高考数学复习第九章平面解析几何专题探究课五学案理新人教B版.docx

专题探究课五高考导航1.圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是高考必考知识，主要以一个小题一个大题的形式呈现，难度中等偏上；2.高考中的选择题或填空题主要考查圆锥曲线的基本性质，高考中的解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主.这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高.热点一定点定值问题(教材VS高考)定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.命题角度1圆锥曲线中定点问题【例11】 (满分12分)(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.教材探源本题第(1)问源于教材选修21P40例1，主要考查利用待定系数法及方程思想求曲线方程.本题第(2)问源于教材选修21P41例3，主要考查利用坐标法研究几何问题，充分考查学生解决综合问题的能力.满分解答(1)解由于点P3，P4关于y轴对称，由题设知C必过P3，P4.又由知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上.1分(得分点1)因此解得3分(得分点2)故C的方程为y21.5分(得分点3)(2)证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果直线l的斜率不存在，l垂直于x轴.设l：xm，A(m，yA)，B(m，yA)，k1k21，得m2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.6分(得分点4)从而可设l：ykxm(m1).将ykxm代入y21得(4k21)x28kmx4m240.7分(得分点5)由题设可知16(4k2m21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.8分(得分点6)则k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.(2k1)(m1)0.10分(得分点7)解之得m2k1，此时32(m1)0，方程有解，当且仅当m1时，0，11分(得分点8)直线l的方程为ykx2k1，即y1k(x2).当x2时，y1，所以l过定点(2，1).12分(得分点9)得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，分析隐含信息，列出方程组，求出方程.在第(2)问中，分类讨论设出直线方程联立方程写出根与系数的关系利用公式化简求解.得关键分：(1)列出方程组.(2)直线方程.(3)韦达定理.(4)斜率公式.都是不可少的过程，有则给分，无则没分.得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点3)，(得分点5)，(得分点7). 解答圆锥曲线中的定点问题的一般步骤第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点.第二步：探究一般情况.探究一般情形下的目标结论.第三步：下结论，综合上面两种情况定结论.命题角度2圆锥曲线中的定值问题【例12】 (2017唐山一模)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点Q在椭圆上，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值.(1)解椭圆1(ab0)的离心率为，e2，得a22b2，又点Q在椭圆C上，1，联立、得a28，且b24.椭圆C的方程为1.(2)证明当直线PN的斜率k不存在时，PN方程为x或x，从而有|PN|2，所以S|PN|OM|222；当直线PN的斜率k存在时，设直线PN方程为ykxm(m0)，P(x1，y1)，N(x2，y2)，将PN的方程代入椭圆C的方程，整理得(12k2)x24kmx2m280，所以x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2m，由，得M.将M点坐标代入椭圆C方程得m212k2.又点O到直线PN的距离为d，|PN|x1x2|，所以Sd|PN|m|x1x2|2.综上，平行四边形OPMN的面积S为定值2.探究提高1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练1】 (2017菏泽调研)已知焦距为2的椭圆C：1(ab0)的右顶点为A，直线y与椭圆C交于P，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形.(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DAAM.点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点.(1)解设坐标原点为O，四边形ABPQ是平行四边形，|，|2|，|2|，则点B的横坐标为，点Q的坐标为，代入椭圆C的方程得b22，又c22，a24，即椭圆C的方程为1.(2)证明设直线MN的方程为yk(x2)，N(x0，y0)，DAAM，D(2，4k).由消去y得(12k2)x28k2x8k240，则2x0，即x0，y0k(x02)，则N，设G(t，0)，则t2，若以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，则DGAN，0恒成立.(2t，4k)，(2t)4k0恒成立，即0恒成立，t0，点G是定点(0，0).热点二圆锥曲线中的范围(最值)问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.【例2】 (2018石家庄质检)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上一点，直线TA，TB的斜率之积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，过点M(0，2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求的取值范围.解(1)设T(x，y)，则当x4时，直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2.于是由k1k2，得，整理得1，而点(4，0)和(4，0)也满足此方程，故椭圆C的方程为1.(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykx2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线PQ与椭圆方程联立消去y得(4k23)x216kx320，则x1x2，x1x2，从而x1x2y1y2x1x2(y12)(y22)2(1k2)x1x22k(x1x2)420，200.因为OAOB，所以x1x2y1y20，得b2.联立得(34k2)x216kx40，所以x3x4，x3x4，由2192k2480得k2.(1)存在实数t.因为k1k2k，k3k46k，所以，即t.(2)根据弦长公式|CD|x3x4|得|CD|4，根据点O到直线CD的距离公式得d，所以SOCD|CD|d4，设m0，则SOCD，所以当m2，即k时，SOCD有最大值.热点三圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立.涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题.【例3】(2018沈阳调研)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点P，F为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点A(4，0)的直线l与椭圆相交于M，N两点(点M在A，N两点之间)，是否存在直线l使AMF与MFN的面积相等？若存在，试求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解(1)因为，所以a2c，bc，设椭圆方程1，又点P在椭圆上，所以1，解得c21，a24，b23，所以椭圆方程为1.(2)易知直线l的斜率存在，设l的方程为yk(x4)，由消去y得(34k2)x232k2x64k2120，由题意知(32k2)24(34k2)(64k212)0，解得k0)交于M，N两点，(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由.解(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a).又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意.2.(2018东北三省四校联考)已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.解(1)设F(c，0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1，2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d.所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.3.(2018新乡模拟)已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)D是抛物线C上的动点，点E(1，3)，若直线AB过焦点F，求|DF|DE|的最小值；(2)是否存在实数p，使|2|2|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由.解(1)直线2xy20与y轴的交点为(0，2)，F(0，2)，则抛物线C的方程为x28y，准线l：y2.设过D作DGl于G，则|DF|DE|DG|DE|，当E，D，G三点共线时，|DF|DE|取最小值235.(2)假设存在，抛物线x22py与直线y2x2联立方程组得：x24px4p0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(4p)216p16(p2p)0，则x1x24p，x1x24p，Q(2p，2p).|2|2|.则0，得(x12p)(x22p)(y12p)(y22p)(x12p)(x22p)(2x122p)(2x222p)5x1x2(46p)(x1x2)8p28p40，代入得4p23p10，解得p或p1(舍去).因此存在实数p，且满足0，使得|2|2|成立.4.已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆M：(x1)2y2r2(0rb0)的左焦点F1与抛物线y24x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M(m，0)作斜率存在且不为0的直线l，交椭圆E于A，C两点，点P，且为定值.(1)求椭圆E的方程；(2)求m的值.解(1)设F1(c