差分方程模型应用1.doc

第七章 差分方程模型 差分方程是解决离散时间问题的常用的数学方法，本章介绍几个用差分方程建立的实际问题的数学模型。7.1个人住房抵押贷款随着经济的发展,金融问题正越来越多地进入普通市民的生活，贷款、保险、养老金和信用卡等都涉及金融问题，个人住房抵押贷款是其中最重要的一项。1998年12月,中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如表7.1所列:表7.1 中国人民银行贷款利率表贷款期限 半年 一年 三年五年五年以上利率 6.12 6.39 6.667.207.56当贷款期处于表中所列相邻年限之间时利率为对应相邻两数中较大者。其后,上海商业银行对个人住房商业性贷款利率做出相应调整。表7.2和表7.3分别列出了上海市个人住房商业抵押贷款年利率和商业抵押贷款(万元)还款额的部分数据(仅列出了五年)。表7.2 上海市商业银行住房抵押贷款利率表贷款期限 一年 二年 三年四年五年利率 6.12 6.255 6.3906.5256.660表7.3 上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表（元）贷款期限 一年 二年三年四年五年月还款 一次还清本息总和 10612.0 444.3610664.54305.9911015.63237.2611388.71196.4111784.71一个自然的问题是,表7.2和表7.3是如何依据中央人民银行公布的存、贷款利率水平制定的？我们以商业贷款10000元为例,一年期贷款的年利率为6.12,到期一次还本付息总计10612.00元,这很容易理解。然而二年期贷款的年利率为6.255,月还款数444.36元为本息和的二十四分之一,这后两个数字究竟是怎样产生的？是根据本息总额算出月还款额，还是恰好相反？让我们稍微仔细一些来进行分析。由于贷款是逐月归还的,就有必要考察每个月欠款余额的情况。设贷款后第个月时欠款余额为元，月还款元,则由变化到,除了还款额外,还有什么因素呢？无疑就是利息。但时间仅过了一个月,当然应该是月利率,设为,从而得到或者 (7.1)初时条件 (7.2)这就是问题的数学模型。其中月利率采用将年利率平均。即=0.06255/12=0.00512125 (7.3)若是已知的,则由(7.1)式可以求出中的每一项,我们称(7.1)式为一阶差分方程。模型解法与讨论（1）月还款额 二年期的贷款在24个月时还清,即=0 (7.4)为求的值,设 ， =1,2, （7.5)易见于是导出的表达式 (7.6)由(7.5)式与(7.6)式得 = 从而得到差分方程(7.1)的解为 (7.7)将的值和=24代入得到=444.36(元),与表7.3中的数据完全一致,这样我们就了解了还款额的确定方法。当然还款额表的制定依赖于年利率表,而后者又是怎样制定的呢？尽管我们无法获知银行方面的各种考虑,但还是可以通过比较分析得出一些结论。首先注意表7.2商业性贷款利率中有两个数据与中央银行公布的表7.1中的数据相同,不过相应的贷款年限则放宽了一档:6.12是一年期,而在表7.1中是上一档半年期,6.66是五年期而在表7.1中是上一档三年期。其次再考察表7.2商业性贷款二、三、四年期的利率,我们把这三个数字是如何得到的问题留给读者。 依据这两个结论,请读者自己制定出住房商业性贷款直至二十年的利率表和还款额表。(2)还款周期我们看到个人住房贷款是采用逐月归还的方法,虽然依据的最初利率是年利率。那么如果采用逐年归还的方法,情况又如何呢？仍然以二年期贷款为例,显然,只要对(7.7)式中的利率代之以年利率=0.06255,那么由=2, =0, =10000,则可以求出年还款额应为=5473.87(元)这样本息和总额为2=10947.73(元)远远超出逐月还款的本息总额。考虑到人们的收入一般都以月薪方式获得,因此逐月归还对于贷款者来说是比较合适的。读者还可以讨论缩短贷款周期对于贷款本息总额的影响。（3）平衡点回到差分方程(7.1),若令,可解出 (7.8)称之为差分方程的平衡点或称之为不动点。显然,当初值时,将恒有。 在住房贷款的例子里,平衡点意味着如果贷款月利率和月还款额是固定的,则当初贷款额稍大于或小于时,从方程(7.1)的解的表达式(7.7)中容易看出，欠款额随着的增加越来越远离,这种情况下的平衡点称为不稳定的,对一般的差分方程, =0,1,2， (7.9)称满足方程 的点为（7.9）的平衡点。