浙江2020版高考数学第四章导数及其应用4.2导数的应用（第2课时）导数与函数的极值、最值讲义（含解析）.docx

第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1设f(x)是一个三次函数，f(x)为其导函数，如图所示的是yxf(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()Af(2)与f(2) Bf(1)与f(1)Cf(2)与f(2) Df(1)与f(1)答案A解析由图象知，当x0；当2x0时，f(x)0；当0x2时，f(x)2时，f(x)0.所以f(x)在区间(，2)上为增函数，在区间(2,2)上为减函数，在区间(2，)上为增函数，所以f(x)的极大值与极小值分别是f(2)与f(2)命题点2求函数的极值例2设函数f(x)ln(x1)a(x2x)，其中aR.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由解f(x)a(2x1) (x1)令g(x)2ax2axa1，x(1，)当a0时，g(x)1，此时f(x)0，函数f(x)在(1，)上单调递增，无极值点当a0时，a28a(1a)a(9a8)a当0时，0，设方程2ax2axa10的两根为x1，x2(x1x2)，因为x1x2，所以x1.由g(1)10，可得1x10，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增因此函数有两个极值点当a0，由g(1)10，可得x110，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减所以函数有一个极值点综上所述，当a时，函数f(x)有两个极值点命题点3根据极值求参数例3 (1)函数f(x)exmx21在x0处的切线方程为_，若函数f(x)有两个极值点，则实数m的取值范围为_答案xy20解析f(x)ex2mx，f(0)1，f(0)2，所以函数f(x)在x0处的切线方程为xy20.由题意可知，f(x)ex2mx0有两个根，即2m有两个根记g(x)，则g(x)，在(，0)，(0,1)上，g(x)0.所以当x0时，g(x)0时，g(x)0且在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以只需2mg(1)e，故m.(2)(2018金华十校期末考试)已知函数f(x)x32x2ax1在(1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是_答案1,7)解析由题意可知f(x)3x24xa0有两个不等根，其中一个在(1,1)上，另一个不在该区间上因为导函数f(x)的对称轴是x，所以只能是一根在上，另一根在(，1上，所以解得1a7.思维升华函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号(2)根据函数极值情况求参数的两个要领列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证：求解后验证根的合理性跟踪训练1 (1)(2013浙江)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到极小值D当k2时，f(x)在x1处取到极大值答案C解析当k1时，f(x)exx1，f(1)0.x1不是f(x)的极值点当k2时，f(x)(x1)(xexex2)则f(1)0，且x在1的左边附近f(x)0，f(x)在x1处取到极小值故选C.(2)若函数f(x)(12a)x2lnx(a0)在区间内有极大值，则a的取值范围是()A.B(1，)C(1,2) D(2，)答案C解析f(x)ax(12a) (a0，x0)，若f(x)在区间内有极大值，即f(x)0在内有解，且f(x)在区间内先大于0，再小于0，则即解得1a2，故选C.题型二用导数求函数的最值例4已知函数f(x)klnx，k，求函数f(x)在上的最大值和最小值解f(x).若k0，则f(x)在上恒有f(x)0，所以f(x)在上单调递减若k0，则f(x).()若k0，则在上恒有0，由ke，则x0在上恒成立，所以0，所以f(x)在上单调递减综上，当ka，则实数a的取值范围是_答案解析由题意知，f(x)3x2x2，令f(x)0，得3x2x20，解得x1或x，又f(1)，f，f(1)，f(2)7，故f(x)min，a0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以当3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.思维升华(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值跟踪训练3已知函数f(x)ax32x24x5，当x时，函数f(x)有极值，则函数f(x)在3,1上的最大值为_答案13解析f(x)3ax24x4，由f0可得a1，经验证f为极值；f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，解得x2或x.当x变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如表所示：x3(3，2)21f(x)00f(x)8134函数f(x)在3,1上的最大值为13.利用导数求函数的最值例(15分)已知函数f(x)lnxax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值规范解答解(1)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，)3分当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.7分(2)当1，即a1时，函数f(x)在1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln22a.9分当2，即0a时，函数f(x)在1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.11分当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln2a，所以当aln2时，最小值是f(1)a；当ln2a1时，最小值为f(2)ln22a.14分综上可知，当0aln2时，函数f(x)的最小值是f(1)a；当aln2时，函数f(x)的最小值是f(2)ln22a.15分用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f(x)；第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范1.