2019高考数学复习导数及其应用3.2导数的应用练习文.docx

3.2导数的应用考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.利用导数研究函数的单调性1.了解函数单调性和导数的关系2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)2017课标全国,21;2017课标全国,21;2017课标全国,21;2016课标全国,21选择题解答题2.利用导数研究函数的极值与最值1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)2017北京,20;2017江苏,20;2016山东,203.导数的综合应用会利用导数解决实际问题2017天津,19;2016课标全国,21;2015课标,21分析解读函数的单调性是函数的一条重要性质,也是高中阶段研究的重点.一是直接用导数研究函数的单调性、求函数的最值与极值,以及实际问题中的优化问题等,这是新课标的一个新要求.二是把导数与函数、方程、不等式、数列等知识相联系,综合考查函数的最值与参数的取值,常以解答题的形式出现.本节内容在高考中分值为17分左右,属难度较大题.1)函数f(x)的定义域为(-,+), f (x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).若a=0,则f(x)=e2x,在(-,+)上单调递增.若a0,则由f (x)=0得x=ln a.当x(-,ln a)时, f (x)0.故f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增.若a0,则由f (x)=0得x=ln-a2.当x-鈭?ln-a2时, f (x)0.故f(x)在-鈭?ln-a2上单调递减,在上单调递增.(2)若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)0.若a0,则由(1)得,当x=ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a,从而当且仅当-a2ln a0,即a1时,f(x)0.若af(2x-1)成立的x的取值范围是()A.13,1B.(1,+)C.-13,13D.-鈭?-13答案A4.(2014课标,11,5分)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)单调递增,则k的取值范围是()A.(-,-2B.(-,-1C.2,+)D.1,+)答案D5.(2017江苏,11,5分)已知函数f(x)=x3-2x+ex-1ex,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)0,则实数a的取值范围是.答案-1,126.(2017课标全国,21,12分)设函数f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x0时, f(x)ax+1,求a的取值范围.解析(1)f (x)=(1-2x-x2)ex.令f (x)=0,得x=-1-2或x=-1+2.当x(-,-1-2)时, f (x)0;当x(-1+2,+)时, f (x)0.所以f(x)在(-,-1-2),(-1+2,+)上单调递减,在(-1-2,-1+2)上单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.当a1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h(x)=-xex0),因此h(x)在0,+)上单调递减,而h(0)=1,故h(x)1,所以f(x)=(x+1)h(x)x+1ax+1.当0a0(x0),所以g(x)在0,+)上单调递增,而g(0)=0,故exx+1.当0x(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=5-4a-12,则x0(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)ax0+1.当a0时,取x0=5-12,则x0(0,1), f(x0)(1-x0)(1+x0)2=1ax0+1.综上,a的取值范围是1,+).7.(2017课标全国,21,12分)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a0,故f(x)在(0,+)上单调递增.若a0;当x时, f (x)0,故f(x)在0,-12a上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)知,当a0;当x(1,+)时,g(x)0时,g(x)0.从而当a0时,ln-12a+12a+10,即f(x)-34a-2.8.(2016课标全国,21,12分)设函数f(x)=ln x-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明当x(1,+)时,1x-1lnx1,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.解析(1)由题设知, f(x)的定义域为(0,+), f (x)=1x-1,令f (x)=0,解得x=1.当0x0, f(x)单调递增;当x1时, f (x)0, f(x)单调递减.