矩阵典型习题解析.doc

2 矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析2.1.1 矩阵的概念1矩阵的定义由mn个数组成的m行n列的矩形数表 称为mn矩阵，记为2特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。3矩阵的相等设若 ，则称A与B相等，记为A=B。2.1.2 矩阵的运算1加法（1）定义：设，则（2）运算规律A+B=B+A；（A+B）+C=A+（B+C）A+O=AA+（-A）=0， A是A的负矩阵2数与矩阵的乘法（1）定义：设k为常数，则（2）运算规律 K(A+B)=KA+KB, (K+L)A=KA+LA, (KL)A=K(LA)3矩阵的乘法（1）定义：设则其中（2）运算规律；（3）方阵的幂定义：A，则运算规律：；（4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 4矩阵的转置（1）定义：设矩阵A=，将A的行与列的元素位置交换，称为矩阵A的转置，记为，（2）运算规律；。（3）对称矩阵与反对称矩阵若则称A为对称阵；，则称A为反对称阵。5逆矩阵（1）定义：设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵，记作。（2）A可逆的元素条件：A可逆（3）可逆阵的性质若A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1=A；若A可逆，k0，则kA可逆，且；若A可逆，则AT也可逆，且；若A，B均可逆，则AB也可逆，且。（4）伴随矩阵定义：，其中为的代数余子式，性质：i）； ii）；iii）；iv）若A可逆，则也可逆，且用伴随矩阵求逆矩阵公式：2.1.3 方阵的行列式1定义：由n阶方阵A的元素构成的n阶行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A的行列式，记为或detA。2性质：（1），（2），（3），（4）3特殊矩阵的行列式及逆矩阵(1) 单位阵E：；(2) 数量矩阵kE：当(3)对角阵：若，则4 上（下）三角阵设若，则仍为上（下）三角阵2.1.4 矩阵的初等变换与初等矩阵1矩阵的初等变换（1）定义：以下三种变换交换两行（列）；某行（列）乘一个不为零的常数k；某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。2初等矩阵（1）定义：将n阶单位阵E进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵；交换i ,j两行（列），记为E(i, j)；第i行（列）乘以不为零的常数k记为E(i(k)；第j行的k倍加到第i行上去，记为E(j(k)i；（2）初等矩阵的性质初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵；而（3）方阵A可逆与初等阵的关系若方阵A可逆，则存在有限个初等阵，使，（4）初等阵的行列式（5）初等阵的作用：对矩阵A进行一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等阵左（右）乘矩阵A，且3矩阵的等价（1）定义：若矩阵A经过有限次初等变换变到矩阵B，则称A与B等价，（2）A与B等价的三种等价说法，A经过一系列初等变换变到B；存在一些初等阵，使得存在可逆阵P，Q，使得PAQ=B2.1.5 分块矩阵1分块矩阵的定义以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。2分块矩阵的运算（1）设A，B为同型矩阵，采用相同的分法有 则（2）（3）设分块成 其中的列数分别等于的行数，则，其中3准对角阵（1）定义：形如 Ai为ni阶方阵的矩阵称为准对角阵。（2）准对角阵的行列式及逆矩阵设，则；若每个Ai可逆，则A可逆，且（3）特殊的准对角阵（i），若A1, A2可逆，则（ii），若A1, A2可逆，则（iii）是且（iv），则2.2 经典题型解析2.2.1 矩阵的运算1、若则c= 解：由得=0, =4 而-1+2b+6=-1得b=-3, =-7 从而 c 提示：对于最基本的矩阵的四则运算我们一定要烂熟于心。