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文档简介

难点自选专题三“圆锥曲线”压轴大题的抢分策略全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2018直线的方程、直线与椭圆的位置关系、证明问题T19直线的方程、直线与抛物线的位置关系、圆的方程T19直线与椭圆的位置关系、等差数列的证明T202017椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、定点问题T20点的轨迹方程、椭圆方程、向量的数量积等T20直线与抛物线的位置关系、直线的方程、圆的方程T202016轨迹方程求法、直线与椭圆位置关系及范围问题T20直线与椭圆的位置关系、面积问题、范围问题T20证明问题、轨迹问题、直线与抛物线的位置关系T20解析几何是数形结合的典范,是高中数学的主要知识板块,是高考考查的重点知识之一,在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等试题难度较大,多以压轴题出现解答题的热点题型有:(1)直线与圆锥曲线位置关系;(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解;(3)圆锥曲线中的判断与证明考法策略(一)依据关系来证明 典例(2018全国卷)设椭圆C:y21的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0)(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:OMAOMB.解(1)由已知得F(1,0),l的方程为x1.则点A的坐标为或.又M(2,0),所以直线AM的方程为yx或yx,即xy20或xy20.(2)证明:当l与x轴重合时,OMAOMB0.当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为yk(x1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2b0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,b),N为线段AC的中点,证明:MNAB.解:(1)由题设条件知,点M的坐标为,又kOM,从而.进而得ab,c2b,故e.(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为,可得.又(a,b),从而有a2b2(5b2a2)由(1)可知a25b2,所以0,故MNAB.考法策略(二)巧妙消元证定值 典例已知椭圆C:1(ab0),过A(2,0),B(0,1)两点(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值解(1)由题意得,a2,b1,所以椭圆C的方程为y21.又c,所以离心率e.(2)证明:设P(x0,y0)(x00,y00),则x4y4.又A(2,0),B(0,1),所以直线PA的方程为y(x2)令x0,得yM,从而|BM|1yM1.直线PB的方程为yx1.令y0,得xN,从而|AN|2xN2.所以四边形ABNM的面积S|AN|BM|2.从而四边形ABNM的面积为定值题后悟通解答圆锥曲线的定值问题的策略(1)从特殊情形开始,求出定值,再证明该值与变量无关;(2)采用推理、计算、消元得定值消元的常用方法为整体消元(如本例)、选择消元、对称消元等应用体验2(2019届高三湘东五校联考)已知椭圆C的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点恰好是抛物线x28y的焦点(1)求椭圆C的方程;(2)如图,已知P(2,3),Q(2,3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点当A,B运动时,满足APQBPQ,试问直线AB的斜率是否为定值?请说明理由解:(1)由题意知椭圆的焦点在x轴上,设椭圆C的方程为1(ab0),则b2.由,a2c2b2,得a4,椭圆C的方程为1.(2)直线AB的斜率是定值,理由如下:设A(x1,y1),B(x2,y2)APQBPQ,直线PA,PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为k,直线PA的方程为y3k(x2),由得(34k2)x28k(32k)x4(32k)2480,x12,将k换成k可得x22,x1x2,x1x2,kAB,直线AB的斜率为定值.考法策略(三)构造函数求最值 典例在RtABC中,BAC90,A(0,2),B(0,2),SABC.动点P的轨迹为曲线E,曲线E过点C且满足|PA|PB|的值为常数(1)求曲线E的方程(2)过点Q(2,0)的直线与曲线E总有公共点,以点M(0,3)为圆心的圆M与该直线总相切,求圆M的最大面积解(1)由已知|AB|4,SABC|AB|AC|,所以|AC|.因为|PA|PB|CA|CB|6|AB|4,所以曲线E是以点A,B为焦点的椭圆且2a6,2c4.所以a3,c2b1,所以曲线E的方程为x21.(2)由题意可设直线方程为yk(x2),联立消去y,得(9k2)x24k2x4k290,则(4k2)24(9k2)(4k29)0,解得k23.因为以点M(0,3)为圆心的圆M与该直线总相切,所以半径r.令r2f(k),则f(k).由f(k)0,得k或k,当k时符合题意,此时可得r.即所求圆的面积的最大值是13.