(4分)(2)证明:由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.所以当x1时,ln xx-1.故当x(1,+)时,ln xx-1,ln1x1x-1,即1x-1lnx1,设g(x)=1+(c-1)x-cx,则g(x)=c-1-cxln c,令g(x)=0,解得x0=lnc-1lnclnc.当x0,g(x)单调递增;当xx0时,g(x)0,g(x)单调递减.(9分)由(2)知1c-1lncc,故0x01.又g(0)=g(1)=0,故当0x0.所以当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.(12分)教师用书专用(924)9.(2013浙江,8,5分)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f (x)的图象如图所示,则该函数的图象是()答案B10.(2015四川,21,14分)已知函数f(x)=-2xln x+x2-2ax+a2,其中a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.解析(1)由已知,得函数f(x)的定义域为(0,+),g(x)=f (x)=2(x-1-ln x-a),所以g(x)=2-2x=2(x-1)x.当x(0,1)时,g(x)0,g(x)单调递增.(2)证明:由f (x)=2(x-1-ln x-a)=0,解得a=x-1-ln x.令(x)=-2xln x+x2-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)2=(1+ln x)2-2xln x,则(1)=10,(e)=2(2-e)0.于是,存在x0(1,e),使得(x0)=0.令a0=x0-1-ln x0=u(x0),其中u(x)=x-1-ln x(x1).由u(x)=1-1x0知,函数u(x)在区间(1,+)上单调递增.故0=u(1)a0=u(x0)u(e)=e-21.即a0(0,1).当a=a0时,有f (x0)=0, f(x0)=(x0)=0.再由(1)知, f (x)在区间(1,+)上单调递增,当x(1,x0)时, f (x)f(x0)=0;当x(x0,+)时, f (x)0,从而f(x)f(x0)=0;又当x(0,1时, f(x)=(x-a0)2-2xln x0.故x(0,+)时, f(x)0.综上所述,存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.11.(2015天津,20,14分)已知函数f(x)=4x-x4,xR.(1)求f(x)的单调区间;(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的实数x,都有f(x)g(x);(3)若方程f(x)=a(a为实数)有两个实数根x1,x2,且x10,即x1时,函数f(x)单调递增;当f (x)1时,函数f(x)单调递减.所以, f(x)的单调递增区间为(-,1),单调递减区间为(1,+).(2)证明:设点P的坐标为(x0,0),则x0=413, f (x0)=-12.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f (x0)(x-x0),即g(x)=f (x0)(x-x0).令函数F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f (x0)(x-x0),则F(x)=f (x)-f (x0).由于f (x)=-4x3+4在(-,+)上单调递减,故F(x)在(-,+)上单调递减.又因为F(x0)=0,所以当x(-,x0)时,F(x)0,当x(x0,+)时,F(x)1时, f(x)1,当x(1,x0)时,恒有f(x)k(x-1).解析(1)f (x)=1x-x+1=-x2+x+1x,x(0,+).由f (x)0得x0,-x2+x+10.解得0x1+52.故f(x)的单调递增区间是0,1+52.(2)证明:令F(x)=f(x)-(x-1),x(0,+).则有F(x)=1-x2x.当x(1,+)时,F(x)1时,F(x)1时, f(x)1满足题意.当k1时,对于x1,有f(x)x-1k(x-1),则f(x)1满足题意.当k1时,令G(x)=f(x)-k(x-1),x(0,+),则有G(x)=1x-x+1-k=-x2+(1-k)x+1x.由G(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0.解得x1=1-k-(1-k)2+421.当x(1,x2)时,G(x)0,故G(x)在1,x2)内单调递增.从而当x(1,x2)时,G(x)G(1)=0,即f(x)k(x-1),综上,k的取值范围是(-,1).13.(2015重庆,19,12分)已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在x=-43处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.解析(1)对f(x)求导得f (x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-43处取得极值,所以f -43=0,即3a169+2-43=16a3-83=0,解得a=12.