大工12秋《建筑制图》辅导资料三.doc

大连理工大学网络教育学院建筑制图辅导资料三主 题：“画法几何”辅导资料学习时间：2012年10月15日10月21日内 容：我们这周主要学习课程开始第1章对画法几何基本内容的总结和复习。希望通过下面的内容的讲解使同学们对画法几何的相关知识进行相应的回顾和总结。一、学习要求1掌握投影的基本概念、种类和基本特性；2掌握画法几何的基本定理和方法；3掌握画法几何的绘图基本原则；4了解画法几何的其他作图方法。二、主要内容（一）投影的基本概念（需要熟练掌握的基本概念）现代一切工程图样的绘制都是以投影法为基础的，“投影”这个术语属数学的范畴，它反映在一定的投射条件下，在投影要素(本学科以平面作为承影要素)上获得与空间几何元素或几何形体一一对应的图形的过程，因此，为了得到空间几何元素或几何形体的投影，必须具备以下三个条件：(1)光 线投影中心和从投影中心出发的投射线；(2)投影面不通过投影中心的承影平面；(3)物 体即表达对象，空间的几何元素或几何形体(其所处的空间位置可以在投影面的任一侧或投影面上)。当投影条件确定后，表达对象在投影面上所产生的图形就必然是惟一的。换句话说，该惟一的图形是通过表达对象的一系列投射线的总和。我们称这个图形为表达对象在投影面上的投影；获得投影的方法则称为投影法。（二）投影法的分类（需要熟练掌握的基本概念）1中心投影法当投影中心距投影面为有限远时，所有的投射线都从投影中心一点出发，这种投影方法称为中心投影法。用中心投影法所获得的投影图称中心投影图。2平行投影法投影线相互平行时所得的投影称为平行投影法。根据投射线与投影面的相对位置的不同，有可分为正投影法和斜投影法两种。正投影法：投射线垂直于投影面的投影方法称为正投影法，用这种方法得到的投影称为正投影。斜投影法：投射线倾斜于投影面的投影方法称为斜投影法，用这种方法得到的投影称为斜投影。3.各种投影法在建筑工程中的应用多面正投影用正投影法在两个或两个以上的投影面上投影所得的图形，是建筑工程中主要的图样。轴测投影图能反映形体的长、宽、高，有一定的立体感。透视投影图是形体在一个投影面上的中心投影。标高投影图是建筑工程中常用来绘制地形图和道路、水利工程等方面的平面布置的图样，它是地面或土木建筑物在一个水平面上的正投影图。（三）投影的基本特性（需要熟练掌握的基本特性）1.平行性空间平行，投影仍为平行。2.定比性空间的定比点，仍为投影的定比点。3.从属性点在线上，点的投影一定在线的投影上。4.类似性直线投影仍为直线、平面图形的投影为其类似形。如三角形投影仍为三角形等。5.积聚性特殊位置：直线或平面平行于投影方向时。6.全等性特殊位置：直线或平面平行于投影面时。（四）点的投影1.点在一个投影面上的投影：过空间点A垂直与投影面P的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。2.两点的相对位置反映了各点对投影面的位置，也表现了两点之间在空间中的上下、前后、左右位置关系。3.重影点是指两个空间点在某一投影面上的投影重合，即这两个点的空间x、y、z坐标中有两个相等。（需要熟练掌握的基本概念）图1.1 重影点示意图（五）直线的投影1.两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同名投影。直线与投影面的相对位置关系：垂直、平行和倾斜。2.直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线：平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜。在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。按照所平行的投影面不同又可分为三种：正平线、水平线和侧平线。投影面垂直线：垂直于某一投影面在其垂直的投影面上，投影有积聚性。另外两个投影，反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。按照直线所垂直的投影面不同可分为三种：正垂线、铅垂线和侧垂线。一般位置直线：与三个投影面都倾斜的直线，三个投影都缩短。即都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。3四个基本作图问题已知直线的两投影，求直线与投影面的夹角和线段的实长。已知直线的一投影及其与投影面的夹角，求直线的投影。已知线段的一投影及其实长，求线段的投影。已知线段的实长及其与投影面的夹角，求直线的投影。4.属于直线的点直线上的点,其投影必在该直线的同面投影上，且符合点的投影规律。直线上的点分割直线之比，在投影后保持不变。若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。5两直线的相对位置（）该知识点很重要，是判定两直线关系的重要依据。空间两直线的相对位置有：平行、相交、交叉(错)三种情况，其中，平行、相交两直线为同面投影，而交叉两直线为异面直线。（需要熟练掌握的基本概念）两直线平行：若空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。（需要熟练掌握的基本概念）两直线相交：若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必然符合空间一点的投影规律。（需要熟练掌握的基本概念）两直线交叉：同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。