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第4讲 基本不等式1当x0时,函数f(x)有()A最小值1B.最大值1C最小值2 D最大值2解析:选B.f(x)1.当且仅当x,x0即x1时取等号所以f(x)有最大值1.2下列不等式一定成立的是()Alglg x(x0)Bsin x2(xk,kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)解析:选C.对选项A,当x0时,x2x0,所以lglg x;对选项B,当sin x0时显然不成立;对选项C,x21|x|212|x|,一定成立;对选项D,因为x211,所以0b1,P,Q(lg alg b),Rlg ,则()ARPQ B.QPRCPQR DPRb1,所以lg alg b0,(lg alg b),即QP.因为,所以lglg(lg alg b)Q,所以RQ,所以PQ0,b0,a2b3,则的最小值为_解析:由a2b3得ab1,所以2.当且仅当a2b时取等号答案:7已知函数yx4(x1),当xa时,y取得最小值b,则ab_解析:yx4x15,因为x1,所以x10,0.所以由基本不等式,得yx15251,当且仅当x1,即(x1)29,即x13,x2时取等号,所以a2,b1,ab3.答案:38若2x2y1,则xy的取值范围是_解析:因为2x2y22(当且仅当2x2y时等号成立),所以,所以2xy,得xy2.答案:(,29(1)当x时,求函数yx的最大值;(2)设0x2,求函数y的最大值解:(1)y(2x3).当x0,所以24,当且仅当,即x时取等号于是y4,故函数的最大值为.(2)因为0x0,所以y,当且仅当x2x,即x1时取等号,所以当x1时,函数y的最大值为.10已知x0,y0,且2x8yxy0,求(1)xy的最小值;(2)xy的最小值解:(1)由2x8yxy0,得1,又x0,y0,则12 .得xy64,当且仅当x16,y4时,等号成立所以xy的最小值为64.(2)由2x8yxy0,得1,则xy(xy)10102 18.当且仅当x12且y6时等号成立,所以xy的最小值为18.1已知直线axby60(a0,b0)被圆x2y22x4y0截得的弦长为2,则ab的最大值是()A9 B.C4 D解析:选B.将圆的一般方程化为标准方程为(x1)2(y2)25,圆心坐标为(1,2),半径r,故直线过圆心,即a2b6,所以a2b62,可得ab,当且仅当a2b3时等号成立,即ab的最大值是,故选B.2若正数a,b满足ab2,则的最小值是()A1 B.C9 D16解析:选B.,当且仅当,即a,b时取等号,故选B.3设a,b0,ab5,则的最大值为_解析:设m,n,则m,n均大于零,因为m2n22mn,所以2(m2n2)(mn)2,所以mn,所以3,当且仅当,即a,b时“”成立,所以所求最大值为3.答案:34设x,y满足约束条件,若目标函数zaxby(a1,b2)的最大值为5,则的最小值为_解析:由约束条件,作出可行域如图,联立,解得A(1,1)由zaxby(a1,b2),得yx,由图可知,zmaxab5.可得a1b22.所以(a1b2).当且仅当b2a时等号成立,并且ab5,a1,b2即a,b时上式等号成立所以的最小值为.答案:5已知x0,y0,且2x5y20.求:(1)ulg xlg y的最大值;(2)的最小值解:(1)因为x0,y0,所以由基本不等式,得2x5y2.因为2x5y20,所以220,xy10,当且仅当2x5y时,等号成立因此有解得此时xy有最大值10.所以ulg xlg ylg(xy)lg 101.所以当x5,y2时,ulg xlg y有最大值1.(2)因为x0,y0,所以.当且仅当时,等号成立由解得所以的最小值为.6某商人投资81万元建一间工作室,第一年装修费为1万元,以后每年增加2万元,把工作室出租,每年收入租金30万元(1)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润?(2)若干年后该商人为了投资其他项目,对该工作室有两种处理方案:年平均利润最大时,以46万元出售该工作室;纯利润总和最大时,以10万元出售该工作室问该商人会选择哪种方案?解:(1)设第n年获取利润为y万元n年付出的装修费构成一个首项为1,公差为2的等差数列,n年付出的装修费之和为n12n2,又投资81万元,n年共收入租金30n万元,所以利润y30nn281(nN*)令y0,即30nn2810,所以n230n810,解得3n27(nN*),所以从第4年开始获取纯利润(2)方案:年平均利润t30n3030212(当且仅当n,即n9时取等号),所以年平均利润最大时,以46万元出售该工作室共获利润12946154(万元)方案:纯利润总和y30nn28

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