(2)由(1)得g(x)=12x3+x2ex,故g(x)=32x2+2xex+12x3+x2ex=12x3+52x2+2xex=12x(x+1)(x+4)ex.令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x-4时,g(x)0,故g(x)为减函数;当-4x0,故g(x)为增函数;当-1x0时,g(x)0时,g(x)0,故g(x)为增函数.综上,知g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.14.(2014安徽,20,13分)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x0,1时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.解析(1)f(x)的定义域为(-,+), f (x)=1+a-2x-3x2.令f (x)=0,得x1=-1-4+3a3,x2=-1+4+3a3,x1x2,所以f (x)=-3(x-x1)(x-x2).当xx2时, f (x)0;当x1x0.故f(x)在(-,x1)和(x2,+)内单调递减,在x1,x2内单调递增.(2)因为a0,所以x10.(i)当a4时,x21,由(1)知, f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.(ii)当0a4时,x21.由(1)知, f(x)在0,x2上单调递增,在x2,1上单调递减,因此f(x)在x=x2=-1+4+3a3处取得最大值.又f(0)=1, f(1)=a,所以当0a1时, f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时, f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值;当1a4时, f(x)在x=0处取得最小值.15.(2014重庆,19,12分)已知函数f(x)=x4+ax-ln x-32,其中aR,且曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线垂直于直线y=12x.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解析(1)对f(x)求导得f (x)=14-ax2-1x,由f(x)在点(1, f(1)处的切线垂直于直线y=12x知f (1)=-34-a=-2,解得a=54.(2)由(1)知f(x)=x4+54x-ln x-32,则f (x)=x2-4x-54x2,令f (x)=0,解得x=-1或x=5.因x=-1不在f(x)的定义域(0,+)内,故舍去.当x(0,5)时, f (x)0,故f(x)在(5,+)内为增函数.由此知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln 5.16.(2014湖北,21,14分)为圆周率,e=2.718 28为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=lnxx的单调区间;(2)求e3,3e,e,e,3,3这6个数中的最大数与最小数.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+).因为f(x)=lnxx,所以f (x)=1-lnxx2.当f (x)0,即0xe时,函数f(x)单调递增;当f (x)e时,函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+).(2)因为e3,所以eln 3eln ,ln eln 3,即ln 3eln e,ln eln 3.于是根据函数y=ln x,y=ex,y=x在定义域上单调递增,可得3ee3,e3e3.故这6个数的最大数在3与3之中,最小数在3e与e3之中.由e3及(1)的结论,得f()f(3)f(e),即ln33ln ee.由ln33,得ln 33;由ln33ln ee,得ln 3eln e3,所以3e0).(1)求f(x)的单调区间;(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(iN*)个零点,证明:对一切nN*,有1x12+1x22+1xn20,此时f (x)0;当x(2k+1),(2k+2)(kN)时,sin x0,故f(x)的单调递减区间为(2k,(2k+1)(kN),单调递增区间为(2k+1),(2k+2)(kN).(2) 由(1)知, f(x)在区间(0,)上单调递减,又f蟺2=0,故x1=,当nN*时,因为f(n)f(n+1)=(-1)nn+1(-1)n+1(n+1)n+10,且函数f(x)的图象是连续不断的,所以f(x)在区间(n,(n+1)内至少存在一个零点.又f(x)在区间(n,(n+1)上是单调的,故nxn+1(n+1).因此当n=1时,1x12=4蟺223;当n=2时,1x12+1x221蟺2(4+1)23;当n3时,1x12+1x22+1xn2=1蟺26-1n-16蟺223.综上所述,对一切nN*,1x12+1x22+1xn223.18.(2014江西,18,12分)已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2)x,其中a0得x0,25或x(2,+),故函数f(x)的单调递增区间为0,25和(2,+).