常微分方程--第六章 （6.1-6.3节）.ppt

6.1 非线性方程研究的例子与概念,6.1.1 例子,6.1.3 基本定义,6.1.2 自治微分方程与非自治微分方程、,动力系统,例6.1.1 早期研究生态问题的一个简单的,微分方程模型时Malthus模型,(6.1.1),其中 代表t时刻种群的数量， 为一个常数,(称为内禀增长率)，模型的简单解释就是说 时刻,种群的数量的变化率和种群数量成正比，这时一个,线性模型，加上初始条件,可以容易地求得其解为,由解的形式可以得出当 时,这种描述明显的与实际问题不符。因为任何群的,数量都受生态环境的影响不会无限制的增长，,这就是线性化所引起的问题，它改变了实际现象,变化规律，这就导出了对其改进的 Logisitic模型,这里的 及 的意义同(6.1.1), 是一个,常数，通常称为环境容纳量这是一个非线性的,问题，不过由于方程简单也利用初等积分可以得,得到其解为：,(6.1.2),当 时 ，从解的形式看出,(6.1.2)克服了(6.1.1)中种群数量无限增长的缺陷,在一定程度上能更好的刻画实际问题的变化规律,对(6.1.1)和(6.1.2)这样能求出其解的具体形,式的问题.当然可以用前面所学的知识来讨论其解,在 时的性态，而当我们求不出方程解时,又该如何研究 解的 性态呢？,事实上，对一些方程可从它的形式得到当,的性态。例若将方程(6.1.1)满足,初始值 的解记为 ,则从方程的形式可以看出，,当 时,则 , 单调减 ;,当 ， 时,则 , 单调增 。,所以，当 时,且单调减 必有极限,再由(6.1.1)看出,于是, 。即当 时，(6.1.1)的解,满足 同理可以得到,当 时， 这样我们,没有求解方程，通过解的形式得出了当 时，,(6.1.1)所有的解满足,同理，当 时，对(6.1.2)的解,有：,当 时，,当 时，,当 时，,于是不同的 我们可以得到(6.1.2)解的性态如下：,例6.1.2 讨论当时下面方程组解的性态.,（6.1.3）,解 由于(6.1.3)是一个非线性方程组，无法求出其,故我们用定性分析法来讨论(6.1.3)当,时解的性态.将(6.1.3)满足,的解记为,在时刻 ，该解在平面上的点为：,点随着时间t而变化， 点到坐标原点,由于,利用解满足的方程(6.1.3)得,于是， 随时间单调减少，再利用反证法可以,得到 。我们得结论是,即设有求解方程组(6.1.3)，我们也成功地解决了,解的性态分析问题。,本章就是要给出通过方程的形式来分析解的,法。接下来先给出一些基本概念。,6.1.2 自治微分方程与非自治微分方程,动力系统,最一般的 阶非线性微分方程可以表示为 :,(6.1.4),且 关于的 隐函数是存在的，即(6.1.4)可以,表示为,如果做变换,则该方程可以表示为如下的一阶微分方程组:,因此，我们只要考虑如下更一般的 :,（6.1.5）,方程组（6.1.5）可以记为向量形式,其中:,如果还有初始值条件 :,(6.1.7),(6.1.6)和(6.1.7)就是一个初始值问题。,我们称向量函数为初始值问题(6.1.6)，(6.1.7)的,解。如果它满足:,和,关于初始值问题(6.1.6)，(6.1.7)也有解的存在惟,一性定理,若 在开区域 中满足：,(1) 在 内连域，简记为：,(2) 关于 满足局部Lipschitz条件，即对于点,存在:,和依赖于 点的常数 使得对于任意的,不等式,成立其中 表示欧氏范数。,则初值问题(6.1.6),(6.1.7)在区间 上存,在唯一的解.这里:,微分方程(6.1.6)在 维空间,中确定了一个向量场，而满足(6.1.6),(6.1.7)的解,就是向量场中的一条积分曲线。,当(6.1.6)中的 函数满足解的存在惟一性条件,时，向量场中的任一点只有一条积分曲线经过。,如果把t理解为时间参量而只考虑空间变量,所在的空间,即 构成的,空间 称之为方程组(6.1.6)的相空间,积分曲线在,相空间的投影曲线称为方程组的轨线。,一般地方程组(6.1.6)中的函数 是与 相关的,这时的(6.1.6)就称为非自治微分方程组,如果 函,函数中不显含 ,即,(6.1.8),(6.1.8)就称为自治微分方程组。,可以从运动的观点来解释方程(6.1.6)或(6.1.8),即把 理解为时间(不管它在实际问题中是否确为,时间), 理解为维空间 中点的坐标.