若（7.9）的解 (7.10)则称为稳定的平衡点,否则称为不稳定的平衡点。判别平衡点是否稳定的一个方法是考察导数:（1）当1时, 是不稳定的。在金融乃至经济等其他领域中,还有许多问题的数学模型都可以用差分方程来表达。下面再介绍几个典型例子。7.2养老保险养老保险是与人们生活密切相关的一种保险类型。通常保险公司会提供多种方式的养老金计划让投保人选择,在计划中详细列出保险费和养老金的数额。例如某保险公司的一份材料指出:在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下,男子若25岁起投保,届时月养老金2282元;若35岁起投保,月养老金1056元;若45岁起投保,月养老金420元。我们来考察三种情况下所交保险费获得的利率。设投保人在投保后第个月所交保险费及利息累计总额为,那么很容易得到数学模型 (7.11) 其中,分别是60岁前所交的月保险费和60岁起每月领的养老金数(单位: 元),是所交保险金获得的利率,分别是投保起至停交保险费和至停领养老金的时间(单位:月).显然依赖于投保人的寿命,我们取该保险公司养老金计划所在地男性寿命的统计平均值75岁,以25岁投保为例,则有=200,=2282，=420,=600而初始值=0,据此不难得到 (7.12)由此可得到关于的方程如下 (7.13)记,且将已知数据代入,则只需求解方程 (7.14)由方程(7.14)求得=1.00485, =0.00485（非线性方程求近似解）。对于35岁起投保和45岁起投保的情况,求得保险金所获得的月利率分别为0.00461和0.00413。7.3金融公司支付基金的流动金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额5400万的基金,分开放置在位于城和城的两家公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时必须确保总额仍然为5400万。经过相当长的一段时期的现金流动,发现每过一周,各公司的支付基金在流通过程中多数还留在自己的公司内,而城公司有10%支付基金流动到城公司, 城公司则有12%支付基金流动到城公司。其初城公司基金为2600万, 城公司基金为2800万。按此规律,两公司支付基金数额变化趋势如何?如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于2200万,那么是否需要在必要时调动基金?设第周末结算时, 城公司城公司的支付基金数分别为，(单位:万元),那么有1.9 . (7.15)这是一个差分方程组,初始条件为=2600,=2800 (7.16)通过迭代,可以求出第周末时的和的数额,下面的表7.4列出了几种情况下1至12周末两公司的基金数。 表7.4（） 的两城支付基金表 1234562676.0 2724.02735.3 2664.727815 2618.52817.6 2582.42845.7 2554.32847.7 2532.37891011122884.8 2515.22898.1 2501.92908.5 2491.52916.7 2483.32923.0 2477.02927.9 2472.1 表7.4（） 的两城支付基金表 k 1234562832.0 2568.02857.0 2543.0 2876.4 2523.62891.6 2508.42903.5 2496.52912.7 2487.37891011122919.9 2480.12925.5 2474.52929.9 2470.12933.3 2466.72936.0 2464.02938.1 2461.9 表7.4（） 的两城支付基金表 1234562988.0 24122978.6 2421.4 2971.3 2428.72965.6 2434.42961.2 2438.82957.7 2442.37891011122955.0 2445.02952.9 2447.12951.3 2448.72950.0 2450.02949.0 2451.02948.2 2451.8从表7.4（）中可以看出城公司支付基金数在逐步增加,但增幅逐步减小; 城公司的基金变化正好相反。然而, 是否有上界, 是否有下界? 是否会小于2200万元呢？我们还是不能断言。