江苏2018版高考数学复习平面向量5.4平面向量的综合应用教师用书理苏教版.docx

第五章 平面向量 5.4 平面向量的综合应用教师用书 理 苏教版1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题向量共线定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|，其中a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.2.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角).3.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.【知识拓展】1.若G是ABC的重心，则0.2.若直线l的方程为AxByC0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(B，A)与直线l平行.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，则A，B，C三点共线.()(2)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则.()(3)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角.()(4)在ABC中，若0，则ABC为钝角三角形.()(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(2，1)，B(0，10)，C(8，0)，若动点P满足：t()，tR，则点P的轨迹方程是xy10.()1.已知向量a(cos ，sin )，b(，1)，则|2ab|的最大值为_.答案4解析设a与b夹角为，|2ab|24a24abb284|a|b|cos 88cos ，0，cos 1，1，88cos 0，16，即|2ab|20，16，|2ab|0，4.|2ab|的最大值为4.2.(教材改编)已知力F(2，3)作用在一物体上，使物体从A(2，0)移动到B(2，3)，则F对物体所做的功为_焦耳.答案1解析由已知位移(4，3)，力F做的功为WF2(4)331.3.(2016泰州模拟)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足4，则点P的轨迹方程是_(填“内心”、“外心”、“重心”或“垂心”).答案x2y40解析由4，得(x，y)(1，2)4，即x2y4.4.在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足2，则()_.答案解析因为M是BC的中点，所以2，所以().5.如图，ABC是边长为2的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则()min_.答案1解析取AB的中点D，连结CD、CP(图略).所以()()()2(2)22176cos，当cos，1时，取得最小值1.题型一向量在平面几何中的应用例1(1)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点.若1，则AB_.(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_.(填“内心”“外心”“重心”或“垂心”)答案(1)(2)重心解析(1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则，又，()()22|2|cos 60|21|21.|0，又|0，|.(2)由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心.引申探究在本例(2)中，若动点P满足，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_.(填“内心”“外心”“重心”“垂心”)答案内心解析由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以点P的轨迹必过ABC的内心.思维升华向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.(1)在ABC中，已知向量与满足()0，且，则ABC的形状为_三角形.(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_.答案(1)等边(2)5解析(1)，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知为BAC的平分线.因为()0，所以BAC的平分线垂直于BC，所以ABAC.又cosBAC，所以cosBAC，又0BAC，故BAC，所以ABC为等边三角形.(2)以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPy.则D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，(2，y)，(1，ay)，则3(5，3a4y)，即|3|225(3a4y)2，由点P是腰DC上的动点，知0ya.因此当ya时，|3|2的最小值为25.故|3|的最小值为5.题型二向量在解析几何中的应用例2(1)已知向量(k，12)，(4，5)，(10，k)，且A、B、C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_.(2)设O为坐标原点，C为圆(x2)2y23的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足0，则_.答案(1)2xy30(2)解析(1)(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k0可知k2，则过点(2，1)且斜率为2的直线方程为y12(x2)，即2xy30.(2)0，OMCM，OM是圆的切线，设OM的方程为ykx，由，得k，即.思维升华向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用abab0(a，b为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.(2016盐城模拟)如图所示，半圆的直径AB6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值为_.答案解析圆心O是直径AB的中点，2，()2，与共线且方向相反，当大小相等时，乘积最小.由条件知，当POPC时，最小值为2.