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2007年ACM协会暑期集训专题(三) 计算几何,刁瑞 数学科学学院,需要注意的细节,常用头文件#include 计算几何中一般来说使用double型比较频繁，请注意数据类型的选择，该用实数的时候就用double，而float容易失去精度。 判断double型的x是否为0，应当用x-eps（或者fabs(x)eps），其中eps代表某个精度，常常取eps=0.000001，还有其他类似情况也要注意double类型的精度问题，int(x+eps)，避免x=4.999999999,需要注意的细节,圆周率取3.141592654或者更精确，或者用acos(-1) 角度制和弧度制的转换，C/C+中的三角函数均为弧度制 尽量少用除法，开方，三角函数，容易失去精度。用除法时注意除数不为0 输出的时候要小心-0.00000，比如 a=-0.0000001，printf(“%.5lf”,a);,向量及其运算,计算几何中经常使用向量，而且基本上都是二维的，下面用代表三个向量 =(x0,y0) =(x1,y1) =(x2,y2) 某些题目需要经常使用向量运算，因此对于这类问题最好建立构造类型或者类来表示向量，并将向量之间的运算进行重载 一般需要重载加法，减法，和向量乘法,向量及其运算,struct point /构造点的数据类型，也可作向量使用 double x; double y; v1,v2; point operator+(point p1,point p2); double operator*(point p1,point p2);,向量及其运算,向量有两种乘法，内积（数量积，点积）和外积（向量积，叉积），一般是要根据题目需要选择其中一个重载，多数情况是重载外积，其中 内积= x0*x1 + y0*y1 外积= x0*y1 x1*y0=,向量及其运算,内积的几何意义：在的投影与的长度乘积 外积的几何意义：和所张成的平行四边形的有向面积 外积在计算几何的题目当中经常使用,外积的应用,判断外积的符号，右手定则 如图，0 如果= 0 则等价于两个向量共线（同向或反向），可以用此判断三点共线问题。当然，这里的=0在实际编程的时候要用一个精度来控制,外积的应用,考察右图 有向线段P1P2 “向右拐” 得到P2P3 有向线段P1P2 “向左拐” 得到P2P4 可以利用外积判断“拐向”，这在求凸包时会用到,外积的应用,利用外积求三角形面积 已知三个顶点坐标为(a0,b0),(a1,b1),(a2,b2)，则三角形面积为 注意别忘记取绝对值，这里利用面积是否为0也可以考察三点共线问题 这个方法求面积比海伦公式或者其他方法要好,外积的应用,由求三角形面积的方法可以推广求凸多边形面积 如图，从一固定点出发，向其他各点引辅助线，这样就分割成了若干个三角形，利用上式求出每个三角形的面积再相加即可。,整点多边形,整点多边形是指顶点的横纵坐标均为整数 由外积导出的面积计算公式可以看出，整点多边形的面积或为整数，或为整数/2. Pick公式：整点多边形的面积=内部整点个数+边上的整点个数/2 - 1. NKOJ 1159: Triangle 计算几何中的公式有不少，需要积累,三角形的一些性质,如何判断点是否在三角形内部？ 此点与三角形三个顶点相连，出现三个三角形，如果这三个三角形的面积之和等于原三角形面积，那么该点在内部 推广：可用来判断点是否在凸多边形内部 思考：如何判断点是否在一般多边形内部？,三角形的心,外心：外接圆圆心，三条中垂线交点 内心：内接圆圆心，三条角平分线交点 重心：三条中线交点，注意其物理性质 垂心：三条垂线焦点 旁心：一个外交平分线与另外两个内角平分线交点 NKOJ 1257: EXOCENTER OF A TRIANGLE,判断点在直线上,利用三点共线的等价条件= 0 直线上取两不同点P1,P2，若点P在直线上，则fabs(P1 - P) (P2 - P ) eps 如果该题目需要编写求三角形面积的函数，那直接判断这三个点形成的三角形面积是否eps,判断点在线段上,判断点P(x,y)是否在线段P1P2上，其中P1(x1,y1),P2(x2,y2) 需要验证两条 （1）点P在P1P2所在直线上，即三点共线 （2）点P在P1P2为对角线的矩形内 其中（2）利用 min(x1,x2)=x=max(x1,x2) & min(y1,y2)=y=max(y1,y2),判断两线段是否相交,判断P1P2是否和P3P4相交，其中Pi坐标为(xi,yi)，同样需要满足两个条件 （1）快速排斥试验： 以P1P2为对角线的矩形S1是否和以P3P4为对角线的矩形S2相交，即 min(x1,x2)=max(x3,x4) & min(x3,x4)=max(x1,x2) & min(y1,y2)=max(y3,y4) & min(y3,y4)=max(y1,y2),判断两线段是否相交,（2）跨立试验： 点P1，P2必然在线段P3P4的不同侧，因此 点P3，P4必然在线段P1P2的不同侧，因此,第一个不等式等价于线段P1P2与直线P3P4相交，第二个不等式等价于线段P3P4和直线P1P2相交，两条关系为&, 1015 土地划分,快速排斥试验引申,思考： 简单的改造一下就可以用来判断一个矩形是否在另一个矩形内部 NKOJ 1177 rectangles,凸包,convex hull 是指对于平面上给定的一些点，选取一个最小的凸多边形使得这些点或者在其内部，或者在其边上,求凸包的Graham扫描法,对于一个有三个或以上点的点集Q 令p0为Q中Y-X坐标排序下最小的点 设为对其余点按以p0为中心的极角逆时针排序所得的点集（如果有多个点有相同的极角，除了距p0最远的点外全部移除） 压p0进栈S，压p1进栈S，压p2进栈S for(i=3;i=m;+i) while(由S的栈顶元素的下一个元素、S的栈顶元素以及pi构成的折线段不拐向左侧) 对S弹栈 压pi进栈S return S,凸包练习,1219: Triangle * 需要先求凸包，之后不能用N3的算法穷举三角形，需要使用二分法 POJ 1113 Wall POJ 2007 Scrambled Polygon POJ 1228 Grandpas Estate 凸包很重要，以上题目务必做出一题,计算几何的二分思想,二分法在计算几何中应用很多 1140: Crossed ladders 1485: Triangle Partition *,Further Exercise,1041: The Circumference of the Circle 1708: NK