解决这个问题有许多方法,下面我们借助线性代数知识来处理这个问题,将(7.15)式写成矩阵形式 (7.17)那么我们就可以得到 (7.18)利用正交变换（也可以利用矩阵迭代）,便可以圆满地回答前面的问题。对于本例，当充分大城公司的支付基金为2945.8万元，城公司的支付基金为2454.2万元。均满足2200万元的最低保证金要求（请读者自己完成）。 类似于差分方程平衡点的讨论，对于一般的一阶常系数差分方程组 （7.19）称满足方程组 的解向量为（7.19）式的平衡点。如果 称平衡点是稳定的。记 可以通过分析矩阵的特征值来判断（7.19）式平衡点的稳定性：（1） 当任意的或者，平衡点是稳定的；（2） 当任意且，平衡点是不稳定的。 对于本模型，通过求的特征向量，得到。也可以用迭代法求近似解。矩阵的两个特征值分别为1，0.78，因此，该平衡点是稳定的。7.4选举问题西方国家的政治生活中,选举是一件大事。随着选民人数的变化，选举的趋势会是怎样的？一直是各个政党十分关心的问题。本节我们介绍用差分方程建立一个由三个政党参加的选举问题。考虑有三个政党参加每次的选举，每次参加投票的选民人数保持不变。通常情况下，由于社会、经济、各党的政治主张等多种因素的影响，原来投某党票的选民可能改投其他政党。为此，我们作如下假设：(1) 每次投党票的选民，下次投票时，分别有比例的选民投政党的票，每次投党票的选民，下次投票时，分别有比例的选民投各政党的票，每次投党票的选民，下次投票时，分别有比例的选民投各政党的票； （2）表示第次选举时分别投各党的选民人数。 每次投票的选民数变动情况见流程图7.1。根据假设,可以得到如下差分方程组 （7.20） 其中, 令上式可以表示为矩阵形式 （7.21）如果给出问题的初始值，就可以利用递推方法，求出任一次选举时的选民投票情况。通过求（7.21）式的平衡点满足的方程组 解得，以下是几个实例模拟，模型各参数均取相同值（初值出外），其中，。我们将结果放在表7.5中，供大家参考。（1） 表7.5（）0 1 2 3 4 5 6 7 822200 22210 22216 22219 22220 22221 22222 22222 222227800 7790 7784 7781 7780 7779 7778 7778 777810000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 (2) 。 表7.5（）0 1 2 3 4 5 6 7 813333 18000 20033 21045 21580 21870 22029 22116 2216413333 11333 9833 8928 8415 8129 7971 7884 783613333 10667 10133 10027 10005 10001 10000 10000 10000(3) 表7.5（）0 1 2 3 4 5 6 7 810000 15500 18525 20189 21104 21607 21884 22036 2212020000 14500 11475 9811 8896 8393 8116 7964 788010000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 (4) 表7.5（）0 1 2 3 4 5 6 7 820000 19000 20050 20947 21505 21825 22003 22101 2215620000 13000 10350 9133 8511 8179 7998 7899 78440 8000 9600 9920 9984 9997 9999 10000 10000可以验证，当时，四组初值条件下，三个政党的选票数将分别稳定在22222、7778、10000。进一步借助矩阵还可以证明，当， ，如果总选民数为40000，最终三个政党的选票数将分别稳定在22222、7778、10000。我们还可以借助这个模型,分析选民数有变化的情况。7.5简单的种群增长模型 假设在一个自然生态地区生长着一群鹿,在一段时间内,鹿群的增长受资源制约的因素较小。试预测鹿群的增长趋势如何?下面将建立一个简单的鹿群增长模型。假设:（1）公、母鹿占群体总数的比例大致相等,所以本模型仅考虑母鹿的增长情况；（2）鹿群中母鹿的数量足够大,因而可近似地用实数表示；（3）将母鹿分成两组:一岁以下的称为幼鹿组,其余的称为成年组；（4）将时间离散化,每年观察一次,分别用表示第年的幼鹿数及成年鹿数，且假设各年的环境因素都是不变的;（5）分别用表示两个年龄组鹿的雌性生育率,用表示其死亡率。