2016北京数学高考大题汇编(含答案).docx

第一部分 三角函数1. ( 2013北京高考理科)在ABC中，a=3，b=2，B=2A.(I)求cosA的值； (II)求c的值.解：(1)因为a3，b2 ，B2A，所以在ABC中，由正弦定理得.所以.故cos A.(2)由(1)知cos A，所以sin A.又因为B2A，所以cos B2cos2 A1.所以sin B.在ABC中，sin Csin(AB)sin AcosBcos Asin B.所以c5.2( 2014北京高考理科)如图，在中，点在边上，且 （1）求 （2）求的长解：（I）在中，因为，所以。所以。（）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得所以3. ( 2015北京高考理科)已知函数() 求的最小正周期；() 求在区间上的最小值试题解析：() (1)的最小正周期为；(2)，当时，取得最小值为：4( 2016海淀期中)已知函数.（）求的值；（）求函数的最小正周期和单调递增区间. 解：（）因为, 所以,. - （）因为, 所以 , 所以周期 . 令， 解得， 所以的单调递增区间为. c 法二：因为, 所以-7分 -9分所以周期 . -11分 令， -12分 解得，, 所以的单调递增区间为 . -13分5( 2016海淀期中)如图，在四边形中，. （）求的长； （）求证：. 解：（）因为, 所以,. -4分 （）因为, 所以 -6分 -7分 , -9分 所以周期 . -11分 令， -12分 解得， 所以的单调递增区间为. -13分 法二：因为, 所以-7分 -9分所以周期 . -11分 令， -12分 解得，, 所以的单调递增区间为 . -13分6. ( 2016海淀期末)已知函数.（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最大值与最小值的和. 解：（）因为 .1分 .5分 （两个倍角公式，每个各2分） .6分所以函数的最小正周期. .7分 （）因为，所以，所以. .8分 当时，函数取得最小值; .10分当时，函数取得最大值, .12分因为,所以函数在区间上的最大值与最小值的和为. .13分7. ( 2016海淀一模) 如图，在中，点在边上,且. 记.（）求证: ； （）若，,求的长. 解：（） 在中，由正弦定理,有 2分在中，由正弦定理,有 4分因为,所以 6分因为, 所以 7分（）因为，,由（）得 9分设,由余弦定理, 11分代入,得到, 解得,所以. 13分8. ( 2016海淀二模) 已知函数.（）比较，的大小；（）求函数的最大值. 解：（）因为所以 2分 4分因为 ,所以 6分（）因为 9分令 ， 所以, 11分因为对称轴, 根据二次函数性质知，当 时，函数取得最大值 13分9（2016西城期末）已知函数，.（）求的最小正周期和单调递增区间；（）设，若函数为奇函数，求的最小值.解： 4分 ， 6分 所以函数的最小正周期. 7分 由， 得， 所以函数的单调递增区间为，. 9分 （注：或者写成单调递增区间为，. ） （）解：由题意，得， 因为函数为奇函数，且， 所以，即， 11分 所以， 解得，验证知其符合题意. 又因为， 所以的最小值为. 13分10（2016西城一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 设，.（）若，求的值；（）求的值.（）解：因为 ， 由正弦定理 ， 得 . 3分 由余弦定理 及， 5分 得 ， 所以 ， 解得 . 7分（）解：由，得. 所以 . 8分 即， 11分 所以， 所以. 13分11（2016西城二模）已知函数. （）若是第二象限角，且，求的值；（）求函数的定义域和值域. （）解：因为 是第二象限角，且， 所以. 2分 所以， 4分 所以. 6分（）解：函数的定义域为，且. 8分 化简，得 10分 ， 12分 因为，且， 所以， 所以. 所以函数的值域为. 13分 （注：或许有人会认为“因为，所以”，其实不然，因为.）第二部分 概率与统计1. ( 2013北京高考理科)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（）求此人到达当日空气重度污染的概率;（）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望;（）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i1，2，13)根据题意，P(Ai)，且AiAj(ij)(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则BA5A8.所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8).(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)，P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)，P(X0)1P(X1)P(X2).所以X的分布列为X012P故X的期望E(X)012.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大2. (2014北京高考理科）李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率.（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过，一 场不超过的概率.（3） 记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明 在这比赛中的命中次数，比较与的大小（只需写出结论）所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是05.（）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。则C=，A,B独立。根据投篮统计数据，. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为.（）.3.（2015北京高考理科），两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： 组：10，11，12，13，14，15，16 组：12，13，15，16，17，14，假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙() 求甲的康复时间不少于14天的概率；() 如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；() 当为何值时，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【答案】（1），（2），（3）或4. （2016海淀期末） 已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为. 为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，做药物试验.试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期. 假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关. （）如果出现A症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；（）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期. 设药物试验持续的用药周期数为，求的期望.