题型三向量的其他应用命题点1向量在不等式中的应用例3已知x，y满足若(x，1)，(2，y)，且的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是_.答案解析因为(x，1)，(2，y)，所以2xy，令z2xy，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数z2xy过点C(1，1)时，zmax2113，目标函数z2xy过点F(a，a)时，zmin2aa3a，所以383a，解得a.命题点2向量在解三角形中的应用例4在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a15b12c0，则ABC最小角的正弦值等于_.答案解析20a15b12c0，20a()15b12c0，(20a15b)(12c20a)0，与不共线，ABC最小角为角A，cos A，sin A.命题点3向量在物理中的应用例5如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为_.答案2解析如题图所示，由已知得F1F2F30，则F3(F1F2)，即FFF2F1F2FF2|F1|F2|cos 6028.故|F3|2.思维升华利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化.(2016扬州模拟)如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3.点B，C分别在m，n上，|5，则的最大值是_.答案解析方法一以直线n为x轴，过A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(0，3)，B(x1，2)，C(x2，0)，从而(x1，1)，(x2，3)，则x1x23，又因为|5，即5，故(x1x2)294x1x2，从而x1x2，此时x1x23，当且仅当x1x2时等号成立.方法二设P为BC的中点，则2，从而由|5得|，又()()222，因为|2，所以21，故1，当且仅当|2时等号成立.三审图形抓特点典例(2016苏州一模)已知A，B，C，D是函数ysin(x)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则，的值分别为_.解析由E为该函数图象的一个对称中心，作点C的对称点M，作MFx轴，垂足为F，如图.B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，知OF.又A，所以AF，所以2.同时函数ysin(x)图象可以看作是由ysin x的图象向左平移得到，故可知，即.答案2，1.(教材改编)已知平面向量a，b，满足|a|，|b|2，ab3，则|a2b|_.答案解析由题意可得|a2b|.2.(教材改编)已知|a|1，|b|，且a(ab)，则向量a与向量b的夹角为_.答案解析a(ab)，a(ab)a2ab0，aba2，|a|1，|b|，cosa，b，又a，b0，向量a与向量b的夹角为.3.(2016南京模拟)已知向量a(cos ，2)，b(sin ，1)且ab，则sin 2_.答案解析由ab得cos 2sin 0，cos 2sin ，又sin2cos21，5sin21，sin2，cos2，sin 22sin cos cos2.4.设ABC的三个内角为A，B，C，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，若mn1cos(AB)，则C_.答案解析依题意得sin Acos Bcos Asin B1cos(AB)，sin(AB)1cos(AB)，sin Ccos C1，2sin(C)1，sin(C).又C0，|ab|ab|，又|ab|2a2b22ab3，|ab|.9.已知|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)x3|a|x2abx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是_.答案解析设a与b的夹角为.f(x)x3|a|x2abx，f(x)x2|a|xab.函数f(x)在R上有极值，方程x2|a|xab0有两个不同的实数根，即|a|24ab0，ab，又|a|2|b|0，cos ，即cos ，又0，.10.(2016常州期末)如图，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，ADAB4，CD1，动点P在边BC上，且满足mn(m，n均为正实数)，则的最小值为_.答案解析方法一建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，D(0，4)，C(1，4).又kBC，故BC：y(x4).又mn，(4，0)，(0，4)，所以(4m，4n)，故P(4m，4n)，又点P在直线BC上，即3n4m4，即4()(3n4m)()77274，所以()min，当且仅当即m42，n时取等号(因为m，n均为正实数).方法二因为mn，所以mn()mn(m)n.又C，P，B三点共线，故mn1，即m1，以下同方法一.11.已知向量a(sin()，3)，b(1，4cos )，(0，).(1)若ab，求tan 的值；(2)若ab，求的值.解(1)因为ab，所以sin()12cos 0，即sin cos 12cos 0，即sin cos 0，又由题意得cos 0，所以tan .(2)若ab，则4cos sin()3，即4cos (sin cos )3，所以sin 2cos 22.所以sin(2)1.因为(0，)，所以2(，)，所以2，即.12.已知点P(0，3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足0，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程.解设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a，0)，Q(0，b)(b0)，则(a，3)，(xa，y)，(x，by)，由0，得a(xa)3y0.由，得(xa，y)(x，by)，b0，y0，把a代入，得3y0，整理得yx2(x0).动点M的轨迹方程为yx2(x0).13.已知角A，B，C是ABC的内角，a，b，c分别是其所对边长，向量m(2sin ，cos2)，n(cos ，2)，mn.(1)求角A的大小；(2)若a2，cos B，求b的长.解(1)已知mn，所以mn(2sin ，cos2)(cos ，2)sin A(cos A1)0，即sin Acos A1，即sin(A)，因为0A，所以A.所以A，所以A.(2)在ABC中，A，a2，cos B