出生率、死亡率为常数，记;（6）鹿的数量不受自然资源的影响;（7）刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为，设。根据以上假设,建立模型如下 =0,1, (7.22)或写成矩阵形式 (7.23)令=, A=则(7.23)式可表示为 (7.24)于是可得到也即 (7.25)其中分别是初始时刻的幼鹿数与成年鹿数。关于的解法假如A可以对角化,先将A对角化,如不能对角化,则将其化成约当标准型。对于本例,可作如下处理,令 得到特征方程 (7.26)判别式0特征方程(7.26)有两个相异的实根,因此A可以对角化。对应的特征向量分别为, 。由此得到 A= (7.27)因而=代入(7.25)式得=也即 （ ） (7.28)其中 (7.29)故解为 (7.30)最后,我们利用(7.30)式对下面一组数据进行验证，取 经计算得 将这组数据代入（7.29）得 由（7.30）式得 =1.392, 1.829, 2.596, 3.602, 5.03, 7.011,=1.246, 1.798, 2.482, 3.471, 4.837, 6.746,模型分析该模型没有考虑资源的限制，所以当鹿群的增长接近饱和状态时，模型需要修正。读者可以作进一步考虑。7.6 Leslie人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用前面提出的差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的Leslie人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。模型假设(1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变化。假设女性最大年龄为岁，将其等间隔划分成个年龄段（不妨假设为的整数倍），每隔年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化。(2) 记为第个年龄组第时段的女性总人数，。第年龄组女性生育率为（注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为，假设不随时间变化，记。 (3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响。模型建立与求解根据以上假设，可得到方程 = =1,2，,-1 写成矩阵形式为 （7.31）其中，L= 记 （7.32）假设和矩阵L已经由统计资料给出，则 =1，2，为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：(i) (ii) ，且不全为零。易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。在条件（i）、（ii）下，下面的结果是成立的：定理7.1 L矩阵的正特征根是唯一的、单重的，若记之为，则其对应的一个特征向量为 （7.33）定理7.2 若是矩阵的任意一个特征根，则必有。定理7.3 若第一行中至少有两个顺次的，则 （i）若是矩阵L 的任意一个特征根，则必有。 （ii） =， （7.34）其中是与有关的常数。定理7.1至定理7.3的证明这里省去。由定理7.3的结论知道，当充分大时，有 (7.35)定理7.4 记，）=/+/2+/m，则是的非零特征根的充分必要条件为 （7.36）所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而各个年龄组的人口数近似地按1的比例增长。由（7.35）式可得到如下结论：(i) 当时，人口数最终是递增的；(ii) 当时，人口数最终是递减的；(iii) 当=1时，人口数是稳定的。根据（7.36）式，如果=1，则有 记 （7.37）的实际含义是平均每个妇女一生中所生女孩数。当时，人口递增；当时，人口递减。Leslie模型有着广泛的应用，这里我们给出几个应用的例子，供读者参考。动物种群管理随着种群数量的增长,由于受食物、生存空间等自然资源的制约,种群的总量不能无限制地增长,增长比例会逐渐减小。而且让动物群体自然地增长,而不去捕获它,也会造成一种资源的浪费,但是过度的捕获会导致动物种群趋于灭绝。