高考数学复习不等式选讲第2节不等式的证明学案文新人教A版.docx

第2节不等式的证明最新考纲通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.知 识 梳 理1.基本不等式定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立.定理2：如果a，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.定理3：如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立.2.不等式的证明方法(1)比较法作差法(a，bR)：ab0ab；ab0a0，b0)：1ab；1ab1，xa，yb，则x与y的大小关系是()A.xy B.xb1得ab1，ab0，所以0，即xy0，所以xy.答案A3.(选修45P23习题2.1T1改编)已知ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，则M，N的大小关系为_.解析2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab).因为ab0，所以ab0，ab0，2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b.答案MN4.已知a0，b0且ln(ab)0，则的最小值是_.解析由题意得，ab1，a0，b0，(ab)2224.当且仅当ab时等号成立.的最小值是4.答案45.已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明因为x0，y0，所以1xy230，1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.考点一比较法证明不等式【例11】 (2017江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2b24，c2d216.试证明：acbd8.证明(a2b2)(c2d2)(acbd)2a2c2a2d2b2c2b2d2(a2c2b2d22acbd)b2c2a2d22acbd(bcad)20，(a2b2)(c2d2)(acbd)2，又a2b24，c2d216.因此(acbd)264，从而acbd8.【例12】 (一题多解)已知a0，b0，求证：.证明法一因为()，a0，b0，0.因此.法二由于111.又a0，b0，0，所以.规律方法1.作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号.2.在例12证明中，法一采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明ab转化为证明1(b0).提醒在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号.【训练1】 设a，b是非负实数，求证：a2b2(ab).证明因为a2b2(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab)(ab)(ab).因为a0，b0，所以不论ab0，还是0ab，都有ab与ab同号，所以(ab)(ab)0，所以a2b2(ab).考点二综合法证明不等式【例21】 (2017全国卷)已知实数a0，b0，且a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)a0，b0，且a3b32.则(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a42a2b2b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.【例22】 (2016全国卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集.(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.(1)解f(x)当x时，由f(x)2得2x1，所以1x；当x时，f(x)2恒成立.当x时，由f(x)2得2x2，解得x1，所以x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1.(2)证明由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，所以(ab)2(1ab)2，因此|ab|1ab|.规律方法1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.2.在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.【训练2】 (2018石家庄调研)已知函数f(x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足abcm，求证：3.(1)解当x3；当1x2时，f(x)2(x1)(x2)x4，此时，3f(x)6；当x2时，f(x)2(x1)(x2)3x6.综上可知，f(x)的最小值m3.(2)证明a，b，c均大于0，且abc3.(abc)22(abc)(当且仅当abc1时取“”)，所以abc，故3.考点三分析法证明不等式【例3】 已知abc，且abc0，求证：bc且abc0，知a0，c0.要证a，只需证b2ac3a2.abc0，只需证b2a(ab)0，只需证(ab)(2ab)0，只需证(ab)(ac)0.abc，ab0，ac0，(ab)(ac)0显然成立，故原不等式成立.规律方法1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.2.分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：【训练3】 (2018福州八中质检)已知函数f(x)|x1|.(1)解不等式f(x)f(x4)8；(2)若|a|1，|b|a|f .(1)解依题意，原不等式等价于|x1|x3|8.当x1时，则2x28，解得x3.所以不等式f(x)f(x4)8的解集为x|x3或x5.(2)证明要证f(ab)|a|f ，只需证|ab1|ba|，只需证(ab1)2(ba)2.|a|1，|b|1，知a21，b20.故(ab1)2(ba)2成立.从而原不等式成立.基础巩固题组(建议用时：50分钟)1.设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcca；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.当且仅当abc时取“”.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，当且仅当abc时取“”.故(abc)2(abc)，则abc.所以1.2.设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，当且仅当ab1时等号成立，即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾.故a2a2与b2bcd，则；(2)是|ab|，只需证明()2()2，也就是证明ab2cd2，只需证明，即证abcd.由于abcd，因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得.若，则()2()2，ab2cd2.abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|cd|的充要条件.7.(2018乐山模拟)已知定义在R上的函数f(x)|xm|x|，mN*，若存在实数x使得f(x)1，f()f()6，求证：.(1)解因为|xm|x|xmx|m|，要使|xm|x|2有解，则|m|2，解得2m1，f()f()21216，4，()，当且仅当，即，时“”成立，故.8.设函数f(x)|2xa|，g(x)x2.