(2)f (x)=(10x+a)(2x+a)2x,a0,由f (x)=0得x=-a10或x=-a2.当x0,-a10时,f(x)单调递增;当x-a10,-a2时,f(x)单调递减;当x时,f(x)单调递增.易知 f(x)=(2x+a)2x0,且f-a2=0.当-a21,即-2a0时,f(x)在1,4上的最小值为f(1),由f(1)=4+4a+a2=8,得a=22-2,均不符合题意.当1-a24,即-8a4,即a0;当x(-2,-ln 2)时, f (x)0, f(x)在(-,2-1)上是增函数;当x(2-1,2+1)时, f (x)0, f(x)在(2+1,+)上是增函数.(6分)(2)由f(2)0得a-54.(8分)当a-54,x(2,+)时,f (x)=3(x2+2ax+1)3x2-52x+1=3x-12(x-2)0,所以f(x)在(2,+)上是增函数,于是当x2,+)时,f(x)f(2)0.综上,a的取值范围是.(12分)21.(2013山东,21,12分)已知函数f(x)=ax2+bx-ln x(a,bR).(1)设a0,求f(x)的单调区间;(2)设a0,且对任意x0, f(x)f(1).试比较ln a与-2b的大小.解析(1)由f(x)=ax2+bx-ln x,x(0,+),得f (x)=2ax2+bx-1x.当a=0时, f (x)=bx-1x.(i)若b0,当x0时, f (x)0,当0x1b时, f (x)1b时, f (x)0,函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递减区间是0,1b,单调递增区间是.当a0时,令f (x)=0,得2ax2+bx-1=0.由=b2+8a0得x1=-b-b2+8a4a,x2=-b+b2+8a4a.显然,x10.当0xx2时, f (x)x2时, f (x)0,函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递减区间是0,-b+b2+8a4a,单调递增区间是.综上所述,当a=0,b0时,函数f(x)的单调递减区间是(0,+);当a=0,b0时,函数f(x)的单调递减区间是0,1b,单调递增区间是;当a0时,函数f(x)的单调递减区间是0,-b+b2+8a4a,单调递增区间是.(2)由题意,函数f(x)在x=1处取得最小值,由(1)知-b+b2+8a4a是f(x)的唯一极小值点,故-b+b2+8a4a=1,整理得2a+b=1,即b=1-2a.令g(x)=2-4x+ln x.则g(x)=1-4xx.令g(x)=0,得x=14.当0x0,g(x)单调递增;当x14时,g(x)0,g(x)单调递减.因此g(x)g14=1+ln14=1-ln 40.故g(a)0,即2-4a+ln a=2b+ln a0,即ln a0.(1)证明f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增;(2)设曲线y=f(x)在点Pi(xi, f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行,且x1x2x30.证明x1+x2+x3-13.证明(1)设函数f1(x)=x3-(a+5)x(x0),f2(x)=x3-a+32x2+ax(x0), f 1(x)=3x2-(a+5),由a-2,0,从而当-1x0时,f 1(x)=3x2-(a+5)3-a-50,所以函数f1(x)在区间(-1,0内单调递减. f 2(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),由于a-2,0,所以当0x1时, f 2(x)1时, f 2(x)0.即函数f2(x)在区间0,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.综合,及f1(0)=f2(0),可知函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.(2)由(1)知f (x)在区间(-,0)内单调递减,在区间0,a+36内单调递减,在区间内单调递增.因为曲线y=f(x)在点Pi(xi, f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而x1,x2,x3互不相等,且f (x1)=f (x2)=f (x3).不妨设x10x2x3,由3x12-(a+5)=3x22-(a+3)x2+a=3x32-(a+3)x3+a,可得3x22-3x32-(a+3)(x2-x3)=0,解得x2+x3=a+33,从而0x2a+36x3. 设g(x)=3x2-(a+3)x+a,则ga+36g(x2)g(0)=a.由3x12-(a+5)=g(x2)a,解得-2a+53x1-2a+53+a+33,设t=2a+53,则a=3t2-52,因为a-2,0,所以t33,153,故x1+x2+x3-t+3t2+16=12(t-1)2-13-13,即x1+x2+x3-13.23.(2013湖北,21,13分)设a0,b0,已知函数f(x)=ax+bx+1.(1)当ab时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当x0时,称f(x)为a、b关于x的加权平均数.(i)判断f(1),f ba,f ba是否成等比数列,并证明f baf ba;(ii)a、b的几何平均数记为G.