《二元函数极限》PPT课件.ppt

2 二元函数极限,一、二元函数极限,1. 二元函数极限定义,问题:,1) 极限定义中为什么要求P0为D的聚点；,2) P属于P0的邻域与D的交集之意；,3) 极限与定义域D有关吗?,4) 极限定义的方邻域形式和圆邻域形式(在具体证题时常用这两种形式).,定义1,设,为定义在,上的二元函数,为,的聚点,为一实数.若,使当,时,恒有,则称,在,上当,时,以A为极限,记作,定义1,设,为定义在,上的二元函数,为,的聚点,为一实数.若,使当,时,恒有,则称,在,上当,时,以A为极限,记作,1) 要求P0为D的聚点,保证能让,2) P属于P0的邻域与D的交,保证P始终在f的定义域中;,3) 二重极限是相对一定的D而言的(意即相对不同的D其可能不同);,4) 极限定义的方邻域形式和圆邻域形式(在具体证题时常用这两种形式).,定义1-1,使当,时,恒有,4) 极限定义的方邻域形式和圆邻域形式(在具体证题时常用这两种形式).,定义1-2,使当,时,恒有,定义1-3,使当,或,时,恒有,2. 用定义证明极限,基本思路:,根据,找,使当,或,时,有,找,的方法:,逐次放大出,与,的线性组合,或含因子,的式子,例1,依定义证明：,分析：,逐次放大出,=,=,=,=,例1,依定义证明：,=,=,=,=,问题转化为：如何将,放大为常数？,可以对,进行常数限制，从而可以把,放大为常数,所以，当,时，,只要,即,例2,设,分析：,=,=,=,=,只要：,故,3. PP0的任意性,定理16.5,对于D的任一子集E, 只要P0是E的聚点, 就有,意义:,如果,则无论动点P以任何方式趋于P0, 其极限都是A.,推论1,只要能找到一种方式的极限不存在, 则极限就不存在.,推论2,推论2,例4,讨论,在(0,0)的极限.,解:,当动点(x,y)沿任何直线趋于(0,0)时,f(x,y)的极限为0,当动点(x,y)沿抛物线,趋于(0,0)时,f(x,y)的极限为1.,故f(x,y)在(0,0)的极限不存在.,沿着任何直线的极限存在, 二重极限不一定存在.,注：取动点P趋于P0的不同形式， 以说明二元函数极限的不存在， 是与一元函数极限的重要区别。,4. 其它极限形式,定义2,其它极限形式:,例5,设,证明,证:,要证:,把,具体化:,因为,对任给正数M，取,当,时，,有,而,进而,5. 二重极限的性质,（1） 极限存在的唯一性。,若函数f(x,y)在点(x0,y0)存在极限，则其极限是唯一的.,（2） 极限存在的的局部保号性。,且A0,（3） 极限存在的局部有界性。,（4） 极限的运算性质。,（5） 两边夹法则,6. 二重极限的计算,(1) 利用极限定义证明极限,例1,证明:,证明:,因为,所以,故,要使,只要取,于是当,即,便有,故,(2) 利用极限运算的运算法则,例2,解:,因为,所以,故,(3) 利用极坐标变换求极限,例3,解:,令,则,=0,(4) 利用二个重要极限,求极限.,例4,求极限,解:,(1),因为,而,所以,=0,(4) 利用二个重要极限,求极限.,例4,求极限,(5) 利用两边夹法则,例5,求极限,解:,(不妨设,令,故,=0,由两边夹法则, 得,=0,二、累次极限,问题:,1.,的定义中,是实数集还是平面点集?,为何意?,2.,对,与,有何要求?是否要求,在,有定义?,3.,的定义中,中的,是否可取,4. 能否用累次极限求二重极限?,5. 两个累次极限存在且相等,是否二重极限就一定存在?,6. 二重极限存在,是否累次极限就一定存在?,7. 两个累次极限存在且不等,是否二重极限不存在?,8. 一个累次极限存在另一个累次极限不存在,是否二重极限不存在?,二、累次极限,称,为函数,在,的二重极限.,1. 累次极限,定义3,设,是,的聚点,是,的聚点,在,上有定义.若对每个,极限,存在,设,若极限,则称L为,先对,后对,的累次极限,记作,或,类似可定义,例 求下次函数在(0,0)的累次极限:,解(1),(两个累次极限存在且相等）,二重极限,存在吗?,(2),两个累次极限存在但不相等,二重极限,存在吗?,2. 累次极限与重极限没有必然的联系,例6,(两个累次极限存在且相等）,但二重极限,不存在!,例7,两个累次极限存在但不相等,同时二重极限,不存在!,例7,两个累次极限存在但不相等,同时二重极限,不存在!,事实上,沿着直线 y=kx的极限,所以,不存在.,例8,设,(1),是否存在?,(2),是否存在?,(3),是否存在?,解,(1) 不存在.,(2) 不存在.,(3),3. 当二重极限与累次极限都存在时,定理16.6,若,在点,二重极限与累次极限,都存在, 则,若二重极限和累次极限都存在, 则它们必相等.,证:,设,则,有,(2),由题设, 可假设对任一满足不等式,(3),的x, 有,(4),对(2)式, 令,得,结合(3)式, 得,即,=A,推论1,若,在点,二重极限与累次极限,都存在, 则三者相等.,推论2,若累次极限,存在但不相等,则二重极限,不存在.,(常用来证明极限不存在),例9,讨论下列函数在点(0,0)的二重极限与累次极限.,解:,(1),所以,不存在.,(2),但(x,y)沿x=0趋于(0,