因而在任,意时刻 ,(6.1.6)在空间中定义了一个速度场,即为 时刻点,处的第 个速度分量,方程的解,即给出了质点的运动规律.因而称之为一个运动。,在以上的意义下,我们称方程(6.1.6)为一个动力系,统。相应的(6.1.6)称为非自治系统，(6.1.8)称为,自治系统。,这时 常记为 , 常记为 等。,6.1.3 基本定义,一般情况下方程(6.1.6)是无法用初等积分的方,法求解的，这当然为研究带了不便。但正因为这样,才使得非线性问题的研究更加丰富多彩。在许多应,场合没必要求出其精确解的具体形式。我们更感兴,趣的是方程(6.1.6)的解的定性性态，在应用中比较,重要的问题包括:,(1)是否存在常数值,使得 是(6.1.6)的解,(如方程(6.1.1)的常数,解 。（6.1.2）的常数解是,及 ),(2)设 是(6.1.6)的解, 是(6.1.6)的另一个,解， 与 很接近时，对于一切 是否有,有 与 都很接近?,这个问题就是后边涉及到的稳定性问题。,例如方程(6.1.2)中的常数解 ,若另有一解,不难计算只要 与 很接近,即 很小，,就有: 很小， 既是后边要定,义的稳定解。相应的(6.1.1)的解 ,无论 多么小， (6.1.1)的解,与 也不能保证对于一切 很接近，对于,(6.1.1)， 既是后边要定义的稳定解。,(3) (6.1.6)是否有解 ，满足,此即后边要定义的周期为 的周期解。,(4)当 时(6.1.6)任一解 有何趋向？,它是否趋向于常数解或周期解?,本章将着重解决这些问题，下边是几个基本定义:,定义6.1 系统（6.1.6）的常数解 称为,系统的平衡点(奇点或驻点)，常数解 满足：,例6.1. 求下列系统的平衡点：,解 由定义，令,解得,所以方程组有惟一的平衡点。,如果系统(6.1.6)的某个解 满足对一切,均有,其中 为一个常数，则称此解 为(6.1.6),的一个周期解。,例6.1.5 用Maple命令画出下边捕食被捕食系统的,方向场及一些轨线图,(图6.1),用Maple命令画出的图形见,从计算机的模拟看出系统有多个周期解。,下边我们给出系统(6.1.6)的解的稳定性的定义。,(图6.2)。,设(6.1.6)的右端函数 ，对于 和,连续，关于 满足李普希兹条件。且 (6.1.6),有一个解 定义于 及,使得对于(6.1.6)的任一满足 的解,只要：,(6.1.9),对于所有的 成立，则称方程（6.1.6）的解:,是李雅普诺夫意义下稳定的，简称稳定的。,如果(6.1.6)的解 不是稳定的，则称它是不,稳定的。,(6.1.6)零解稳定的几何意义是对任意给定的半,径总能在中 找到一个以原点为中心、半径为,的开球 ，使得(6.1.6)在时刻从出发的解曲线当,时总停留在半径为 的开球 内。,图6.3,如果方程(6.1.6)的解 是稳定的，而且,存在一个常数 ，使对于一切满足,(6.1.11),的解 ,都有,(6.1.12),则称解 是渐近稳定的。,如果(6.1.6)的解 是渐近稳定的,且存在,区域 ，只要 ，就有,稳定域或吸收域。,则称区域 为(6.1.6)的解 的渐近,如果解 的渐近稳定域是全空间，则,称此解是全局渐近稳定的。,例如前边的例6.1.1中的系统（6.1.2）中的,就是稳定的且是渐近稳定的，而解,就是不稳定的。,关于稳定性还有几点要注意的:,注1 上边的定义中是针对 或 ，,以有时把上边定义中的稳定性称为正向稳定的（不,稳定的，渐近稳定的等），如果把 的趋向改为,或 ，相应地可定义负向稳定的,(不稳定的，渐近稳定的等)，以后如无特别声明我,们所说的稳定性均指正向稳定性。,注2 当定义中的 为系统的奇点时,即可得出奇点的稳定性。,注3 由于在研究（6.1.6）的某一特解,的稳定性时，总可以用变换,(6.1.13),将(6.1.6)化为,(6.1.14),其中,(6.1.15),且显然有,即(6.1.6)的特解 对应着(6.1.14)的零,解 ，因而研究(6.1.6)的特解 的,稳定性问题就转化为研究（6.1.14）的零解（奇点）,的稳定性问题。,图6.1,图6.2,6.2 几乎线性系统解的稳定性,6.2.1 平面几乎线性系统和稳定性,6.2.2 高维几乎线性微分方程组的稳定性,1 稳定性的概念,主要研究系统处值变化不大时的解在无限区间,上的变化情况，变化不大，称为系统是稳,定的，变化大，不稳定。