称2aba+b为a、b的调和平均数,记为H.若Hf(x)G,求x的取值范围.解析(1)f(x)的定义域为(-,-1)(-1,+),f (x)=a(x+1)-(ax+b)(x+1)2=a-b(x+1)2.当ab时, f (x)0,函数f(x)在(-,-1),(-1,+)上单调递增;当ab时, f (x)0, fba=2aba+b0,f ba=ab0,故f(1)fba=a+b22aba+b=ab=fba2,即f(1)fba=fba2.所以f(1),f ba,f ba成等比数列.因为a+b2ab,所以f(1)f ba.由得f baf ba.(ii)由(i)知f ba=H,f ba=G.故由Hf(x)G,得f baf(x)f ba.当a=b时,f ba=f(x)=f ba=a.这时,x的取值范围为(0,+);当ab时,0ba1,从而baba,由f(x)在(0,+)上单调递增与式,得baxba,即x的取值范围为ba,ba;当a1,从而baba,由f(x)在(0,+)上单调递减与式,得baxba,即x的取值范围为ba,ba.24.(2013江苏,20,16分)设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,+)上是单调减函数,且g(x)在(1,+)上有最小值,求a的取值范围;(2)若g(x)在(-1,+)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.解析(1)令f (x)=1x-a=1-axx0,进而解得xa-1,即f(x)在(a-1,+)上是单调减函数.同理, f(x)在(0,a-1)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+)上是单调减函数,故(1,+)(a-1,+),从而a-11,即a1.令g(x)=ex-a=0,得x=ln a.当xln a时,g(x)ln a时,g(x)0.又g(x)在(1,+)上有最小值,所以ln a1,即ae.综上,有a(e,+).(2)当a0时,g(x)必为单调增函数;当a0时,令g(x)=ex-a0,解得aln a,因为g(x)在(-1,+)上是单调增函数,类似(1)有ln a-1,即00,得f(x)存在唯一的零点.(ii)当a0时,由于f(ea)=a-aea=a(1-ea)0,且函数f(x)在ea,1上的图象不间断,所以f(x)在(ea,1)上存在零点.另外,当x0时, f (x)=1x-a0,故f(x)在(0,+)上是单调增函数,所以f(x)只有一个零点.(iii)当0ae-1时,令f (x)=1x-a=0,解得x=a-1.当0x0,当xa-1时, f (x)0,即0ae-1时, f(x)有两个零点.实际上,对于0ae-1,由于f(e-1)=-1-ae-10,且函数f(x)在e-1,a-1上的图象不间断,所以f(x)在(e-1,a-1)上存在零点.另外,当x(0,a-1)时, f (x)=1x-a0,故f(x)在(0,a-1)上是单调增函数,所以f(x)在(0,a-1)上只有一个零点.下面考虑f(x)在(a-1,+)上的情况.先证f(ea-1)=a(a-2-ea-1)e时,exx2.设h(x)=ex-x2,则h(x)=ex-2x,再设l(x)=h(x)=ex-2x,则l(x)=ex-2.当x1时,l(x)=ex-2e-20,所以l(x)=h(x)在(1,+)上是单调增函数.故当x2时,h(x)=ex-2xh(2)=e2-40,从而h(x)在(2,+)上是单调增函数,进而当xe时,h(x)=ex-x2h(e)=ee-e20.即当xe时,exx2.当0ae时, f(ea-1)=a-1-aea-1=a(a-2-ea-1)0,且函数f(x)在a-1,ea-1上的图象不间断,所以f(x)在(a-1,ea-1)上存在零点.又当xa-1时, f (x)=1x-a0,故f(x)在(a-1,+)上是单调减函数,所以f(x)在(a-1,+)上只有一个零点.综合(i),(ii),(iii),当a0或a=e-1时, f(x)的零点个数为1,当0ae-1时,f(x)的零点个数为2.考点二利用导数研究函数的极值与最值1.(2016四川,6,5分)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4B.-2C.4D.2答案D2.(2014辽宁,12,5分)当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,则实数a的取值范围是()A.-5,-3B.-6,-98C.-6,-2D.-4,-3答案C3.(2015陕西,15,5分)函数y=xex在其极值点处的切线方程为.答案y=-1e4.(2017北京,20,13分)已知函数f(x)=excos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解析(1)因为f(x)=excos x-x,所以f (x)=ex(cos x-sin x)-1, f (0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.当x0,蟺2时,h(x)0,所以h(x)在区间上单调递减.所以对任意x0,蟺2,有h(x)h(0)=0,即f (x)0,bR)有极值,且导函数f (x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b23a;(3)若f(x), f (x)这两个函数的所有极值之和不小于-72,求a的取值范围.