函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点答案C解析设f(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当x0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f(x)0，解得c或c0，b0)在x1处取得极小值，则的最小值为()A4B5C9D10答案C解析由f(x)ax3bx2x(a0，b0)，得f(x)ax2bx1，则f(1)ab10，ab1，1(ab)5529，当且仅当，即a，b时，等号成立，故选C.6已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则f(2)等于()A11或18B11C18D17或18答案C解析函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，f(1)10，且f(1)0，又f(x)3x22axb，解得或而当时，函数在x1处无极值，故舍去f(x)x34x211x16，f(2)18.7(2018衢州质检)已知函数f(x)x32ax21在x1处的切线的斜率为1，则实数a_，此时函数yf(x)在0,1上的最小值为_答案解析由题意得f(x)3x24ax，则有f(1)3124a11，解得a，所以f(x)x3x21，则f(x)3x22x，当x0,1时，由f(x)3x22x0得x1；由f(x)3x22x0得0x0时，ex1，aex0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_答案解析f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0得xa，当axa时，f(x)a或x0，函数f(x)单调递增，f(x)的极大值为f(a)，极小值为f(a)f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a.a的取值范围是.10已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1,1，则f(m)的最小值为_答案4解析f(x)3x22ax，由f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，故a3.由此可得f(x)x33x24.f(x)3x26x，由此可得f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.11设函数f(x)alnxbx2(x0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值解(1)f(x)2bx，函数f(x)在x1处与直线y相切，解得(2)由(1)知，f(x)lnxx2，f(x)x，当xe时，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得1xe，f(x)在上单调递增，在(1，e上单调递减，f(x)maxf(1).12已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解(1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极小值极大值故当x0时，函数f(x)取得极小值f(0)0，函数f(x)的极大值点为x.(2)当1x0时，f(x)在1，e上单调递增，则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a.故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a0，且a1，则函数f(x)(xa)2lnx()A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值，又有极小值D既无极大值，又无极小值答案C解析由题意f(x)2(xa)lnx(xa)(x0)，由f(x)0得xa或2lnx10，由函数y2lnx与y1(a0且a1)的图象知方程2lnx10也有解xx0，根据函数的单调性与极值的关系，当0a1时，xa为函数f(x)的极小值点，xx0为f(x)的极大值点，故函数f(x)(xa)2lnx既有极大值，也有极小值，故选C.14(2018台州模拟)已知函数f(x)aex2x2a，且a1,2，设函数f(x)在区间0，ln 2上的最小值为m，则m的取值范围是_答案2，2ln 2解析g(a)f(x)a(ex2)2x是关于a的一次函数，当x0，ln2)时，ex20)，f(x)lnx1mex(x0)，由函数f(x)有两个极值点可得ym和g(x)在(0，)上有两个交点，g(x)(x0)，令h(x)lnx1，则h(x)0，h(x)在(0，)上单调递减且h(1)0，当x(0,1时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(0,1上单调递增，当x(1，)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(1，)上单调递减，故g(x)maxg(1)，而当x0时，g(x)，当x时，g(x)0；若ym和g(x)的图象在(0，)上有两个交点，只需0m，故m0.16(2018温州第一次适应性测试)设a为实数，若函数f(x)(x1)exax2(xR)(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)的极值；(3)当a(0,1时，若函数f(x)在0，a上的最大值为M(a)，求M(a)解(1)当a0时，f(x)(x1)ex，f(x)xex，x(，0)时，f(x)0，函数f(x)单调递增(2)f(x)x(ex2a)当a0时，ex2a0.x(，0)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，x0时，函数f(x)取极小值f(0)1.当a0时，令f(x)x(ex2a)0，解出x10或x2ln(2a)若ln(2a)0，即a，f(x)x(ex1)0，xR，函数f(x)单调递增，没有极值若ln(2a)0，即a，x(，0)和x(ln(2a)，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增；x(0，ln(2a)时，f(x)0，函数f(x)单调递减；函数f(x)的极大值是f(0)1，极小值f(ln(2a)2a(ln(2a)1)a(ln(2a)2.若ln(2a)0，即0a0，函数f(x)单调递增；x(ln(2a)，0)时，f(x)时，f(x)有极大值1，极小值2a(ln(2a)1)a(ln(2a)2；当0a时，f(x)有极大值2a(ln(2a)1)a(ln(2a)2，极小值1；a时，f(x)没有极值(3)令f(x)x(ex2a)0，解得x10或x2ln(2a)若ln(2a)0，即00，即a1