题后悟通最值问题的2种基本解法几何法根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)代数法建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数,通过求解函数的最值解决的(普通方法、基本不等式方法、导数方法(如本例)等)应用体验3(2018合肥一检)在平面直角坐标系中,圆O交x轴于点F1,F2,交y轴于点B1,B2.以B1,B2为顶点,F1,F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点.(1)求椭圆E的方程;(2)设经过点(2,0)的直线l与椭圆E交于M,N两点,求F2MN面积的最大值解:(1)由已知可得,椭圆E的焦点在x轴上设椭圆E的标准方程为1(ab0),焦距为2c,则bc,a2b2c22b2,椭圆E的方程为1.又椭圆E过点,1,解得b21.椭圆E的方程为y21.(2)点(2,0)在椭圆E外,直线l的斜率存在设直线l的方程为yk(x2),M(x1,y1),N(x2,y2)由消去y得,(12k2)x28k2x8k220.由0,得0b0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1,证明:l过定点解(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知椭圆C经过P3,P4两点又由知,椭圆C不经过点P1,所以点P2在椭圆C上因此解得故椭圆C的方程为y21.(2)证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果l与x轴垂直,设l:xt,由题设知t0,且|t|0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2.而k1k2.由题设k1k21,故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0.解得m2k1.当且仅当m1时,0,于是l:ykx2k1k(x2)1,所以l过定点(2,1)题后悟通直线过定点问题的解题模型应用体验5(2018贵阳摸底考试)过抛物线C:y24x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A,B两点,且|AB|8.(1)求l的方程;(2)若A关于x轴的对称点为D,求证:直线BD过定点,并求出该点的坐标解:(1)易知点F的坐标为(1,0),则直线l的方程为yk(x1),代入抛物线方程y24x得k2x2(2k24)xk20,由题意知k0,且(2k24)24k2k216(k21)0,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,x1x21,由抛物线的定义知|AB|x1x228,6,k21,即k1,直线l的方程为y(x1),即xy10或xy10.(2)证明:由抛物线的对称性知,D点的坐标为(x1,y1),直线BD的斜率kBD,直线BD的方程为yy1(xx1),即(y2y1)yy2y1y4x4x1,y4x1,y4x2,x1x21,(y1y2)216x1x216,即y1y24(y1,y2异号),直线BD的方程为4(x1)(y1y2)y0,恒过点(1,0)考法策略(六)假设存在定结论(探索性问题) 典例已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,其离心率为,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于G,H两点(G在M,H之间),设直线l的斜率k0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形为菱形?如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由解(1)由已知,得解得所以椭圆C的标准方程为1.(2)设直线l的方程为ykx2(k0),联立消去y并整理得,(34k2)x216kx40,由0,解得k.设G(x1,y1),H(x2,y2),则y1kx12,y2kx22,x1x2.假设存在点P(m,0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形为菱形,则(x1x22m,k(x1x2)4),(x2x1,y2y1)(x2x1,k(x2x1),()0,即(1k2)(x1x2)4k2m0,所以(1k2)4k2m0,解得m.因为k,所以m0,当且仅当4k时等号成立,故存在满足题意的点P,且m的取值范围是.题后悟通探索性问题的解题策略探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在,若结论不正确,则不存在(1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径应用体验6已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1,0),F2(1,0),点A在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在斜率为2的直线,使得当直线与椭圆C有两个不同交点M,N时,能在直线y上找到一点P,在椭圆C上找到一点Q,满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由解:(1)设椭圆C的焦距为2c,则c1,因为A在椭圆C上,所以2a|AF1|AF2|2,因此a,b2a2c21,故椭圆C的方程为y21.(2)不存在满足条件的直线,证明如下:假设存在斜率为2的直线,满足条件,则设直线的方程为

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