解：（）设持续天为事件，用药持续最多一个周期为事件， .1分 所以， .5分 则. .6分 法二：设用药持续最多一个周期为事件，则为用药超过一个周期， .1分 所以, .3分 所以. .6分（）随机变量可以取 ， .7分 所以 , , .11分 所以. .13分 5. （2016海淀一模） 2004年世界卫生组织、联合国儿童基金会等权威机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广. 2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖. 目前，国内青蒿人工种植发展迅速. 某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100株青蒿进行对比试验. 现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本, 每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：山 上5.03.83.63.6山 下3.64.44.43.6（）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量； （）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为，根据样本数据, 试估计与 的大小（只需写出结论）； （）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1株，记这2株的产量总和为， 求随机变量的分布列和数学期望. 解: (I)由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数 2分 则山下试验田株青蒿的青蒿素产量估算为 g 3分（）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差和，结果为. 6分（）依题意，随机变量可以取， 7分, , , 9分7.27.488.28.69.4p随机变量的分布列为 11分随机变量的期望. 13分6. （2016海淀二模）某家电专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如下表所示：第一周第二周第三周第四周第五周型数量（台）111015型数量（台）101213型数量（台）15812()求型空调前三周的平均周销售量 ；()根据型空调连续3周销售情况，预估型空调连续5周的平均周销量为10台.请问：当型空调周销售量的方差最小时， 求，的值； (注：方差，其中为，的平均数)（）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中 型空调台数的分布列和数学期望.解: (I) 型空调前三周的平均销售量台 2分（）因为型空调平均周销售量为台，所以 4分又化简得到 5分因为，所以当或时，取得最小值所以当 或时，取得最小值 7分（）依题意，随机变量的可能取值为， 8分, , , 11分随机变量的分布列为随机变量的期望. 13分7（2016西城期末）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：甲6699乙79（）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（）如果，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为，求的分布列和数学期望；（）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值.（结论不要求证明）（）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件， 1分 由题意，得， 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为. 4分（）解：由题意，的所有可能取值为， 5分 且，7分 所以的分布列为：13151618 8分 所以. 10分（）解：的可能取值为，. 13分8（2016西城一模）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.O 体育成绩 45 55 65 75 85 95u142uuuuuuuuu4121068各分数段人数（）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；（）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率；（）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，三组中，其中当数据的方差最小时，写出的值.（结论不要求证明）（注：，其中为数据的平均数）（）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人，2分 所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有人. 4分 （）解：设 “至少有1人体育成绩在”为事件， 5分由题意，得， 因此至少有1人体育成绩在的概率是. 9分 （）解：, , 的值分别是为, , ；或, , . 13分9（2016西城二模）O时间(小时)10 20 30 40 500.0050.0250.0300.035高中生组O时间(小时)10 20 30 40 500.005a初中生组0.0200.040某中学有初中学生1800人，高中学生1200人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（）写出的值；（）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望.（）解：. 3分（）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. 4分 因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为， 所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有人， 6分 同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为，学生人数约有人. 所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有人. 8分（）解：初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人. 同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为人. 故X的可能取值为1，2，3. 9分 则 ， ， . 所以的分布列为：123 12分 所以. 13分第三部分 立体几何1. (2013北京高考理科)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（）求证：AA1平面ABC；（）求二面角A1BC1B1的余弦值；（）证明：在线段BC1存在点D，使得ADA1B，并求的值.解：(1)证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC(2)由(1)知AA1AC，AA1AB由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)设平面A1BC1的一个法向量为(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以(0，4，3)同理可得，平面B1BC1的一个法向量为(3，4，0)所以cos，.由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且.所以(x，y3，z)(4，3，4)解得x4，y33，z4.所以(4，33，4)由0，即9250，解得.