 013i2 014i2 015i2 016）i2 017i2 017（i4）504i1504ii.探究点3共轭复数（1）已知a，bR，i是虚数单位，若ai与2bi互为共轭复数，则（abi）2（）A.54i B.54iC.34i D.34i（2）把复数z的共轭复数记作z，已知（12i）z43i，求z.【解】（1）选D.因为ai与2bi互为共轭复数，所以a2，b1，所以（abi）2（2i）234i.（2）设zabi（a，bR），则zabi，由已知得：（12i）（abi）（a2b）（2ab）i43i，由复数相等的定义知，得a2，b1，所以z2i. 若把本例（2）条件改为（12i）z43i，求.解：设zxyi（x，yR），则（12i）（xyi）43i，得解得所以z2i.所以i.共轭复数性质的巧用（1）z|z|2|2是共轭复数的常用性质.（2）实数的共轭复数是它本身，即zRz，利用此性质可以证明一个复数是实数.（3）若z0且z0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数. 1.若复数z满足i，其中i为虚数单位，则z（）A.1i B.1iC.1i D.1i解析：选A.由题意i（1i）1i，所以z1i，故选A.2.已知zC，为z的共轭复数，若z3i13i，求z.解：设zabi（a，bR），则abi（a，bR），由题意得（abi）（abi）3i（abi）13i，即a2b23b3ai13i，则有解得或所以z1或z13i.1.复数zi（1i）2（i为虚数单位）的共轭复数是（）A.2B.2C.2i D.2i解析：选A.因为zi（1i）2i（12ii2）i2i2，所以2.2.若复数（1bi）（2i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b（）A.2 B.C. D.2解析：选D.因为（1bi）（2i）2b（2b1）i是纯虚数，所以b2.3.已知i为虚数单位，则复数的模等于（）A.B. C.D.解析：选D.因为i，所以|i|，故选D.4.计算：（1）（1i）（i）（1i）；（2）（1i）2 016；（3）（23i）（12i）.解：（1）原式（1i）（1i）（i）（1i2）（i）2（i）1i.（2）原式（1i）21 008（12ii2）1 008（2i）1 00821 008i1 00821 008（i2）50421 008.（3）原式i.知识结构深化拓展1.复数常见运算小结论（1）（1i）22i1i.（2）（1i）22i1i1i.（3）（1i）（1i）21i1i.（4）ii.（5）i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1（nZ）.2.常用公式（abi）（abi）a2b2；（abi）2a2b22abi；（abi）3a33ab2（3a2bb3）i. A基础达标1.（2017高考全国卷）复平面内表示复数zi（2i）的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选C.zi（2i）2ii212i，故复平面内表示复数zi（2i）的点位于第三象限，故选C.2.（2018武汉期末检测）设复数z，则z的共轭复数为（）A.1 B.1C.i D.i解析：选D.zii，于是z的共轭复数为i.3.（2018荆州模拟）若a为实数，且3i，则a（）A.4 B.3C.3 D.4解析：选D.因为3i，所以2ai（3i）（1i）24i，又aR，所以a4.4.设复数z满足i，则|z|（）A.1 B.C. D.2解析：选A.由i，得zi，所以|z|i|1，故选A.5.若z6，z10，则z（）A.13i B.3iC.3i D.3i解析：选B.设zabi（a，bR），则abi，所以解得a3，b1，则z3i.6.已知i为虚数单位，若复数z，z的共轭复数为，则z.解析：依题意，得zi，所以i，所以zi（i）1.答案：17.设复数z2i，若复数z的虚部为b，则b等于.解析：因为z2i，所以z2i2i2iii，所以b.答案：8.设x，y为实数，且，则xy.解析：可化为，即，从而5（xxi）2（y2yi）515i，于是解得所以xy4.答案：49.计算：（1）（2i）（3i）；（2）.解：（1）（2i）（3i）（7i）i.（2）22i.10.已知复数z.（1）求复数z；（2）若z2azb1i，求实数a，b的值.解：（1）z1i.（2）把z1i代入z2azb1i，得（1i）2a（1i）b1i，整理得ab（2a）i1i，所以解得B能力提升11.已知复数z1i，则（）A.2i B.2iC.2 D.2解析：选B.法一：因为z1i，所以2i.法二：由已知得z1i，从而2i.12.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知zbi（a，bR）为“理想复数”，则（）A.a5b0 B.3a5b0C.a5b0 D.3a5b0解析：选D.因为zbibi（b）i.由题意知，b，则3a5b0.13.已知复数z满足z（13i）（1i）4.（1）求复数z的共轭复数；（2）若zai，且复数对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围.解：（1）z1i3i3424i，所以复数z的共轭复数为24i.（2）2（4a）i，复数对应向量为（2，4a），其模为.又复数z所对应向量为（2，4），其模为2.由复数对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得，208aa220，a28a0，a