高考数学复习第九章平面解析几何第5节第1课时椭圆及其标准方程学案理新人教B版.docx

第1课时椭圆及其标准方程最新考纲1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知 识 梳 理1.椭圆的定义平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0，1)a，b，c的关系c2a2b2常用结论与微点提醒1.过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦的长为，称为通径.2.椭圆离心率e.3.应用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(3)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相同.()解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.(2)因为e，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.答案(1)(2)(3)(4)2.(2017浙江卷)椭圆1的离心率是()A. B. C. D.解析由已知，a3，b2，则c，所以e.答案B3.(2018青岛调研)椭圆1的焦点坐标为()A.(3，0) B.(0，3) C.(9，0) D.(0，9)解析根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2a2b225169，c3，故焦点坐标为(0，3)，故选B.答案B4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析由题意知c1，e，所以a2，b2a2c23.故所求椭圆C的方程为1.答案D5.(教材习题改编)已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_.解析设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，把y1代入1，得x，又x0，所以x，P点坐标为或.答案或考点一椭圆的定义及其应用【例1】 (1)(教材习题改编)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆(2)椭圆y21上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A.5 B.6 C.7 D.8解析(1)连接QA.由已知得|QA|QP|.所以|QO|QA|QO|QP|OP|r.又因为点A在圆内，所以|OA|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.(2)由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是1028.答案(1)A(2)D规律方法1.椭圆定义的应用主要有：判定平面内动点的轨迹是否为椭圆、求椭圆的标准方程和离心率等.2.椭圆的定义式必须满足2a|F1F2|.【训练1】 (1)设定点F1(0，3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|PF2|a(a0)，则点P的轨迹是()A.椭圆 B.线段C.不存在 D.椭圆或线段(2)与圆C1：(x3)2y21外切，且与圆C2：(x3)2y281内切的动圆圆心P的轨迹方程为_.解析(1)a26，当且仅当a，即a3时取等号，当a3时，|PF1|PF2|6|F1F2|，点P的轨迹是线段F1F2；当a0，且a3时，|PF1|PF2|6|F1F2|，点P的轨迹是椭圆.(2)设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|r1，|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|，即P在以C1(3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为1.答案(1)D(2)1考点二椭圆的标准方程【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的标准方程为_.(2)(一题多解)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_.解析(1)设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn).由解得m，n.椭圆的标准方程为1.(2)法一椭圆1的焦点为(0，4)，(0，4)，即c4.由椭圆的定义知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24.所以所求椭圆的标准方程为1.法二设所求椭圆方程为1(kb0).过点F2(1，0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|3，点A必在椭圆上，1.又由c1，得1b2a2.由联立，得b23，a24.故所求椭圆C的方程为1.(2)法一当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为1 (ab0).椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，解得所求椭圆的标准方程为y21；当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为1 (ab0).椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，解得与ab矛盾，故舍去.综上可知，所求椭圆的标准方程为y21.法二设椭圆方程为mx2ny21 (m0，n0，mn).椭圆过(2，0)和(0，1)两点，解得综上可知，所求椭圆的标准方程为y21.答案(1)1(2)y21考点三焦点三角形问题【例3】 (1)已知椭圆1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积是()A. B.2C.2 D.(2)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且F1PF260，SPF1F23，则b_.解析(1)由椭圆的方程可知a2，c，且|PF1|PF2|2a4，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|3，|PF2|1.又|F1F2|2c2，所以有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即PF1F2为直角三角形，且PF2F1为直角，所以SPF1F2|F1F2|PF2|21.(2)由题意得|PF1|PF2|2a，又F1PF260，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，所以(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2，所以3|PF1|PF2|4a24c24b2，所以|PF1|PF2|b2，所以SPF1F2|PF1|PF2|sin 60b2b23，所以b3.答案(1)A(2)3规律方法1.椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成的三角形称为焦点三角形，解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理等知识.2.椭圆中焦点三角形的周长等于2a2c.【训练3】 已知椭圆1上一点P与椭圆两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则|PF1|PF2|_.解析依题意a7，b2，c5，|F1F2|2c10，由于PF1PF2，所以由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|2100.又由椭圆定义知|PF1|PF2|2a14，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|100，即1962|PF1|PF2|100.解得|PF1|PF2|48.答案48基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.椭圆1的焦距为2，则m的值等于()A.5 B.3 C.5或3 D.8解析由题意知椭圆焦距为2，即c1，又满足关系式a2b2c21，故当a24时，mb23；当b24时，ma25.答案C2.设F1，F2为定点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|6，则动点M的轨迹是()A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段解析|MF1|MF2|6|F1F2|，动点M的轨迹是线段.答案D3.设F1，F2是椭圆1的焦点，P为椭圆上一点，则PF1F2的周长为()A.16 B.18 C.20 D.不确定解析PF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F2|2a2c.因为2a10，c4，所以周长为10818.答案B4.“2m6”是“方程1表示椭圆”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若1表示椭圆.则有2m6且m4.故“2m|AB|6，动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(3，0)，B(3，0)，且2a8，a4，c3，b2a2c21697.所求动圆圆心M的轨迹方程是1.10.已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(4，3).若F1AF2A，求椭圆的标准方程.解设所求椭圆的标准方程为1(ab0).设焦点F1(c，0)，F2(c，0)(c0).F1AF2A，0，而(4c，3)，(4c，3)，(4c)(4c)320，c225，即c5.F1(5，0)，F2(5，0).2a|AF1|AF2|4.a2，b2a2c2(2)25215.所求椭圆的标准方程为1.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，点在椭圆上，且点(1，0)到直线PF2的距离为，其中点P(1，4)，则椭圆的标准方程为()A.x21 B.y21C.x21 D.y21解析设F2的坐标为(c，0)(c0)，则kPF2，故直线PF2的方程为y(xc)，即xy0，点(1，0)到直线PF2的距离d，即4，解得c1或c3(舍去)，所以a2b21.又点在椭圆E上，所以1，由可得所以椭圆的标准方程为y21.答案D12.椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，则F1PF2的大小为_.解析由题意得a3，c.因为|PF1|4，|PF1|PF2|2a6，所以|PF2|642.所以cosF1PF2，所以F1PF2120.答案12013.(2018石家庄月考)已知点M(，)在椭圆C：1(ab0)上，且椭圆的离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3，2)，求PAB的面积.解(1)由