因为0，1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B此时，.2. (2014北京高考理科） 如图，正方形的边长为2，分别为的中点，在五棱锥 中，为棱的中点，平面与棱分别交于点. （1）求证：； （2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并 求线段的长. 解：（I）在正方形中，因为B是AM的中点，所以。又因为平面PDE，所以平面PDE，因为平面ABF，且平面平面，所以。（）因为底面ABCDE,所以，.如图建立空间直角坐标系，则，, .设平面ABF的法向量为，则即令，则。所以，设直线BC与平面ABF所成角为a,则。设点H的坐标为。因为点H在棱PC上，所以可设，即。所以。因为是平面ABF的法向量，所以，即。解得，所以点H的坐标为。所以3.（2015北京高考理科）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点() 求证：；() 求二面角的余弦值；() 若平面，求的值【答案】(1)证明见解析，（2），（3）【解析】试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面平面，借助性质定理证明平面EFCB，进而得出线线垂直，第二步建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，平面AEF的法向量易得，只需求平面AEB的法向量，设平面AEB的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程求出法向量，再根据二面角公式求出法向量的余弦值；第三步由于，要想平面，只需，利用向量的坐标，借助数量积为零，求出的值，根据实际问题予以取舍.试题解析：()由于平面平面，为等边三角形，为的中点，则，根据面面垂直性质定理，所以平面EFCB，又平面，则.()取CB的中点D，连接OD,以O为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，由于平面与轴垂直，则设平面的法向量为，设平面的法向量，则，二面角的余弦值，由二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.（）有（1）知平面EFCB，则，若平面，只需，又，解得或，由于，则.考点：1.线线垂直的证明；2.利用法向量求二面角；3.利用数量积解决垂直问题.4. （2016海淀期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，且. （）若点为上一点且，证明：平面；（）求二面角的大小；（）在线段上是否存在一点，使得? 若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 解：（）过点作，交于,连接,因为，所以. .1分又，所以. .2分所以为平行四边形, 所以. .3分又平面，平面, .4分（一个都没写的，则这1分不给）所以平面. .5分（）因为梯形中，, 所以.因为平面，所以, 如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系, .6分所以.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,因为所以，即， .7分取得到, .8分同理可得, .9分所以, .10分因为二面角为锐角，所以二面角为. .11分（）假设存在点，设， 所以, .12分所以，解得, .13分所以存在点，且. .14分5. （2016海淀一模）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，点分别为线段上的点，. （）求证：平面； （）求证：当点不与点重合时，四个点在同一个平 面内； （）当，二面角大小为为时，求的长. 解: （）证明：在正方形中，, 1分 因为平面，平面， 所以. 2分 因为，且，平面， 所以平面 4分（）证明：因为平面，平面, 所以 5分在中，所以. 6分在正方形中，, 所以， 7分所以 可以确定一个平面，记为 所以四个点在同一个平面内 8分（）因为平面，平面， 所以,. 又,如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系, 9分所以.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,设, ，因为，所以，又，所以，即，10分 取, 得到, 11分因为，所以，即， 取得, 到, 12分因为二面大小为, 所以, 所以 解得, 所以 14分6. （2016海淀二模） 如图，等腰梯形中，于，于，且，.将和分别沿、折起，使、两点重合，记为点，得到一个四棱锥，点，分别是的中点.（）求证：平面；（）求证：；（）求直线与平面所成的角的大小.解: （）证明：连结.在中，因为分别是所在边的中点，所以， 1分又, 所以, 2分所以是平行四边形，所以, 3分又平面，平面, 4分所以平面. 5分（）证明：方法一：在平面内，过点作的平行线，因为所以平面,所以平面，所以.又在中，因为，所以.以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系 6分 所以 7分所以， 8分所以，所以. 9分方法二：取中点，连接. 又为的中位线，所以 又，所以，所以在一个平面中. 6分 因为是等边三角形，所以,又，所以, 7分 且，所以平面， 8分而平面, 所以. 9分（）因为, 所以, 即, 又 , 所以平面，所以就是平面的法向量. 11分又，设与平面所成的角为，则有 13分所以与平面所成的角为. 14分7（2016西城期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面底面，, 分别为的中点，点在线段上.FC A DP MB E（）求证：平面； （）若为的中点，求证：平面；（）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值.（）证明：在平行四边形中，因为， 所以. 由分别为的中点，得， 所以. 1分 因为侧面底面，且， 所以底面. 2分又因为底面，所以. 3分 又因为，平面，平面， 所以平面. 4分（）证明：因为为的中点，分别为的中点，FC A DP MB Ezyx 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 5分 同理，得平面. 又因为，平面，平面， 所以平面平面. 7分又因为平面， 所以平面. 9分（）解：因为底面，所以两两垂直，故以 分别为轴、轴和轴，如上图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 10分 设，则， 所以， 易得平面的法向量. 11分 设平面的法向量为， 由，得 令, 得. 12分因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等， 所以，即， 13分 所以 ， 解得，或（舍）. 14分8（2016西城一模）如图，四边形是梯形，四边形为矩形，已知，.（）求证：平面；（）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；ABCDD1C1（）设为线段上的一个动点（端点除外），判断直线与直线能否垂直？并说明理由.（）证明：由为矩形，得，又因为平面，平面，所以平面， 2分同理平面，又因为，所以平面平面, 3分又因为平面，所以平面. 4分（）解：由平面中，得，又因为，所以平面，所以，又因为四边形为矩形，且底面中与相交一点，所以平面，因为，所以平面.过在底面中作，所以两两垂直，以分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系， 6分则，所以,.ABCDD1C1P yxz设平面的一个法向量为， 由，得 令，得. 8分易得平面的