,在实际中，是有很重要的意义的。,比如说火箭的发射 ，“差之毫厘，谬以千里”。,稳定性的研究工作，贡献最大的是 李雅普诺,夫 。他创立了两种方法，第一方法，第二方法，,后者又称为直接法。,2 数学上的定义 方程组 满足,的解。,( 一般与 和 有关)。,满足 时,有 ，,对 则称为方程组的重解 为稳定的，,否则称为是不稳定的。,若重解 稳定，且 ，,当 时,满足初始条件 的解均有：,则称重解为渐近稳定的。,如果解 是渐近稳定的 ，一切 区域 ,只要,就有：,则称区域 为解 的渐近稳定域或吸收域。,若渐近稳定域是全空间的,则称解为全局渐近,全局渐近稳定的。,3.稳定性的判断（李维普诺夫第二方法）,1.定量函数,设 为定义在 上的单,值连续函数，并且有连续偏导数 ，,若在域 内有 ，,则称 为常正(常负)的。若对于一切 有,则称 是正定（负定）的，习,惯上称为V函数。,例 为正定函数。,是常定的。,2.V关于方程组的全导数,把解带入 函数中，对 函数关于 求导得到,例：求函数沿平面自治系统的全导数,( ),解：利用公式得 沿系统的全导数为,3.判据,Th1 对系统(1),若 一个正定函数 ，,且 沿(1)的全导数 为常负函数或恒为零，,则系统(1)的零解是稳定的。,Th2 对系统(1)，若 一个正定函数 ，,且 沿(1)的全导数 为负定函数，则系统(1)的,零解是渐近稳定的。,例：,解 取 为正定的，,且 是常负的，,所以重解为稳定的。,6.3 Liapunov 第二方法,6.3.1 定理及概念,6.3.2 例题及定理的证明,3.1 定理及概念,定理6.1 对于系统（6.3.1），如果可以找到,一个定正函数 ，且此 函数沿着系统的,全导数为 常负函数或恒等于零，,则系统（6.3.1）的零解是稳定的。,定理6.2 对于系统（6.3.1），如果可以找到一,个定的函数 ，且沿着系统的全导数 为,定负函数，则系统的零解是渐近稳定的。,定理6.3 对于系统（6.3.1）如果能找到一个,函数 它在 点的任何邻域内至少有,一点 ，,那么，如果存在 的某个邻域 ,使,得在 中 是定正（定负）的，则,系统（6.3.1）的零解是不稳定的。,定理6.4 函数,当且仅当 和 同时成立，,是定正的，,同时成立。,是定负的，当且仅当 和,定理6.5 对于系统（6.3.1），,如果存在定正的 ，且 常负，,但是使得 点 的集合不含系统,(6.3.1)的除零解外的任何整条正半轨线，,则（6.3.1）的零解是渐近稳定的。,定理6.6 对于系统（6.3.1），,如果存在函数 和某一非负常数 ，使得,且当 时, 为定正函数，,当 时， 为常正函数或恒为零，,又在 的任意小的邻域内，,至少存在某个 使得 ，,则（6.3.1）得零解时不稳定的。,3.2 例题及定理的证明,例6.3.1 在二维空间 上,是定正的 函数。,是常正的。,这里关于 函数有两个结论：,结论1 如果函数 是定正（常正）的 ，,则 定负（常负）的；,结论2 如果 是一个二维定正 函,数，则对于适当的 是一条包,围原点的闭曲线。,微分方程解的稳定性问题。,现在讨论如何应用 函数来确定非线性,为了简单，我们只考虑非线性自治系统,（6.3.1）,其中:,假设 ，且 在原点的某个邻域内,满足解的存在唯一性条件。,把(6.3.1)的解 代入函数 中得 的,复合函数，对 函数关于 求导数得到：,这样求得的导数 称为函数 沿着方程,组(6.3.1)的全导数，一般情况下它仍为,的函数。,例6.3.2 求函数 沿着平,的全导数。,解 利用公式（6.3.2）得此函数 沿着系统,(6.3.3)得全导数为,例6.3.3 利用李亚普诺夫稳定型准则判定下面,系统的零解的稳定性态。,解 对于系统（1），构造李亚普诺夫函数,则 是正定的且,是定负的。所以由定理6.2知系统（1）的零解,是渐近稳定的。,对于系统（2），构造如（1）中的 函数则,显然 在原点邻域是定正的，而,在原点任何邻域有大于零的点（其实也是定正,函数），所以由定理6.3知系统（3）的零解是,不稳定的。,例6.4 构造二次型 函数证明系统,（6.3.8）,的零解是渐近稳定的。,证明 取如定理6.4中的 函数,则,显然若取 ，