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文档简介

第1节坐标系最新考纲1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化;3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.知 识 梳 理1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个定点O(极点);自极点O引一条射线Ox(极轴);再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标:平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度来刻画,这两个数组成的有序数对(,)称为点M的极坐标.其中称为点M的极径,称为点M的极角.3.极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x,y)极坐标(,)互化公式2x2y2tan (x0)4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆r(02)圆心为(r,0),半径为r的圆2rcos_圆心为,半径为r的圆2rsin_(0)5.直线的极坐标方程(1)直线l过极点,且极轴到此直线的角为,则直线l的极坐标方程是(R).(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴,则直线l的极坐标方程为cos_a.(3)直线过M 且平行于极轴,则直线l的极坐标方程为sin_b.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.()(2)若点P的直角坐标为(1,),则点P的一个极坐标是.()(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.()(4)极坐标方程(0)表示的曲线是一条直线.()答案(1)(2)(3)(4)2.(选修44P15习题T3改编)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A.,0B.,0C.cos sin ,0D.cos sin ,0解析y1x(0x1),sin 1cos (0cos 1);.答案A3.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为2sin ,则曲线C的直角坐标方程为_.解析由2sin ,得22sin ,所以曲线C的直角坐标方程为x2y22y0. 答案x2y22y04.(2017北京卷)在极坐标系中,点A在圆22cos 4sin 40上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为_.解析由22cos 4sin 40,得x2y22x4y40,即(x1)2(y2)21,圆心坐标为C(1,2),半径长为1.点P的坐标为(1,0),点P在圆C外.又点A在圆C上,|AP|min|PC|1211.答案15.已知直线l的极坐标方程为2sin,点A的极坐标为A,则点A到直线l的距离为_.解析由2sin,得2,yx1.由A,得点A的直角坐标为(2,2).点A到直线l的距离d.答案考点一平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】 求双曲线C:x21经过:变换后所得曲线C的焦点坐标.解设曲线C上任意一点P(x,y),由得代入曲线C:x21,得1,即曲线C的方程为1,因此曲线C的焦点F1(5,0),F2(5,0).规律方法1.平面上的曲线yf(x)在变换:的作用下的变换方程的求法是将代入yf(x),整理得yh(x)为所求.2.解答该类问题应明确两点:一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用;二是明确变换前的点P(x,y)与变换后的点P(x,y)的坐标关系,用方程思想求解.【训练1】 在平面直角坐标系中,已知伸缩变换:(1)求点A经过变换所得点A的坐标;(2)求直线l:y6x经过变换后所得直线l的方程.解(1)设点A(x,y),由伸缩变换:得点A的坐标为(1,1).(2)设P(x,y)是直线l上任意一点.由伸缩变换:得代入y6x,得2y62x,即yx,yx为所求直线l的方程.考点二极坐标与直角坐标的互化【例21】 在极坐标系下,已知圆O:cos sin 和直线l:sin.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2)当(0,)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.解(1)圆O:cos sin ,即2cos sin ,圆O的直角坐标方程为:x2y2xy,即x2y2xy0,直线l:sin,即sin cos 1,则直线l的直角坐标方程为:yx1,即xy10.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.【例22】 (2016北京卷改编)在极坐标系中,已知极坐标方程C1:cos -sin 10,C2:2cos .(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程,并判断两曲线的形状;(2)若曲线C1,C2交于A,B两点,求两交点间的距离.解(1)由C1:cos sin 10,xy10,表示一条直线.由C2:2cos ,得22cos .x2y22x,即(x1)2y21.所以C2是圆心为(1,0),半径r1的圆.(2)由(1)知,点(1,0)在直线xy10上,所以直线C1过圆C2的圆心.因此两交点A,B的连线段是圆C2的直径.所以两交点A,B间的距离|AB|2r2.规律方法1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式;xcos ,ysin ,2x2y2,tan (x0).2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,要注意,的取值范围及其影响;要善于对方程进行合理变形,并重视公式的逆向与变形使用;要灵活运用代入法和平方法等技巧. 【训练2】 (1)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为,直线的极坐标方程为cosa,且点A在直线上,求a的值及直线的直角坐标方程.(2)把曲线C1:x2y28x10y160化为极坐标方程.解(1)点A在直线cosa上,acos,所以直线的方程可化为cos sin 2,从而直线的直角坐标方程为xy20.(2)将代入x2y28x10y160,得28cos 10sin 160,所以C1的极坐标方程为28cos 10sin 160.考点三曲线极坐标方程的应用【例31】 (2017全国卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)设点M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且|OM|OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.