那么我们应该采取怎样的捕获策略呢? 现在我们来考虑一个牧场或饲养场的一个动物种群的饲养,从经济的角度出发，我们总是希望尽可能多的饲养动物，但是，如果饲养的动物太多的话，牧场的条件又不许可。我们不妨假设动物的数量在牧场规模许可的范围内时，其食物、生存空间等自然因素对动物群体的增长不构成较大的制约。下面我们将给出一个持续稳定的屠宰方案,进行周期的屠宰。假设每次屠宰都在生育期和哺乳期之后进行,每次屠宰数量相同,屠宰后的动物数量与上一次屠宰后的数量相同。类似于Leslie模型,我们仅考虑雌性动物数量的变化。仍然采用前面的一些记号,且假设第个年龄组的动物按的比例屠宰,称其为第组的屠宰率,并称矩阵 H=diag()为屠宰矩阵。则各组的动物屠宰数量可用向量表示。根据持续屠宰策略的要求得到方程 (7.38)上式表明是矩阵L-HL的特征值为1所对应的特征向量。容易算出 L-HL= (7.39)从上式可以看出,矩阵L-HL也是Leslie矩阵,因此该矩阵有正特征根1的充要条件为 (7.40)该式表明,如果满足(7.40)式,就能保证种群数量的稳定，此时对应的一个特征向量为 （7.41）下面考虑在任给一个初始年龄分布向量后,怎样确定，才能获得持续稳定的收获策略。根据(7.40)式，令解得 (7.42)因此 (7.43) 要使解出的满足,根据(7.43)式,只要初始年龄分布向量满足据此得到定理7.5 设是一个初始年龄分布向量,如果的分量满足 (7.44)则可以唯一确定一组,其中 (7.45)满足方程其中,是Leslie矩阵,为屠宰矩阵。最优年龄分布向量的确定从定理7.5可知,任意给定一组初始年龄分布向量,可以唯一确定一组。(7.不同的初始年龄向量分布所确定的屠宰矩阵是不一样的。下面考虑怎样的初始年龄分布向量,可使屠宰数量最大。也就是说,当动物总数控制在某一范围内时,使每年的屠宰的数量为最大。假设动物群体的规模为,即当动物总数不超过时,动物群体的增长几乎不受环境因素的制约。设初始年龄分布向量,则在下一次屠宰前,年龄分布向量为T由于动物的总数不能超过,即 这里取,各组动物的屠宰量可以由向量唯一确定,即 屠宰总数为 （7.46） 最优年龄分布向量问题归结为如下线性规划问题 (7.47)此处我们不打算介绍线性规划问题的解法,有兴趣的读者可以参阅文献15。7.7 差分形式阻滞增长模型 我们在前面介绍的都是线性差分方程模型,对这类方程的求解与稳定性分析是比较容易的。下面介绍的模型涉及非线性差分方程，对于一般的非线性差分方程，求解与稳定性分析都是比较困难的，通常需要借助计算机给出数值解。本节我们通过一个例子说明，非线性差分方程具有线性差分方程所没有的一些有趣的性质，比如，周期分支，混沌现象等。在第六章中，我们曾用微分方程形式的Logistic模型来描述种群增长，即 （7.48）但是，我们在处理实际问题时，通常用离散化的时间来研究会觉得更加方便，也能更好地利用观测资料。例如有些生物每年在固定的时间繁殖，通常人们对动物种群的观测也是定期进行的。于是需要阻滞增长的离散模型。将方程（7.48）离散化得到 （7.49）记 （7.50） 则（7.49）式可以简化为 （7.51）上式是一阶非线性差分方程。在实际应用中通常没有必要找出该方程的一般解，因为给定初值后利用计算机就可以方便地递推出。事实上，在应用差分形式的阻滞增长模型（7.49）或者（7.51）时，人们最关心的是时或者的收敛情况，即差分方程平衡点的稳定性问题。方程(7.48)有两个平衡点,。是不稳定的平衡点，是稳定的平衡点，即不论和取什么值都有：当时，方程的解。那么该方程的差分形式的方程（7.51）是否也有同样的性质呢？下面的分析将会看到，情况并不完全一样。对于差分方程（7.51），因为，所以。为了求（7.51）式的平衡点，令 容易得到其平衡点为，非零平衡点所对应的就是（7.48）式的非零平衡点。为了分析的稳定性，我们考虑（7.51）的局部线性化方程 （7.52）关于的局部稳定性有如下结论：定理7.6 若，是方程（7.52）的稳定平衡点，也是方程（7.51）的稳定平衡点；若，是方程（7.52）的不稳定平衡点，也是方程（7.51）的不稳定平衡点。因此在分析方程稳定性的过程中具有重要作用。 由，容易得到。根据定理7.6，我们有：当时，（7.51）式所给出的非零平衡点与（7.48）式所给出的非零平衡点的稳定性是相同的，即都是稳定的，但是当时，（7.51）式给出的平