2019版高考数学复习第一部分专题十二圆锥曲线的方程与性质讲义理（重点生，含解析）.docx

专题十二 圆锥曲线的方程与性质卷卷卷2018直线与抛物线的位置关系、平面向量数量积的运算T8双曲线的几何性质T5双曲线的几何性质T11双曲线的几何性质T11直线的方程及椭圆的几何性质T12直线与抛物线的位置关系T162017直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基本不等式的应用T10双曲线的几何性质T9双曲线的渐近线及标准方程T5双曲线的几何性质T15抛物线的定义及标准方程T16椭圆的几何性质T102016双曲线的几何性质与标准方程T5双曲线的定义、离心率问题T11直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率问题T11抛物线与圆的综合问题T10纵向把握趋势卷3年6考，且每年都有2个小题同时出现，涉及双曲线、抛物线的几何性质，特别是双曲线的几何性质及抛物线属每年必考内容预计2019年仍会延续以上命题方式，注意圆锥曲线与其他问题的综合卷3年5考，且3年均考查了双曲线的几何性质在2018年高考中考查了椭圆的几何性质，且难度较大预计2019年仍会以选择题或填空题的形式考查双曲线的几何性质或椭圆的几何性质卷3年5考，涉及双曲线的几何性质、椭圆的几何性质、直线与抛物线的位置关系，既有选择题，也有填空题，难度适中预计2019年仍会以选择题或填空题的形式考查双曲线或椭圆的方程及性质横向把握重点1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择题、填空题的形式考查，常出现在第412或1516题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等2.直线与圆锥曲线的位置关系中与交点个数，弦长、面积中点弦有关的问题，一般难度中等.圆锥曲线的定义与方程题组全练1.如图，椭圆1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，F1PF2120，则a的值为()A2B3C4 D5解析：选B设|PF2|m，则|PF1|PF2|2a，即m42a.在PF1F2中，由余弦定理得42m22m4cos 1204(a22)联立，解得a3.2已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D由题意知双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为x2y24，联立解得或即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，故2b，得b212.故双曲线的方程为1.3(2018唐山模拟)过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|2|BF|6，则p_.解析：设直线AB的方程为xmy，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y22pmyp20，所以y1y2p2,4x1x2p2.设抛物线的准线为l，过A作ACl，垂足为C，过B作BDl，垂足为D，因为|AF|2|BF|6，根据抛物线的定义知，|AF|AC|x16，|BF|BD|x23，所以x1x23，x1x29p，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2，即18p720，解得p4.答案：44(2018合肥质检)抛物线E：y24x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P(在第一象限内)作l的垂线PQ，垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为_解析：设P(x，y)，其中x0，y0，由抛物线的定义知|PF|PQ|x1.根据题意知|AF|2，|QA|y，则或(舍去)所以点P的坐标为(4,4)答案：(4,4)系统方法1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a0，b0)的右焦点F作圆x2y2a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是()A. B.C2 D.解析因为OMPF，且M为FP的中点，所以POF为等腰直角三角形，即PFO45，则不妨令切线FM的方程为xyc，由圆心到切线的距离等于半径得a，所以e.答案A(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A. B.C. D.解析如图，作PBx轴于点B.由题意可设|F1F2|PF2|2，则c1.由F1F2P120，可得|PB|，|BF2|1，故|AB|a11a2，tan PAB，解得a4，所以e.答案D如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|4，则线段AB的长为()A5 B6C. D.学解题法一：直接法(学生用书不提供解题过程)如图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AF|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1x114，所以x13，又x1x21，所以x2，所以|AB|x1x2p.法二：性质法(学生用书提供解题过程)如图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AF|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为，|AF|4，所以|BF|，所以|AB|AF|BF|4.答案C类题通法1椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值或范围2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为0，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程利用e求离心率3抛物线焦点弦的性质若线段AB为抛物线y22px(p0)过焦点F的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2；(2)焦半径|AF|x1；(3)；(4)弦长lx1x2p.