高中数学 计数原理1.2排列与组合1.2.1第2课时排列的综合应用学案新人教A版.docx

第2课时排列的综合应用学习目标1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题知识点排列及其应用1排列数公式An(n1)(n2)(nm1)(n，mN*，mn).An(n1)(n2)21n！(叫做n的阶乘)另外，我们规定0！1.2应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤类型一无限制条件的排列问题例1(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？考点排列的应用题点无限制条件的排列问题解(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A765210(种)不同的送法(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有777343(种)不同的送法反思与感悟典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取跟踪训练1(1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？考点排列的应用题点无限制条件的排列问题解(1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此不同的安排方法有A54360(种)(2)由题意知3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事，所以由分步乘法计数原理得共有555125(种)报名方法类型二排队问题例23名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生不能站在一起；(4)全体站成一排，男、女各不相邻考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题解(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法由分步乘法计数原理知，共有AAA288(种)排队方法(2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法故有AA720(种)排队方法(3)先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A种排法，故共有AA1 440(种)排法(4)排好男生后让女生插空，共有AA144(种)排法反思与感悟处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素跟踪训练2某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题解(1)先排唱歌节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有AA1 440(种)排法(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A种插入方法，所以共有AA30 240(种)排法(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A种排法，故所求排法共有AAA2 880(种)排法例3六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不能在两端；(2)甲、乙必须在两端；(3)甲不在最左端，乙不在最右端考点排列的应用题点元素“在”与“不在”问题解(1)先考虑甲有A种方案，再考虑其余5人全排列，故NAA480(种)；(2)先安排甲、乙有A种方案，再安排其余4人全排列，故NAA48(种)；(3)方法一甲在最左端的站法有A种，乙在最右端的站法有A种，且甲在最左端而乙在最右端的站法有A种，共有A2AA504(种)站法方法二以元素甲分类可分为两类：a.甲站最右端有A种，b.甲在中间4个位置之一，而乙不在最右端有AAA种，故共有AAAA504(种)站法反思与感悟“在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误跟踪训练3某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？考点排列的应用题点元素“在”与“不在”问题解6门课总的排法是A，其中不符合要求的可分为体育排在第一节，有A种排法；数学排在最后一节，有A种排法，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排在最后一节，这种情况有A种排法因此符合条件的排法有A2AA504(种)例4将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)则有多少种不同的排列方法？考点排列的应用题点排列中的定序问题解5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法方法一(整体法)5个元素无约束条件的全排列有A种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有240(种)方法二(插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入，这时形成的4个空中，分两类：第一类，若字母D，E相邻，则有AA种排法；第二类，若字母D，E不相邻，则有A种排法所以有AAA20(种)不同的排列方法同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法因此，满足条件的排列有202040(种)反思与感悟在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种：(1)整体法，即若有mn个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这mn个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中跟踪训练4用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有_个七位数符合条件考点排列的应用题点排列中的定序问题答案210解析若1,3,5,7的顺序不定，有A24(种)排法，故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的.故有A210(个)七位数符合条件类型三数字排列问题例5用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4 310的四位偶数考点排列的应用题点数字的排列问题解(1)第一步，排个位，有A种排法；第二步，排十万位，有A种排法；第三步，排其他位，有A种排法故共有AAA288(个)六位奇数(2)方法一(直接法)：十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类第一类，当个位排0时，有A个；第二类，当个位不排0时，有AAA个故符合题意的六位数共有AAAA504(个)方法二(排除法)：0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况故符合题意的六位数共有A2AA504(个)(3)分三种情况，具体如下：当千位上排1,3时，有AAA个当千位上排2时，有AA个当千位上排4时，形如4 02,4 20的各有A个；形如4 1的有AA个；形如4 3的只有4 310和4 302这两个数故共有AAAAA2AAA2110(个)反思与感悟数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数跟踪训练5用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)能被5整除的五位数；(2)能被3整除的五位数；(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列an，则240 135是第几项考点排列的应用题点数字的排列问题解(1)个位上的数字必须是0或5.