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1,二、 两个重要极限,一、极限存在准则,第六节,极限存在准则,两个重要极限,第一章,2,1.准则1（数列极限存在的夹逼准则 ),证:,由条件 (2) ,当,时,当,时,令,则当,时, 有,由条件 (1),即,故,一、极限存在准则,3,例1. 证明,证: 利用夹逼准则 .,且,由,4,准则1 函数极限存在的夹逼准则,且,( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 ),5,3. 准则2 单调有界数列必有极限 （单调有界原理 ),( 证明略 ),6,例2. 设,证明数列,极限存在 . (P49),证: 利用二项式公式(P270 ), 有,7,大,大,正,又,比较可知,8,根据准则 2 可知数列,记此极限为 e ,e 为无理数 , 其值为,即,有极限 .,又,9,故极限存在，,例3,设, 且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,10,圆扇形AOB的面积,二、 两个重要极限,证: 当,即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,重要极限1,11,当,时,注,12,例4. 求下列函数的极限,2 .,1.,13,解: 令,则,因此,原式,3.,4.,解: 令,则,因此,原式,14,主讲教师: 王升瑞,高等数学,第七讲,15,例5. 计算下列函数的极限,2.,3.,1.,16,证明:,证:,说明: 计算中注意利用,例6. 已知圆内接正 n 边形面积为,17,重要极限2.,证: 当,时, 设,则,18,当,则,从而有,故,说明: 此极限也可写为,时, 令,19,例7 已知,求 C。,解: 原式 =,20,例8 求下列极限,解: 令,则,说明 ：若利用,则,原式,解,原式,21,解: I =,解: 原式 =,3.,22,5、,解法一：,解法二：,23,6、,解: 原式 =,说明: 若,则有,24,解: 原式 =,7、,25,内容小结,1. 数列极限存在的夹逼准则,函数极限存在的夹逼准则,2. 两个重要极限,或,26,思考与练习,1. 如何判断极限不存在?,方法1. 找一个趋于的子数列;,方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.,2. 已知, 求,时,下述作法是否正确? 说明理由.,设,由递推式两边取极限得,不对!,此处
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