当弦ABx轴时，弦长最短为2p，此时的弦又叫通径应用通关1(2018全国卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A. B3C2 D4解析：选B法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为yx.设两条渐近线的夹角为2，则有tan ，所以30.所以MON260.又OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MNON，如图所示在RtONF中，|OF|2，则|ON|.在RtOMN中，|MN|ON|tan 2tan 603.故选B.法二：因为双曲线y21的渐近线方程为yx，所以MON60.不妨设过点F的直线与直线yx交于点M，由OMN为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO60，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y(x2)，由得所以M，所以|OM| ，所以|MN|OM|3，故选B.2(2018贵阳模拟)过双曲线1(a0，b0)的右焦点F作圆x2y2a2的切线FM，切点为M，交y轴于点P，若，且双曲线的离心率e，则()A1 B2C3 D4解析：选B如图，|OF|c，|OM|a，OMPF，所以|MF|b，根据射影定理得|PF|，所以|PM|b，所以.因为e212，所以.所以2.3已知椭圆x21(0b0时，椭圆的离心率的取值范围为()A. B.C. D.解析：选A由题意知F，B，C的坐标分别为(c,0)，(0，b)，(1,0)，则FC，BC的垂直平分线分别为x，y，联立解得mn0，即bbcb2c0，整理得(1b)(bc)0，bc，从而b2c2，即a22c2，e20，0e.4(2019届高三武汉调研)过抛物线C：y24x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与准线交于点M，且3，则|_.解析：过点P作PP1垂直准线于P1，由3，得|PM|2|PF|，又由抛物线的定义知|PF|PP1|，所以|PM|2|PP1|.由三角形相似得，所以|PP1|，所以|.答案：直线与圆锥曲线的位置关系多维例析角度一直线与圆锥曲线的交点个数问题已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率eb0)，焦距为2c，由题设条件知，4a8，a2，22cb2，b2c2a24，所以b，c1或b1，c(经检验不合题意，舍去)，故椭圆C的方程为1.(2)证明：当y00时，由1，可得x02，当x02，y00时，直线l的方程为x2，直线l与椭圆C有且只有一个交点(2,0)当x02，y00时，直线l的方程为x2，直线l与椭圆C有且只有一个交点(2,0)当y00时，直线l的方程为y，联立消去y，得(4y3x)x224x0x4816y0.由点P(x0，y0)为椭圆C上一点，得1，可得4y3x12.于是方程可以化简为x22x0xx0，解得xx0，将xx0代入方程y可得yy0，故直线l与椭圆C有且只有一个交点P(x0，y0)，综上，直线l与椭圆C有且只有一个交点，且交点为P(x0，y0)类题通法直线与圆锥曲线交点个数问题的解题策略判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧角度二弦长及面积问题(2018兰州检测)已知椭圆K：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线xy20相切(1)求K的方程；(2)过F2的直线l交K于A，B两点，M为AB的中点，连接OM并延长交K于点C，若四边形OACB的面积S满足：a2S，求直线l的斜率解(1)由题意得解得故椭圆K的方程为y21.(2)由于直线l的倾斜角不可为零，所以设直线l的方程为myx1，与y21联立并化简可得(m22)y22my10.设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，可得y0，x0my01.设C(x，y)，又 (0)，所以xx0，yy0.因为C在K上，故21m222.设h1为点O到直线l的距离，h2为点C到直线l的距离，则h2(1)h1.又由点到直线的距离公式得，h1.而|AB|，所以S|AB|(h1h2).由题意知，S，所以.将代入式得m1，所以直线l的斜率为1.类题通法弦长问题的解题策略(1)在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解(2)弦长计算公式：直线AB与圆锥曲线有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB| ，其中k为弦AB所在直线的斜率角度三弦的中点问题已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF面积的两倍，求AB中点的轨迹方程解由题意可知F，设l1：ya，l2：yb，则ab0，且A，B，P，Q，R.(1)证明：记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.因为点F在线段AB上，所以ab10，记直线AR的斜率为k1，直线FQ的斜率为k2，所以k1，k2b，又因为ab10，所以k1b，所以k1k2，即ARFQ.(2)设直线AB与x轴的交点为D(x1,0)，所以SABF|ab|FD|ab|，又SPQF，所以由题意可得SPQF2SABF，即2|ab|，解得x10(舍去)或x11.设满足条件的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，由kABkDE，可得(x1)又，所以y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以所求轨迹方程为y2x1.