解析(1)由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f (x)=3x2+2ax+b=3x+a32+b-a23.当x=-a3时, f (x)有极小值b-a23.因为f (x)的极值点是f(x)的零点,所以f -a3=-a327+a39-ab3+1=0,又a0,故b=2a29+3a.因为f(x)有极值,故f (x)=0有实根,从而b-a23=19a(27-a3)0,即a3.当a=3时, f (x)0(x-1),故f(x)在R上是增函数, f(x)没有极值;当a3时, f (x)=0有两个相异的实根x1=-a-a2-3b3,x2=-a+a2-3b3.列表如下:x(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f (x)+0-0+f(x)极大值极小值故f(x)的极值点是x1,x2.从而a3.因此b=2a29+3a,定义域为(3,+).(2)证明:由(1)知,ba=2aa9+3aa.设g(t)=2t9+3t,则g(t)=29-3t2=2t2-279t2.当t时,g(t)0,从而g(t)在上单调递增.因为a3,所以aa33,故g(a a)g(33)=3,即ba3.因此b23a.(3)由(1)知, f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-23a,x12+x22=4a2-6b9.从而f(x1)+f(x2)=x13+ax12+bx1+1+x23+ax22+bx2+1=x13(3x12+2ax1+b)+x23(3x22+2ax2+b)+13a(x12+x22)+23b(x1+x2)+2=4a3-6ab27-4ab9+2=0.记f(x), f (x)所有极值之和为h(a),因为f (x)的极值为b-a23=-19a2+3a,所以h(a)=-19a2+3a,a3.因为h(a)=-29a-3a20,r0).(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若ar=400,求f(x)在(0,+)内的极值.解析(1)由题意知x-r,所求的定义域为(-,-r)(-r,+).f(x)=ax(x+r)2=axx2+2rx+r2,f (x)=a(x2+2rx+r2)-ax(2x+2r)(x2+2rx+r2)2=a(r-x)(x+r)(x+r)4,所以当xr时,f (x)0,当-rx0,因此,f(x)的单调递减区间为(-,-r),(r,+);f(x)的单调递增区间为(-r,r).(2)由(1)的解答可知f (r)=0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+)上单调递减.因此,x=r是f(x)的极大值点,所以f(x)在(0,+)内的极大值为f(r)=ar(2r)2=a4r=4004=100.教师用书专用(715)7.(2013福建,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,x0(x00)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.xR, f(x)f(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点答案D8.(2016天津,20,14分)设函数f(x)=x3-ax-b,xR,其中a,bR.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1x0,求证:x1+2x0=0;(3)设a0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间-1,1上的最大值不小于.解析(1)由f(x)=x3-ax-b,可得f (x)=3x2-a.下面分两种情况讨论:当a0时,有f (x)=3x2-a0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-,+).当a0时,令f (x)=0,解得x=3a3,或x=-3a3.当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:x-3a3-3a3,3a33a3f (x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为-3a3,3a3,单调递增区间为,.(2)证明:因为f(x)存在极值点,所以由(1)知a0,且x00.由题意,得f (x0)=3x02-a=0,即x02=a3,进而f(x0)=x03-ax0-b=-2a3x0-b.又f(-2x0)=-8x03+2ax0-b=-8a3x0+2ax0-b=-2a3x0-b=f(x0),且-2x0x0,由题意及(1)知,存在唯一实数x1满足 f(x1)=f(x0),且x1x0,因此x1=-2x0.所以x1+2x0=0.(3)证明:设g(x)在区间-1,1上的最大值为M,maxx,y表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:当a3时,-3a3-113a3,由(1)知, f(x)在区间-1,1上单调递减,所以f(x)在区间-1,1上的取值范围为f(1), f(-1),因此M=max|f(1)|,|f(-