解(1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|,|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程为4cos (0).因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|2,B4cos ,于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时,S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.【例32】 (2016全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:4cos .(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为0,其中0满足tan 02,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解(1)消去t,得C1的普通方程x2(y1)2a2,曲线C1表示以点(0,1)为圆心,a为半径的圆.将xcos ,ysin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若0,由方程组得16cos28sin cos 1a20,由已知tan 2,可得16cos28sin cos 0,从而1a20,解得a1(舍去),a1.当a1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.所以a1.规律方法1.(1)例31中利用极径、极角的几何意义,表示AOB的面积,借助三角函数的性质求最值优化了解题过程.(2)例32第(1)题将曲线C1的参数方程先化成普通方程,再化为极坐标方程,考查学生的转化与化归能力.第(2)题中关键是理解极坐标方程的含义,消去,建立与直线C3:0的联系,进而求a.2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.【训练3】 (2018太原一模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),曲线C2:x2y22y0.以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:(0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)当0时,求|OA|2|OB|2的取值范围.解(1)C1的普通方程为y21,C1的极坐标方程为2cos2 22sin2 20,C2的极坐标方程为2sin .(2)联立(0)与C1的极坐标方程得|OA|2,联立(0)与C2的极坐标方程得|OB|24sin2,则|OA|2|OB|24sin24(1sin2)4.令t1sin2,则|OA|2|OB|24t4,当0时,t(1,2).设f(t)4t4,易得f(t)在(1,2)上单调递增,2|OA|2|OB|25,故|OA|2|OB|2的取值范围是(2,5).基础巩固题组(建议用时:50分钟)1.(2017天津卷改编)在极坐标系中,已知直线4cos10与圆2sin ,试判定直线与圆的位置关系.解由4cos10得2cos 2sin 10,故直线的直角坐标方程为2x2y10.由2sin 得22sin ,故圆的直角坐标方程为x2y22y,则x2(y1)21.圆心为(0,1),半径为r1.圆心到直线2x2y10的距离d1,直线与圆相交,有两个公共点.2.以直角坐标系中的原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线的极坐标方程为.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)过极点O作直线l交曲线于点P,Q,若|OP|3|OQ|,求直线l的极坐标方程.解(1),sin y,化为sin 2,曲线的直角坐标方程为x24y4.(2)设直线l的极坐标方程为0(R),根据题意3,解得0或0,直线l的极坐标方程(R)或(R).3.(2018衡水模拟)在极坐标系中,已知曲线C1:2与C2:cos交于两点A,B.(1)求两交点的极坐标;(2)求线段AB的垂直平分线l的极坐标方程.解(1)C1:2的直角坐标方程为x2y24,C2:cos的方程即cos sin 2,化为直角坐标方程得xy20.由解得或所以两交点为(0,2),(2,0),化为极坐标为,(2,0).(2)易知直线l经过点(0,0)及线段AB的中点(1,1),所以其方程为yx,化为极坐标方程得(R).4.(2018西安调研)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t0),其中0.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:2sin ,C3:2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0,曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R,0),其中0.因此A的极坐标为(2sin ,),B的极坐标为(2cos ,).所以|AB|2sin 2cos |4.当时,|AB|取得最大值,最大值为4.5.在极坐标系中,已知直线l的极坐标方程为sin 1,圆C的圆心的极坐标是C,圆的半径为1.(1)求圆C的极坐标方程;(2)求直线l被圆C所截得的弦长.解(1)设O为极点,OD为圆C的直径,A(,)为圆C上的一个动点,则AOD或AOD,|OA|OD|cos或|OA|OD|cos.所以圆C的极坐标方程为2cos.(2)由sin1,得(sin cos )1,直线l的直角坐标方程为xy0,又圆心C的直角坐标为满足直线l的方程,直线l过圆C的圆心,故直线被圆所截得的弦长为直径2.能力提升题组(建议用时:30分钟)6.(2015全国卷)在直角坐标系xOy中,直线C1:x2,圆C2:(x1)2(y2)21,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.解(1)因为xcos ,ysin ,所以C1的极坐标方程为cos 2,C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40,得2340,解得12,2.故12,即|MN|.由于C2的半径为1,则易得C2MN为直角三角形,所以C2MN的面积为S12.7.(2018合肥二模)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为4cos .(1)求出圆C的直角坐标方程;(2)已知圆C与x轴相交于A,B两点,直线l:y2x关于点M(0,m)(m0)对称的直线为l.若直线l上存在点P使得APB90,求实数m的最大值.解(1)由4cos 得24cos ,故x2y24x0,即圆C的直角坐标方程为(x2)2y24.(2)l:y2x关于点M(0,m)的对称直线l的方程为y2x2m.依题设,易知AB为圆C的直径,故直线l上存在点P使得APB90的充要条件是直线l与圆C有公共点.因此2,于是,实数m的最大值为2.8.已知曲线C1:xy和

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