类题通法弦中点及弦问题的解题策略(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交(2)圆锥曲线以P(x0，y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率分别是k，k，k(抛物线y22px)其中k(x1x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标综合训练1(2019届高三山西八校联考)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使得PB2QB2，求直线l的方程解：(1)设所求椭圆的标准方程为1(ab0)，右焦点为F2(c,0)因为AB1B2是直角三角形，且|AB1|AB2|，所以B1AB290，因此|OA|OB2|，得b.由c2a2b2，得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2.由题设条件SAB1B24，得b24，所以a25b220.因此所求椭圆的标准方程为1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由题意知直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为xmy2，代入椭圆方程并整理得(m25)y24my160.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又(x12，y1)， (x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，得0，即16m2640，解得m2.所以满足条件的直线l有两条，其方程分别为x2y20和x2y20.2.(2018惠州调研)如图，椭圆C：1(ab0)的右顶点为A(2,0)，左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点(|PM|PN|)，若SPAMSPBN，求实数的取值范围解：(1)因为BF1x轴，所以点B，所以解得所以椭圆C的标准方程是1.(2)因为(2)，所以.由(1)可知P(0，1)，设直线MN：ykx1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立化简得(4k23)x28kx80.则x1x2，x1x2.又(x1，y11)， (x2，y21)，则x1x2，即，所以22，即.因为k，所以(1,4)，则1240，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在E上，MNF1F2，|MN|F1F2|，线段F2M交E于点Q，且，则E的离心率为()A. B.C2 D.解析：选B设双曲线E的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，MNF1F2，|MN|F1F2|，|MN|c，不妨设M.，Q是线段F2M的中点，Q.把M，Q分别代入E的方程1(a0，b0)，可得15，e.2已知点A(2,3)在抛物线C：y22px(p0)的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A. B.C. D.解析：选D抛物线y22px的准线为直线x，因为点A(2,3)在准线上，所以2，即p4，从而C：y28x，焦点为F(2,0)设切线方程为y3k(x2)，代入y28x，消去x，化简得y2y2k30(k0)，由14(2k3)0，得k2或k，因为切点在第一象限，所以k.将k代入中得y8，再将y8代入y28x中，得x8，所以点B的坐标为(8,8)，所以直线BF的斜率为.3.(2018石家庄模拟)如图，两个椭圆的方程分别为1(ab0)和1(ab0，m1)，从大椭圆的两个顶点分别向小椭圆引切线AC，BD，若AC，BD的斜率之积恒为，则大椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选A易知大椭圆和小椭圆的离心率相等大椭圆的方程为1，则A(ma,0)，B(0，mb)，设切线AC的方程为yk1(xma)，联立消去y，得(a2kb2)x22mka3xm2ka4a2b20，由(2mka3)24(ka2b2)(m2ka4a2b2)0，化简得ka2m2ka2b20k，设直线BD的斜率为k2，同理可得k(m21)，kk(m21)2，e .专题跟踪检测(对应配套卷P193)一、全练保分考法保大分1直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A.B.C. D.解析：选B不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为1，即bxcybc0.由题意知2b，解得，即e.故选B.2(2019届高三湖南长郡中学模拟)已知F为双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为()A. B.C2 D.解析：选C依题意，设双曲线的渐近线yx的倾斜角为，则有3，tan ，双曲线C的离心率e 2.3(2019届高三南宁、柳州名校联考)已知双曲线1(b0)的一个焦点与抛物线y28x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCy3x Dyx解析：选B由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线1的一个焦点坐标是(2,0)，则c2，且双曲线的焦点在x轴上，所以3b22，即b1，于是双曲线的渐近线方程为yx.4(2018昆明调研)过抛物线C：y22px(p0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|AB|，则l的倾斜角为()A15 B30C45 D60解析：选B分别过A，B，N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A，B，Q，由抛物线的定义知|AF|AA|，|BF|BB|，|NQ|(|AA|BB|)|AB|，因为|MN|AB|，所以|NQ|MN|，所以MNQ60，即直线MN的倾斜角为120，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为30.5(2018南昌模拟)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为()A. B.C1 D.