高考数学复习第九章平面解析几何第6节双曲线学案文新人教A版.docx

第6节双曲线最新考纲了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知 识 梳 理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)若ac时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2常用结论与微点提醒1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径.2.离心率e.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(3)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)双曲线(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()解析(1)因为|MF1|MF2|8|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m0，n0时则表示焦点在y轴上的双曲线.答案(1)(2)(3)(4)2.(2016全国卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A.(1，3) B.(1，)C.(0，3) D.(0，)解析方程1表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n3.答案A3.(2017全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则APF的面积为()A. B. C. D.解析由c2a2b24得c2，所以F(2，0)，将x2代入x21，得y3，所以|PF|3.又A的坐标是(1，3)，故APF的面积为3(21).答案D4.(2017北京卷)若双曲线x21的离心率为，则实数m_.解析由题意知e23，则m2.答案25.(选修11P54A6改编)经过点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.解析设双曲线的方程为：x2y2(0)，把点A(3，1)代入，得8，故所求方程为1.答案1考点一双曲线的定义及其应用【例1】 (1)(2018长春质检)双曲线C的渐近线方程为yx，一个焦点为F(0，)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，PAF周长的最小值为()A.8 B.10C.43 D.33(2)(2018西安调研)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.解析(1)由已知得双曲线方程为1，设双曲线的另一个焦点为F，则|PF|PF|4，PAF的周长为|PF|PA|AF|PF|4|PA|3，当F，P，A三点共线时，|PF|PA|有最小值，为|AF|3，故PAF的周长的最小值为10.(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1).答案(1)B(2)x21(x1)规律方法1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.【训练1】 (1)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2()A. B. C. D.(2)设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|等于_.解析(1)由x2y22，知ab，c2.由得|PF1|4，|PF2|2，在PF1F2中，|F1F2|2c4，由余弦定理，得cosF1PF2.(2)由题意知|PF1|90，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)(一题多解)设双曲线与椭圆1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是_.解析(1)由题设知，又由椭圆1与双曲线有公共焦点，易知a2b2c29，由解得a2，b，则双曲线C的方程为1.(2)法一椭圆1的焦点坐标是(0，3)，设双曲线方程为1(a0，b0)，根据定义知2a|4，故a2.又b232a25，故所求双曲线的方程为1.法二椭圆1的焦点坐标是(0，3).设双曲线方程为1(a0，b0)，则a2b29，又点(，4)在双曲线上，所以1，解得a24，b25.故所求双曲线的方程为1.法三设双曲线的方程为1(270，b0).渐近线方程为yx，其中一条渐近线的倾斜角为30，c6，a29，b227.其方程为1.答案(1)D(2)B考点三双曲线的性质【例3】 (1)(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若MAN60，则C的离心率为_.(2)(2017山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_.解析(1)如图，点M，N所在的渐近线为aybx0，圆A的圆心A(a，0)到渐近线的距离d，又M，N均为圆A上的点，|AM|AN|b，又MAN60，MAN为等边三角形，在MAN内，A到边MN的距离为d|AM|cos 30b，即b，解得a23b2，e.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程：消去x得a2y22pb2ya2b20，由根与系数的关系得y1y2p，又|AF|BF|4|OF|，y1y24，即y1y2p，pp，即.双曲线渐近线方程为yx.答案(1)(2)yx规律方法1.双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线1(a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.2.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2c2a2和e转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.【训练3】 (1)(2017全国卷)若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A.(，) B.(，2)C.(1，) D.(1，2)(2)(2015全国卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若1，所以112，则1e0，b0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析由e知ab，且ca.双曲线渐近线方程为yx.又kPF1，c4，则a2b28.故双曲线方程为1.答案B3.(2017全国卷)若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为()A.2 B. C. D.解析设双曲线的一条渐近线方程为yx，化成一般式bxay0，圆心(2，0)到直线的距离为，又由c2a2b2得c24a2，e24，e2.答案A4.(2018成都诊断)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|()A. B.2C.6 D.4解析由题意知，双曲线x21的渐近线方程为yx，将xc2代入得y2，即A，B两点的坐标分别为(2，2)，(2，2)，所以|AB|4.答案D5.已知F1，F2分别为双曲线1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|AF2|的最小值为()A.4 B.4C.2 D.2解析由题意知，|AP|AF2|AP|AF1|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则|AP|AF1|PF1|，|AP|AF2|的最小值为|AP|AF1|2a2.答案C二、填空题6.(2017全国卷)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a_.解析由双曲线的标准方程可得渐近线方程为yx，结合题意可得：a5.答案57.已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为_.解析根据题意画出草图如图所示.由AOF是边长为2的等边三角形得到AOF60，c|OF|2.又点A在双曲线的渐近线yx上，tan 60.又a2b24，a1，b，双曲线的方程为x21.答案x218.(2018梅州质检)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于M，N.若|PF1|2|PF2|，且MF2N60，则双曲线C的离心率为_.解析由题意，|PF1|2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|PF2|2a，可得|PF1|4a，|PF2|2a，又|F1O|F2O|，|PO|MO|，得四边形PF1MF2为平行四边形，又MF2N60，可得F1PF260，在PF1F2中，由余弦定理可得，4c216a24a224a2acos 60，即4c220a28a2，c23a2，可得ca，所以e.答案三、解答题9.(2018安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，).(1)求双曲线的方程；(2)(一题多解)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0.(1)解e，可设双曲线的方程为x2y2(0).双曲线过点(4，)，1610，即6.双曲线的方程为x2y26，即1.(2)证明法一由(1)可知，ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2.点M(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2.0.法二由(1)可知，ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，(23，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2，点M(3，m)在双曲线上，9m26，即m230，0.10.设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标.解(1)由题意知a2，一条渐近线为yx，即bxay0.由焦点到渐近线的距离为，得.又c2a2b2，b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，其中x02.则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程yx2代入双曲线方程1得x216x840，则x1x216，y1y2(x1x2)412.解得t4，点D的坐标为(4，3).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018湖北四地七校联考)双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过点F1及虚轴的一个端点，且点F2到直线l的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析根据题意知直线l的方程为yxb，即bxcybc0，因为点F2到直线l的距离等于实半轴的长，所以a，即4c2(c2a2)a2(a22c2)，4e46e210，解得e2，e或e(舍去).答案D12.(2018武汉模拟)已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为_.解析由题可知A1(1，0)，F2(2，0).设P(x，y)(x1)，则(1x，y)，(2x，y)，x2x2y2x2x23(x21)4x2x5.因为x1，函数f(x)4x2x5的图象的对称轴为x，所以当x1时，取得最小值2.答案213.已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点