2020版高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第9节函数模型及其应用习题理含解析新人教A版.docx

第9节函数模型及其应用最新考纲1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知 识 梳 理1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a、b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)与指数函数相关模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)与对数函数相关模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)与幂函数相关模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0)微点提醒1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y2x的函数值比yx2的函数值大.()(3)不存在x0，使ax0x1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度.()解析(1)9折出售的售价为100(110%)99元.每件赔1元，(1)错.(2)中，当x2时，2xx24.不正确.(3)中，如ax0，n，不等式成立，因此(3)错.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修1P107A1改编)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()A.y2x B.yx21C.y2x2 D.ylog2x解析根据x0.50，y0.99，代入计算，可以排除A；根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意.答案D3.(必修1P59A6改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A.2020年 B.2021年C.2022年 D.2023年解析设经过n年资金开始超过200万元，即130(112%)n200.两边取对数，得nlg1.12lg 2lg 1.3，n，n4，从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.答案B4.(2018昆明诊断)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元).一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A.36万件 B.18万件C.22万件 D.9万件解析利润L(x)20xC(x)(x18)2142，当x18万件时，L(x)有最大值.答案B5.(2018黄冈检测)已知f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A.f(x)g(x)h(x) B.g(x)f(x)h(x)C.g(x)h(x)f(x) D.f(x)h(x)g(x)解析在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x(4，)时，增长速度由大到小依次g(x)f(x)h(x).答案B6.(2019北京海淀区月考)某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元.销售额x为64万元时，奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为yalog4xb.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为_万元.解析依题意解得y2log4x2，令2log4x28，得x451 024.答案1 024考点一利用函数的图象刻画实际问题【例1】 (2017全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误.答案A规律方法1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.【训练1】 高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数vf(h)的大致图象是()解析vf(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.答案B考点二已知函数模型求解实际问题【例2】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.解(1)当x0时，C8，k40，C(x)(0x10)，f(x)6x6x(0x10).(2)由(1)得f(x)2(3x5)10.令3x5t，t5，35，则y2t1021070(当且仅当2t，即t20时等号成立)，此时x5，因此f(x)的最小值为70.隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.规律方法1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.【训练2】 已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)求该服装厂所获得的最大效益是多少元？解设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)100xq(x)当0x20时，f(x)126 000，f(x)在区间(0，20上单调递增，所以当x20时，f(x)有最大值120 000.当20x180时，f(x)9 000x300x，则f(x)9 000450，令f(x)0，x80.当20x0，f(x)单调递增，当80x180时，f(x)0，f(x)单调递减，所以当x80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.由于120 000240 000.故该服装厂所获得的最大效益是240 000元.考点三构造函数模型求解实际问题多维探究角度1二次函数、分段函数模型【例31】 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4x20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.(1)当0x20时，求函数v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.解(1)由题意得当0x4时，v2，当4x20时，设vaxb(a0)，显然vaxb在(4，20内是减函数，由已知得解得所以vx.故函数v(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意，由(1)得f(x)当0x4时，f(x)为增函数，故f(x)maxf(4)428；当4x20时，f(x)x2x(x220x)(x10)2，f(x)maxf(10)12.5.所以当0x20时，f(x)的最大值为12.5.故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.角度2构建指数(对数)型函数模型【例32】 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x1)，则a(1x)10a，即(1x)10，解得x1.故每年砍伐面积的百分比为1.(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1x)ma，把x1代入，即，即，解得m5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年.规律方法1.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.2.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：分段要简洁合理，不重不漏；分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.【训练3】 (1)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为()A.13 m3 B.14 m3 C.18 m3 D.26 m3(2)(2017北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是()(参考数据：lg 30.48)A.1033 B.1053 C.1073 D.1093解析(1)设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y则10m(x10)2m16m，解得x13.(2)M3361，N1080，则lglglg 3361lg1080361lg 38093.1093.答案(1)A(2)D思维升华解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如下：易错防范1.解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯.2.在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系.3.解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为图中的()解析由题意得关系式为h205t(0t4).图象应为B项.答案B2.设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0x100，xN*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是()A.15 B.16 C.17 D.18解析由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100x)(11.2x%)t，则由解得0x.因为xN*，所以x的最大值为16.答案B3.某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A.10.5万元 B.11万元C.43万元 D.43.025万元解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可得利润y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.10.132.因为x0，16且xN，所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元.答案C4.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由如下公式计算：10lg(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的()A.倍 B.10倍C.10倍 D.ln倍解析由10lg 得II010，所以I1I0107，I2I0106，所以10，所以70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的10倍.答案C5.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8 B.9 C.10 D.11解析设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为，由，得n10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.答案C二、填空题6.(2017江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_.解析一年的总运费与总存储费用之和为y64x4x2240，当且仅当4x，即x30时，y有最小值240.答案307.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收