逆矩阵的小解及其应用毕业论文.doc

逆矩阵的小解及其应用摘 要：矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.为了更便捷地求逆矩阵，根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法. 并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的典型例题.关键字：逆矩阵；分块矩阵；初等变换；伴随矩阵The solution of inverse matrix and its applicationAbstract: Matrix theory is a main content of linear algebra and an important tool dealing with practical problem. Inverse matrix has a very important position in matrix theory. In order to solve the inverse matrix more easily, we introduce several simple inverse matrix methods according to different characteristics. This paper also gives brief demonstration to part of the methods and corresponding typical examples for all of the approaches. Key words: Inverse matrix; Block matrix; Elementary transformation; Adjoint matrix.矩阵理论是线性代数以及高等代数的核心内容，无论是二次型，还是线性变换以及欧几里得空间都可以借助于矩阵简便的解决相关问题可以说，掌握矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件而求逆矩阵在矩阵中占有重要地位所以，本文详细归纳了一系列的求解方法，并力求在某些方法的基础上推广逆矩阵的求法或找到一种新的求法本文在已有的几种常见方法的基础上对其进行深入探索研究，并对已经学过的知识进行了更深层次的研究，找到了多种解决逆矩阵求解的方法.早在十九世纪末，人们在研究行列式的性质和计算时，提出了对角矩阵的概念，由于计算机的发展，更是为矩阵对角化的应用开辟了广阔的前景，它经常出现在诸如可用于求解微分方程组，用于研究数理统计量的分布，还有用于研究集合曲面的标准形等不同的科技领域中，这就使得对角矩阵成为计算数学中应用及其广泛的矩阵而在求逆矩阵的方法中经常利用对角矩阵为过渡过程，在本文中就运用了此法1 方法总结1.1 定义法 级方阵称为可逆的，如果有级方阵,使得 这里是单位矩阵，那么我们可以将矩阵的逆矩阵表示如下：.例1 设为阶矩阵，并且满足,求. 解 由定义可知1.2 伴随矩阵法设是阶实矩阵，若,那么证明 设阶矩阵 由行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和，以及行列式的某一行（列）的元素与另外一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零，以下等式成立： 这里由此可知，若令那么,由此可得， 由矩阵定义可知：.注：用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快捷，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.例2 矩阵,且，求.解 可逆，并且=.1.3 初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果可逆，则可通过初等变换，化为单位矩阵I，即存在初等矩阵使 用右乘上式两端，得： 比较（1）（2）两式，可以看到当通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵作同样的初等变换，就化为的逆矩阵.用矩阵表示这是求逆矩阵的初等行变换法，或者这是用列初等变换求逆矩阵，这都是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.现在让我们从具体的题目中看看这类题的解析.例3 已知矩阵,求,其中解 .1.4 分块矩阵法1.4.1 引理设、均可逆，求证成立.证 设、分别为阶、阶的方阵，则： 证毕. 由于这个公式太难记，因此我们在解决这类题目时往往将其转化为三角分块矩阵再求其逆.1.4.2 准对角线型矩阵的求逆 设、都是非奇异矩阵,且为阶方阵，为阶方阵，若矩阵，则.证明 、均为非奇异矩阵，则 可逆设,其中又、均为可逆矩阵， .可以将上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角线型矩阵中去，即：例4 已知，求.解 将分块如下：， 其中 可求的从而1.4.3 准三角型矩阵求逆 设、为非奇异矩阵，则.证明 两边求逆得： .同理可证.此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.例5 已知，求.解 将分块如下：， 其中 可求的从而1.4.4 上三角形矩阵求逆 如果阶矩阵可逆，那么他的逆矩阵是其中：例6 求上三角矩阵的逆矩阵.解 根据上述定理可得因此，1.5 由等价标准行求可逆矩阵 设施阶可逆矩阵，的秩等于，存在可逆矩阵和，使得，故.证明 首先构造矩阵然后对进行如下的初等变换：（1）对的前几行进行初等行变换（2）对的前几列进行初等列变换则经过有限次的上述变换后，可变为由此可得. 此方法在一般教材中很少提到，但若同时采用初等行、列变换，把已知可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，有时候会起到事半功倍的效果.这实质上是从等价标准形的角度给出了矩阵的一种新的求解方法.例7 求可逆矩阵的逆矩阵.解 构造矩阵得1.6 恒等变形法 恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.例8 已知试求,其中证明 由 等式两边同时乘以 则,又 .1.7 利用线性方程组来来求矩阵的逆引理：若阶矩阵可逆，线性方程组,其中的解为，于是的第行是，其中是第个分量为的单位向量.例9 求矩阵的逆矩阵解 设,解线性方程组 将上式中的用代替便可得到1.8 克莱姆法则求解逆矩阵对于阶矩阵的逆矩阵，大多数教材上教材上通过给出的（对于该定理的证明，已经在第二种解法中给出），现在我们用克莱姆法则来验证矩阵的逆矩阵.我们知道可逆时，的逆矩阵是与同阶的矩阵.不妨设根据逆矩阵的定义可知,即： 将左边两个矩阵相乘确定出所得矩阵的各个位置上的元素，再利用矩阵相等的条件，由左右两边两个矩阵的第一列对应元素相等可以得到如下方程组：当时非奇异矩阵时，就有，从而根据克莱姆法则有：， 同理，由左右两边两个矩阵的第二列对应元素相等可以得到如下的方程组：，从而根据克莱姆法则可知：， 再依次从左右两边两个矩阵的第、列对应元素相等可以得到类似的方程组，同样由克莱姆法则得：，这样中的每一个元素都已经求出了，全部代入既得：这就是用克莱姆法则验证了矩阵的逆矩阵.例10 求可逆矩阵的逆矩阵.解 矩阵的行向量为，由标准基表示为：解以为未知量的方程组得：1.9 利用Hamiton-Caley定理法求逆矩阵 Hamiton-Caley定理: 设A是数域P上一个矩阵，是的特征多项式，则.如果可逆，则A的特征多项式的常数项，由定理知 于是 因此得 此式给出了的多项式计算方法.例11 已知，求.解 矩阵A的特征多项式为： 因，所以矩阵A可逆，由式知 =1.10 分解矩阵法求逆矩阵 设为阶可逆矩阵，且,其中已知，是可逆矩阵，又设可逆，则 (1) 将已知的矩阵分解成两个或两个以上矩阵的和（一般以分解为两个最佳），然后再求解其逆.例12 求矩阵的逆矩阵.解 由公式得： .1.11 利用多项式互素的充要条件求矩阵的逆设为一个阶方阵，为复数域，且则可逆的充分条件为；此时有，使得，且.证明 设与互素，与在上无公共根，的特征值均为，又为之特征值，.,即无零特征值，从而可逆 当时，必有,使得,即.例13 已知阶方阵满足，证明可逆，并求.证 令且可逆，又,从而 .1.12 用行列式求逆矩阵设为阶矩阵，且为满秩矩阵,则可逆，且为的初始单位向量组，即例14 设，求的逆矩阵.解 .参考文献1 王萼芳，石生明.高等代数M.3版.北京:高等教育出版社,2003:177-1932 高明逆矩阵的求法J阴山学刊2006,2(20):14-163 苏敏逆矩阵求法的进