2、设A为三阶矩阵，且则 解：易错提示：本题是道特别基本的有关矩阵基本性质的类型题，考生易犯的错误就是对矩阵进行行列式计算时，把的阶数给忘记计算。3、设A为33矩阵，B为44，且则解：易错题示：本题同上，但还应值得我们注意的是，在计算时是我们常犯的错误。4、设则解： 易错提示：本题关键是要求我们注意到是矩阵，但却是数，倘若先计算然后再求，则计算式相当繁琐的。5、设，求.解：方法一：数学归纳法. 因为， 一般的，设，则.所以，有归纳法知。方法二：因为A是初等矩阵，相当于对单位矩阵，施行了n次初等列变换（把第一列加到第三列），故。方法三：利用对角矩阵和主对角线上为零的上三角矩阵幂的特点来进行计算。 令 ，其中，又因为，所以。故有 .提示：除上述方法外，本题还可以与后面的特征值联系起来计算，方法也算不少，读者只需选择一种或几种适合自己的且快捷简便的方法为宜。6、设矩阵，求。解：A的特征多项式，则有根1，-1（二重）。若设，那么所求，而，由代数学中的整除性质，解之得：。所以，从而。点评：本题可谓是到综合性极强的一道题，对于解这种类型题时，读者除需要掌握牢固扎实的基础知识外，还应具备真正能够做到各知识点前后相连，融会贯通的能力。所以，我们平时学习是应该养成多动脑，勤思考，常总结得好习惯。7、设，求。解：由分块矩阵知，其中， 又 而的秩为1，有从而2.2.2 矩阵的逆（逆矩阵）及其运用1、设A为三阶方阵，为A的伴随矩阵，计算解：因为，所以。易错提示：切记将2提出时应为，其中k为该矩阵的阶数。2、已知矩阵A满足关系式，求。解：因为 ， 思路提示：遇到有关此类问题时，我们首先应想到的是把所求问题的因式给分解出来，那么问题就会变得容易多了。3、设n阶可逆矩阵，为n维列向量（i=1,2,n）, 为n维非零列向量，且与均正交， 则可逆。解：要证明矩阵B可逆，我们这里只需要证明向量组线性无关即可。 为此，我们令： ， 两边同乘以，即 ， ，（i=1,2,n-1）且我们可以得出，那么即得：，又A是可逆矩阵， 线性无关。从而我们有=0，即证明了线性无关，同时也就说明了矩阵是可逆矩阵。思路提示：对于这某矩阵时可逆矩阵的方法也算不少，这里我们不妨预先前所熟悉的线性方程组来建立联系。这就要求我们对与矩阵与线性方程组建的关系要特别的熟悉与掌握，这对于今后解线性方程组也会只很有帮助的。事实上，对于mn矩阵A，我们可以把其每一列看作一列向量（记为），则A=（），这就很形象的转化为线性方程组问题了，而A=（）可逆向量组线性无关。4、设A为n阶实矩阵，若A+为正定矩阵，则A为可逆矩阵。证明：用反证法 假设A为不可逆矩阵， 则n维列向量，使得， 而对于 ， 从而我们知存在，使得， 但这与A+为正定矩阵相矛盾，从而假设不成立，这也就说明了A为可逆矩阵。点评：对于一些证明题，当我们感觉无处下手之时，不妨尝试一下反证法，很多时候反证法也未尝不是条光明道路。对于如何说明矩阵A是正定矩阵，我们应掌握以下几个等价定理：(1)定义法（最基本，也较常用，本题就是利用次方法来证明出矛盾来的的）；(2)来说明A的所有特征值全部都大于零；(3)来说明A的所有顺序主子式都大于零（这种方法再给出具体的矩阵表达形式时较常用）;(4)存在可逆矩阵，使得A=;(5)存在正交矩阵，使得A=;(6)存在正交矩阵，使得，。5、已知二次型， (1)写出该二次型的矩阵表达式；(2)用正交矩阵的方法把该二次型化为标准性，并写出对应的正交矩阵。解：（1）f的矩阵表达式为 ；（2）由（1）得知该二次型的矩阵为 ， A的特征方程为 ，由此可得出A的特征值：，对应的特征向量为 。对应的单位特征向量为： 。因此可得正交矩阵 ，那么对二次型f做正交变换，则该二次型就可以化为标准型 。点评：化二次行为标准形式二次型矩阵最常见的一种题型 ，在研究生入学考试中也是个重要的考察知识点，但题目一般难度不大，解答事业都有固定的模式，但它却要求我们必须仔细对待，切不可有所懈怠。6、二次曲面S在空间直角坐标系中的方程为 ，做直角坐标变换，把它化成标准方程，并且指出S是什么样的二次曲面？解：首先把方程左端的二次项部分 经正交变换化成标准型。而二次型矩阵A为 ，同时，根据上题知，我们可以找到正交矩