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信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性.（1） （2）（3） （4）（5）解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。1.2 证明证明：左边 当n为奇数时，右边0，当n为偶数时，右边所以当n为偶数时，左右两边相等。1.3 证明证明：根据复合函数形式的函数公式 式中是h(x)=0的根，表示在处的导数。于是 1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。解：设卷积为g(x)。当-1x0时，如图题1.1(a)所示， 图题1.1当0 x 1时，如图题1.1(b)所示， 即 1.5 计算下列一维卷积。（1） （2）（3）解：（1）（2）设卷积为g(x)，当x0时，如图题1.2(a)所示， 当0 0，则物平面上的透射光场为 其频谱为 由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿轴整体平移了sin/距离。 （2）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统。系统的截至频率，于是要求 由此得 （1）角的最大值为 （2）此时像面上复振幅分布和强度分布为 （3）照明光束的倾角取最大值时，由(1)式和(2)式可得 即 (3)0时，系统的截止频率为，因此光栅的最大频率 (4)比较(3)和(4)式可知，当采用倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。3.3 光学传递函数在处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？解：在 （1）式中，令 为归一化强度点扩散函数，因此(1)式可写成 而 即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，着便是归一化点扩散函数的意义。 （2）不能大于1。 （3）对于理想成像，归一化点扩散函数是函数，其频谱为常数1，即系统对任何频率的传递都是无损的。3.4 当非相干成像系统的点扩散函数成点对称时，则其光学传递函数是实函数.解：由于是实函数并且是中心对称的，即有，应用光学传递函数的定义式易于证明，即为实函数3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a，出瞳到像面的距离为di，光波长为，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大？解：用公式来分析。首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均相同。其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身的重叠情况，而不计及和其它小孔的重叠。这时N个小孔的重叠面积除以N个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况是一样的，即截至频率约为，由于2a很小，所以系统实现了低通滤波。第四章 部分相干理论4.1 若光波的波长宽度为，频率宽度为，试证明：。设光波波长为，试计算它的频宽 = ? 若把光谱分布看成是矩形线型，则相干长度证明：因为频率与波长的关系为 (其中c为光速)对上式两边求导得 所以 因所以 有因为相干长度 4.2 设迈克耳孙干涉仪所用光源为的钠双线，每一谱线的宽度为0.01nm .（1）试求光场的复相干度的模；（2）当移动一臂时，可见到条纹总数大约是多少？（3）可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？解：假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为 （1）光场的复相干度为 式中，复相干度的模为 由于，故第一个因子是的慢变化非周期函数，第二个因子是的快变化周期函数。相干时间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在的地方，c即为相干时间，故相干长度 (2) 可见到的条纹总数 （3）复相干度的模中第二个因子的变化周期 ，故 可见度的变化周期 每个周期内的条纹数4.3 假定气体激光器以N个等强度的纵模振荡。其归一化功率谱密度可表示为 式中，是纵模间隔，为中心频率。为简单起见，假定N为奇数。（1）证明复相干度的模为 （2）若N3，且01/v，画出与 的关系曲线。（1）证明：复相干度函数为 得 所以复相干度得模为 （2）当N=3时，复相干度的模为 4.4 在例4.7.1所示的杨氏干涉实验中，若缝光源用两个相距为a，强度相等的准单色点光源代替，试计算此时的复相干系数。