个位上是0，有A个；个位上是5，若不含0，则有A个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A种排法，其余各位有A种排法，故共有AAAA216(个)能被5整除的五位数(2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整除，则5个数可能有1,2,3,4,5和0,1,2,4,5两种情况，能够组成的五位数分别有A个和AA个故能被3整除的五位数有AAA216(个)(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个，有3A个数，240 135的项数是A3A1193，即240 135是数列的第193项16位学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A36 B120 C240 D720考点排列的应用题点无限制条件的排列问题答案D解析不同的排法有A654321720(种)26位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A240种 B360种 C480种 D720种考点排列的应用题点元素“在”与“不在”问题答案C解析第一步：排甲，共有A种不同的排法；第二步：排其他人，共有A种不同的排法，因此不同的演讲次序共有AA480(种)3用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A144个 B120个 C96个 D72个考点排列的应用题点数字的排列问题答案B解析当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有2A48(个)；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有3A72(个)，所以比40 000大的偶数共有4872120(个)45位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有_种考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题答案86 400解析第1步，先排5位母亲的位置，有A种排法；第2步，把5名儿童插入5位母亲所形成的6个空位中，如下所示：母亲_母亲_母亲_母亲_母亲_，共有A种排法由分步乘法计数原理可知，符合条件的站法共有AA86 400(种)5两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为_考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题答案24解析分3步进行分析，先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A2(种)排法，两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A2(种)排法，将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A6(种)排法则共有22624(种)排法求解排列问题的主要方法：直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法一、选择题1将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是()A1 260 B120 C240 D720考点排列的应用题点排列的简单应用答案D解析相当于3个元素排10个位置，有A720(种)不同的分法2要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是()A20 B16 C10 D6考点排列的应用题点排列的简单应用答案B解析不考虑限制条件有A种选法，若a当副组长，有A种选法，故a不当副组长，有AA16(种)选法3一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A33! B3(3！)3 C(3！)4 D9!考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题答案C解析利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为A(A)3(3！)4.故选C.4某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A8种 B16种 C18种 D24种考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题答案A解析可分三步：第一步，排最后一个商业广告，有A种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告，有A种；第三步，余下的两个位置排公益宣传广告，有A种根据分步乘法计数原理，不同的播放方式共有AAA8(种)，故选A.5由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列an，则a72等于()A1 543 B2 543 C3 542 D4 532考点排列的应用题点数字的排列问题答案C解析首位是1的四位数有A24(个)，首位是2的四位数有A24(个)，首位是3的四位数有A24(个)，由分类加法计数原理得，首位小于4的所有四位数共32472(个)由此得a723 542.6在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有()A34种 B48种 C96种 D144种考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题答案C解析由题意可知，先排工序A，有2种编排方法；再将工序B和C视为一个整体(有2种顺序)与其他3个工序全排列共有2A种编排方法故实施顺序的编排方法共有22A96(种)故选C.7由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有()A210个 B300个 C464个 D600个考点排列的应用题点数字的排列问题答案B解析由于组成没有重复数字的六位数，个位小于十位的与个位大于十位的一样多，故有300(个)8某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天若7位员工中的甲、乙被安排在相邻两天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，则不同的安排方案共有()A504种 B960种 C1 108种 D1 008种考点排列的应用题点元素“在”与“不在”问题答案D解析由题意知，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班的方案共有AA1 440(种)，其中满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班的方案共有AA240(种)，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丁在10月7日值班的方案共有AA240(种)，满足甲、乙两人安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有AA48(种)因此满足题意的方案共有1 4402240481 008(种)二、填空题95个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有_种考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题答案72解析甲、乙两人相邻共有AA种排法，则甲、乙两人之间至少有一人共有AAA72(种)排法10从6名短跑运动员中选出4人参加4100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有_种参赛方案考点排列的应用题点元素“在”与“不在”问题答案240解析方法一从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A种方法，此时有2A种参赛方案由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A2A240(种)方法二从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A种方法由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有AA240(种)方法三(排除法)：不考虑甲的约束，6个人占4个位置，有A种安排方法，剔除甲跑第一棒和第四棒的参赛方案有2A种，所以甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A2A240(种)11六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为_考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题答案24解析把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有A432124(种)三、解答题12分别求出符合下列要求的不同排法的种数(1)6名