（需要熟练掌握的基本概念）两直线垂直相交（或垂直交叉）：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。(直角定理) （需要熟练掌握的基本概念）（六）面的投影1投影特性平面平行投影面投影反映实形平面垂直投影面投影积聚成线段平面倾斜投影面投影类似原平面2.平面的表示方法几何元素表示法平面的空间位置可由下列任何一组的几何元素来确定a 不在同一条直线上的三个点，如下图（a）。b 一直线与直线外的一点，如下图（b）。c 相交两直线，如下图（c）。d 平行两直线，如下图（d）。e 任意平面图形，如三角形、四边形、圆形等，下图（e）。图1.2 平面几何元素表示法迹线表示法迹线表示法是用平面上的特殊直线来表示平面的方法，即常用平面与投影面的交线，也称为平面的迹线来表示平面。 迹线具有双重性：既是投影面内的一直线，也是某个平面上的一直线。图1.3 平面的迹线表示法3平面在三投影面体系中的投影特性投影面垂直面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面：在平面垂直的投影面上的投影积聚成直线段。该直线段与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影有类似性。投影面平行面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面：在平面所平行的投影面上的投影反映实形，另两个投影面上的投影分别积聚成与相应投影轴平行的直线段。一般位置平面，与三个投影面都倾斜，三个投影都类似。4平面上的直线和点平面上取任意直线，判断直线在平面内的方法：判断方法一：若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。判断方法二：若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。平面上取点的方法：先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。（七）直线与平面及两平面的相对位置（需要熟练掌握的基本概念）1平行问题直线与平面平行：若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。两平面平行：若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。2相交问题直线与平面相交：交点是直线与平面的共有点，交点是直线可见与不可见的分界点。两平面相交（利用积聚性求交线）：两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。（八）更换投影面法（换面法）换面法：物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。1新投影面的选择原则新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。2点的投影变换规律点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。3作图规律由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。4换面法小结换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。换面法的关键是要注意新投影面的选择条件，即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系，同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规律继续有效。点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。换面法的四个基本问题：（1）把一般位置直线变成投影面平行线变换一次投影面（2）把一般位置直线变成投影面垂直线变换两次投影面（3）把一般位置平面变成投影面垂直面变换一次投影面（需先在面内作一条投影面平行线）（4）把一般位置平面变成投影面平行面变换两次投影面解题时一般要注意下面几个问题：（1）分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。（2）根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。（3）在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变换前后的关系，既要在新投影体系中正确无误地求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。三、典型习题（一）判断题1. 若两直线在各投影面上的投影都平行，则两直线平行。答案：正确。2. 若两直线在各投影面上的投影都相交，则两直线相交。答案：错误。解析：这两条直线也可能交叉。3. 若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。答案：正确。4. 下图中，A在B的右侧。答案：正确。5. 下图中，A在B的下侧。答案：正确。6. 下图中，A在B的后侧。答案：错误。第4、5、6题图7. 铅垂线在水平面上的投影反映实长。答案：错误。8. 某直线在H面和V面上的投影均平行，则该直线在空