解：应用范西泰特策尼克定理得 4.5 利用傍轴条件计算被一准单色点光源照明，距离光源为z的平面上任意两点P1和P2之间的复相干系数(P1 ,P2) .解：设光源所在平面的坐标为 ，；孔平面的坐标为x ,y。点P1和P2的坐标为(x1 ,y1)和(x2 ,y2)。对于准单色点光源，其强度可表为 在傍轴近似下，由范西泰特策尼克定理得 因为,由点光源发出的准单色光是完全相干的，或者说x,y面上的相干面积趋于无限大。第六章 计算全息6.1 一个二维物函数f ( x, y)，在空域尺寸为1010mm，最高空间频率为5线/mm，为了制作一张傅里叶变换全息图：(1) 确定物面抽样点总数.(2) 若采用罗曼型迂回相位编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？(3) 若采用修正离轴参考光编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？(4) 两种编码方法在全息图上抽样单元总数有何不同？原因是什么？解：(1)假定物的空间尺寸和频宽均是有限的。设物面的空间尺寸为x,y；频宽为2Bx,2By.根据抽样定理，抽样间距x,y必须满足x1/2Bx, y1/2By才能使物复原。故抽样点总N(即空间带宽积SW)为(2)罗曼计算全息图的编码方法是在每一个抽样单元里用开孔的大小和开孔的位置来编码物光波在该点的振幅和相位。根据抽样定理，在物面上的抽样单元数应为物面的空间带宽积，即。要制作傅里叶变换全息图，为了不丢失信息，空间带宽积应保持不变，故在谱面上的抽样点数仍应为.(3)对于修正离轴参考光的编码方法，为满足离轴的要求，载频应满足Bx为满足制作全息图的要求，其抽样间隔必须满足x1/2Bx, y1/2By。因此其抽样点数为 (4)两种编码方法的抽样点总数为2倍关系，这是因为，在罗曼型编码中，每一抽样单元编码一复数；在修正离轴型编码中，每一抽样单元编码一实数。修正离轴加偏置量的目的是使全息函数变成实值非负函数，每个抽样单元都是实的非负值，因此不存在位置编码问题，比同时对振幅和相位进行编码的方法简便。但由于加了偏置分量，增加了记录全息图的空间带宽积，因而增加了抽样点数。避免了相位编码是以增加抽样点数为代价的。6.2 对比光学离轴全息函数和修正型离轴全息函数，说明如何选择载频和制作计算全息图的抽样频率.解：设物的频宽为(1)对于频宽的选择 光学离轴，由图6.2.5(b)可知， 修正离轴，由图6.2.5(d)可知，载频的选择是为了保证全息函数在频域中各结构分量不混叠。(2)对于制作计算全息图时抽样频率的选择光学离轴全息，由图6.2.5(c)可知：在x方向的抽样频率应，即x方向的抽样间距。在y方向的抽样频率应，即x方向的抽样间距。修正离轴全息，由图6.2.5(e)可知：在x方向的抽样频率应，即x方向的抽样间距。在y方向的抽样频率应，即x方向的抽样间距。6.3 一种类似傅奇型计算全息图的方法，称为黄氏(Huang)法，这种方法在偏置项中加入物函数本身，所构成的全息函数为 (1) 画出该全息函数的空间频率结构，说明如何选择载频.(2) 画出黄氏计算全息图的空间频率结构，说明如何选择抽样载频.解：把全息函数重写为 物函数为 并且归一化的，即，参考光波R 1。经过处理后的振幅透过率为 其频谱为(1)设物的带宽为，如图题6.3(a)所示。全息函数的空间频谱结构如图题6.3(b)所示，载频。(2)黄氏全息图的空间频率结构如图题6.3(c)所示，由此可得出：在x方向的抽样频率应，即x方向的抽样间距。在y方向的抽样频率应，即x方向的抽样间距。抽样点数即空间带宽积为.黄氏计算全息图的特点：(1)占用了更大的空间带宽积(博奇全息图的空间带宽积)，不具有降低空间带宽积的优点。(2)黄氏全息图具有更高的对比度，可以放松对显示器和胶片曝光显影精度的要求。 6.4 罗曼迂回相位编码方法有三种衍射孔径形式，如图题6.1所示.利用复平面上矢量合成的方法解释，在这三种孔径形式中，是如何对振幅和相位进行编码的. 解：对于型和型，是用来编码振幅A(x,y)，用来编码相位，在复平面上用一个相幅矢量来表示，如图题6.4(a).对于罗曼型是用两个相同宽度的矩孔来代替，型中的一个矩孔。两矩孔之间的距离是变化的，用这个变化来编码振幅A(x,y)。在复平面上反映为两个矢量夹角的变化。两个矩孔中心距离抽样单元中心的位移量用作相位的编码。在复平面上两矢量的合成方向即表示了的大小，如图题6.4(b)所示。 第八章 空间滤波8.1 利用阿贝成像原理导出相干照明条件下显微镜的最小分辨距离公式，并同非相干照明下的最小分辨距离公式比较。26解：显微镜是用于观察微笑物体的，可近似看作一个点，物近似位于物镜的前焦点上。设物镜直径为D，焦距为f，如图8.1所示。对于相干照明，系统的截止频率由物镜孔径的最大孔径角o决定，截止频率为。从几何上看，近似有。截止频率的倒数的倒数即为分辨距，即 对于非相干照明，由几何光学可知其分辨距为非相干照明时显微镜的分辨率大约为相干照明时的两倍。8.2 在4f系统输入平面放置40mm-1的光栅，入射光波长632.8nm。为了使频谱面上至少能够获得5级衍射斑，并且相邻衍射斑间距不小于2mm，求透镜的焦距和直径。