解析：选B如图，设F1，F2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P是第一象限的点，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，|PF1|a1a2，|PF2|a1a2.设|F1F2|2c，又F1PF2，则在PF1F2中，由余弦定理得，4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos ，化简得(2)a(2)a4c2，设椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，4，又2，4，即e1e2，椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.6(2018长春质检)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2y21的左、右焦点，P为双曲线上任意一点，过点F1作F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|()A1 B2C4 D.解析：选A不妨设P在双曲线的左支，如图，延长F1H交PF2于点M，由于PH既是F1PF2的平分线又垂直于F1M，故PF1M为等腰三角形，|PF1|PM|且H为F1M的中点，所以OH为MF1F2的中位线，所以|OH|MF2|(|PF2|PM|)(|PF2|PF1|)1.7已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|_.解析：抛物线C：y28x的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2.从而椭圆E的半焦距c2.可设椭圆E的方程为1(ab0)，因为离心率e，所以a4，所以b2a2c212.由题意知|AB|26.答案：68(2018南宁模拟)已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4，1)，则椭圆的离心率是_解析：设直线xy50与椭圆1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(4,1)，所以x1x28，y1y22.易知直线AB的斜率k1.由两式相减得，0，所以，所以，于是椭圆的离心率e.答案：9(2019届高三惠州调研)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是_解析：如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，c)，则过点F1与渐近线yx平行的直线为yxc，联立解得即M.因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2y2c2内，故22c2，化简得b23a2，即c2a23a2，解得b0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为B.(1)求椭圆C的方程；(2)设A1，A2是椭圆C长轴的两个端点，P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线xm于点M，若以MP为直径的圆过点A2，求实数m的值解：(1)由题意得F1(c,0)，F2(c,0)，B(0，b)，则2a2c6.直线BF2的方程为bxcybc0，所以b，即2ca.又a2b2c2，所以由可得a2，b，所以椭圆C的方程为1.(2)不妨设A1(2,0)，A2(2,0)，P(x0，y0)，则直线A1P的方程为y(x2)，所以M.又点P在椭圆C上，所以y3.若以MP为直径的圆过点A2，则A2MA2P，即0，所以(x02，y0)(m2)(x02)(m2)(m2)(x02)(m2)(x02)0.又点P不同于点A1，A2，所以x02，所以m0，解得m14.11(2018唐山模拟)在直角坐标系xOy中，长为1的线段的两端点C，D分别在x轴、y轴上滑动， .记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A，B两点，当点M在曲线E上时，求四边形AOBM的面积解：(1)设C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)由 ，得(xm，y)(x，ny)，所以得由|1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲线E的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知点M坐标为(x1x2，y1y2)由题意知，直线AB的斜率存在设直线AB的方程为ykx1，代入曲线E的方程，得(k22)x22kx10，则x1x2，x1x2.y1y2k(x1x2)2.由点M在曲线E上，知(x1x2)21，即1，解得k22.所以|AB|x1x2|，又原点到直线AB的距离d，所以平行四边形OAMB的面积S|AB|d.12(2019届高三洛阳第一次统考)已知短轴长为2的椭圆E：1(ab0)，直线n的横、纵截距分别为a，1，且原点O到直线n的距离为.(1)求椭圆E的方程；(2)直线l经过椭圆E的右焦点F且与椭圆E交于A，B两点，若椭圆E上存在一点C满足 2 0，求直线l的方程解：(1)椭圆E的短轴长为2，b1.依题意设直线n的方程为y1，由，解得a，故椭圆E的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，当直线l的斜率为0时，显然不符合题意当直线l的斜率不为0或直线l的斜率不存在时，F(，0)，设直线l的方程为xty，由消去x，得(t23)y22ty10，y1y2，y1y2， 20，x3x1x2，y3y1y2，又点C在椭圆E上，y221，又y1，y1，x1x2y1y20，将x1ty1，x2ty2及代入得t21，即t1或t1.故直线l的方程为xy0或xy0.二、强化压轴考法拉开分1(2018全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为()A. B2C. D.解析：选C法一：不妨设一条渐近线的方程为yx，则F2到yx的距离db.在RtF2PO中