解：设光栅宽度比较大，可近似看成无穷，设周期为d，透光部分为a，则其透过率函数可表为 其频谱为 即谱点的位置由决定，即m级衍射在后焦面上的位置由下式确定： 相邻衍射斑之间的间距 由此得焦距f为 物透明片位于透镜的前焦面，谱面为后焦面，谱面上的5级衍射斑对应于能通过透镜的最大空间频率应满足 于是求得透镜直径 8.3 观察相位型物体的所谓中心暗场方法，是在成像透镜的后焦面上放一个细小的不透明光阑以阻挡非衍射的光。假定通过物体的相位延迟1弧度，求所观察到的像强度(用物体的相位延迟表示出来)。解：相位物体的透过率为 其频谱为 若在谱平面上放置细小的不透明光阑作为空间滤波器，滤掉零频背景分量，则透过的频谱为 再经过一次傅里叶变换(在反演坐标系)得 强度分布为因此在像面上得到了正比于物体相位平方分布的光强分布，实现了将相位转换为强度分布的目的。不过光强不是相位的线性函数，这给分析带来困难。8.4 当策尼克相衬显微镜的相移点还有部分吸收，其强度透射率等于 (0 1)时，求观察到的像强度表示式。解：相位物体的频谱为现在用一个滤波器使零频减弱，同时使高频产生一个/2的相移，即滤波器的透过率表达式为 于是 像的复振幅分布为 像强度分布为 像强度分布与相位分布成线性关系，易于分析。8.5 用CRT(阴极射线管)记录一帧图像透明片，设扫描点之间的间隔为0.2mm，图像最高空间频率为10mm-1。如欲完全去掉离散扫描点，得到一帧连续灰阶图像，空间滤波器的形状和尺寸应当如何设计？输出图像的分辨率如何(设傅立叶变换物镜的焦距f1000mm ,=632.8nm)。解：扫描点的表达式为 其频谱为 在上式的化简中应用了公式 由此可见，点状结构的频谱仍然是点状结构，但点与点之间的距离不同。扫描点频谱出现的位置为 点状结构是高频，所以采用低通滤波将其滤掉。低通滤波器圆孔半径为 能传递的最高空间频率为 即高于5 1/mm的空间频率将被滤掉，故输出图像的分辨率为5 1/mm。8.6 某一相干处理系统的输入孔径为30mm30mm的方形，头一个变换透镜的焦距为100mm，波长是632.8nm。假定频率平面模片结构的精细程度可与输入频谱相比较，问此模片在焦平面上的定位必须精确到何种程度？解：考虑到系统孔径有限，一般用几何光学近似，引入光瞳函数P(x,y), 根据题意其表达式为设系统的输入面位于透镜的前焦面，物透明片的复振幅分布为，它的频谱分布为，透镜后焦面上的场分布式中。由的表达式可见，频谱面上能分辨的细节由决定。取一个方向来看，将sinc函数由最大降为零的宽度取为最小分辨单元，即要求满足，于是有 因为频谱平面模片也有同样细节，所以对准误差最大也不允许超过它的一半，约1m.第九章 相干光学处理9.1 参看图9.1.1，在这种图像相减方法的编码过程中，如果使用的光栅透光部分和不透光部分间距分别为a和b，并且ab。试证明图像和的信息与图像差的信息分别受到光栅偶数倍频与光栅奇数倍频的调制。解：如图题9.3所示，先将t (x)展开成傅立叶级数 式中 所以 第一次曝光得 对于是将光栅向x的负方向移动半个周期即(a+b) /2，将它展开成傅立叶级数得第二次曝光得 即图像和的信息受到光栅偶数倍频的调制，图像差的信息受到光栅奇数信频的调制。9.2 用Vander Lugt方法来综合一个平年元平面滤波器，如图9.1(左)所示，一个振幅透射率为s(x,y)的“信号”底片紧贴着放在一个会聚透镜的前面，用照相底片记录后焦面上的强度，并使显影后底片的振幅透射率正比于曝光量。这样制得的透明片放在图题9.1(右)的系统中，假定在下述每种情况下考查输出平面的适当部位，问输入平面和第一个透镜之间的距离d应为多少，才能综合出：（1）脉冲响应为s(x,y)的滤波器？（2）脉冲响应为s* (x,y)的“匹配”滤波器？解：（1）参看图题9.1左，设物面坐标为x1, y1；胶片坐标为x2, y2。则参考光波在记录胶片上造成的场分布为 （1）式中A为常数， sin/为空间频率。物透明片在记录胶片上造成的场分布为 式中S(,)为s(x1, y1)的频谱，且x2/f，=y2/f。胶片上的光强分布为 (2)将曝过光的胶片显影后制成透明片，使它的复振幅透过率正比于照射光的强度，即 （3）将制得的透明片作为频率平面模片，放在图题9.1右所示的滤波系统中。要综合出脉冲响应s(x , y)或s*(-x , -y)，只要考察当输入信号为单位脉冲 (x , y) 时，在什么条件下系统的脉冲响应为s(x , y)或s*(-x , -y)。参看右图，当输入信号为 (x1 , y1)时，在L2的后焦面上形成的光场复振幅分布，根据公式 得透过频率平面模片得光场分布，由(2)，(3)和(4)式得 如果要使系统是脉冲响应为s(x , y)的滤波器，应当利用(5)式中含有S(,)的第三项，应要求该项的二次相位因子为零，即有 d =2f (6)这时的输出为（在反演坐标系中） （7）（2）若要使系统的脉冲响应为s*(-x , -y)的匹配滤波器，应当利用(5)式中的第二项，要求d = 0，则在输出面上形成的光场复振幅分布为（在反演坐标系中） （8）9.3 振幅透射率为h(x,y)和g(x,y)的两张输入透明片放在一个会聚透镜之前，其中心位于坐标