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文档简介

1等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母_d_表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项如果A,那么A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:anam(nm)d(n,mN*)(2)若an为等差数列,且klmn(k,l,m,nN*),则akalaman.(3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为2d.(4)若an,bn是等差数列,则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列,公差为d,则ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公差为md的等差数列5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d,其前n项和Sn或Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A、B为常数)7等差数列的前n项和的最值在等差数列an中,a10,d0,则Sn存在最_大_值;若a10,则Sn存在最_小_值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(5)数列an满足an1ann,则数列an是等差数列()(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列()1(2015重庆)在等差数列an中,若a24,a42,则a6等于()A1 B0 C1 D6答案B解析由等差数列的性质,得a62a4a22240,选B.2(2014福建)等差数列an的前n项和为Sn,若a12,S312,则a6等于()A8 B10 C12 D14答案C解析由题意知a12,由S33a1d12,解得d2,所以a6a15d25212,故选C.3在等差数列an中,已知a4a816,则该数列前11项和S11等于()A58 B88 C143 D176答案B解析S1188.4设数列an是等差数列,若a3a4a512,则a1a2a7等于()A14 B21 C28 D35答案C解析a3a4a53a412,a44,a1a2a77a428.5(2014北京)若等差数列an满足a7a8a90,a7a100,则当n_时,an的前n项和最大答案8解析因为数列an是等差数列,且a7a8a93a80,所以a80.又a7a10a8a90,所以a90.故当n8时,其前n项和最大题型一等差数列基本量的运算例1(1)在数列an中,若a12,且对任意的nN*有2an112an,则数列an前10项的和为()A2 B10 C. D.(2)已知在等差数列an中,a27,a415,则前10项和S10等于()A100 B210C380 D400答案(1)C(2)B解析(1)由2an112an得an1an,所以数列an是首项为2,公差为的等差数列,所以S1010(2).(2)因为a27,a415,所以d4,a13,故S101031094210.思维升华(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想(1)(2015课标全国)设Sn是等差数列an的前n项和,若a1a3a53,则S5等于()A5 B7 C9 D11(2)已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足1,则数列an的公差是()A. B1 C2 D3答案(1)A(2)C解析(1)an为等差数列,a1a52a3,a1a3a53a33,得a31,S55a35.故选A.(2)Sn,又1,得1,即a3a22,数列an的公差为2.题型二等差数列的判定与证明例2已知数列an中,a1,an2(n2,nN*),数列bn满足bn(nN*)(1)求证:数列bn是等差数列;(2)求数列an中的最大项和最小项,并说明理由(1)证明因为an2(n2,nN*),bn(nN*),所以bn1bn1.又b1.所以数列bn是以为首项,1为公差的等差数列(2)解由(1)知bnn,则an11.设f(x)1,则f(x)在区间(,)和(,)上为减函数所以当n3时,an取得最小值1,当n4时,an取得最大值3.引申探究例2中,若条件变为a1,nan1(n1)ann(n1),探求数列an的通项公式解由已知可得1,即1,又a1,是以为首项,1为公差的等差数列,(n1)1n,ann2n.思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an1anan2后,可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1,根据定义得出数列an为等差数列(3)通项公式法:得出anpnq后,得an1anp对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法:得出SnAn2Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,再使用定义法证明数列an为等差数列(1)若an是公差为1的等差数列,则a2n12a2n是()A公差为3的等差数列 B公差为4的等差数列C公差为6的等差数列 D公差为9的等差数列(2)在数列an中,若a11,a2,(nN*),则该数列的通项为()Aan BanCan Dan答案(1)C(2)A解析(1)a2n12a2n(a2n32a2n2)(a2n1a2n3)2(a2na2n2)2226,a2n12a2n是公差为6的等差数列(2)由已知式可得,知是首项为1,公差为211的等差数列,所以n,即an.题型三等差数列的性质及应用命题点1等差数列的性质例3(1)(2015广东)在等差数列an中,若a3a4a5a6a725,则a2a8_.(2)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S1010,S2030,则S30_.答案(1)10(2)60解析(1)因为an是等差数列,所以a3a7a4a6a2a82a5,a3a4a5a6a75a525,即a55,a2a82a510.(2)S10,S20S10,S30S20成等差数列,且S1010,S2030,S20S1020,S30301021030,S3060.命题点2等差数列前n项和的最值例4在等差数列an中,已知a120,前n项和为Sn,且S10S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值解a120,S10S15,1020d1520d,d.方法一由an20(n1)n.得a130.即当n12时,an0,当n14时,an0.当n12或13时,Sn取得最大值,且最大值为S12S131220130.方法二Sn20nn2n2.nN*,当n12或13时,Sn有最大值,且最大值为S12S13130.方法三由S10S15得a11a12a13a14a150.5a130,即a130.当n12或13时,Sn有最大值,且最大值为S12S13130.引申探究例4中,若条件“a120”改为a120,其他条件不变,求当n取何值时,Sn取得最小值,并求出最小值解由S10S15,得a11a12a13a14a150,a130.又a120,a120,当n12或13时,Sn取得最小值,最小值S12S13130.思维升华(1)等差数列的性质:项的性质:在等差数列an中,aman(mn)dd(mn),其几何意义是点(n,an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差和的性质:在等差数列an中,Sn为其前n项和,则aS2nn(a1a2n)n(anan1);bS2n1(2n1)an.(2)求等差数列前n项和Sn最值的两种方法:函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解邻项变号法:a当a10,d0时,满足的项数m使得Sn取得最大值Sm;b当a10,d0时,满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.(1)等差数列an的前n项和为Sn,已知a5a74,a6a82,则当Sn取最大值时,n的值是()A5 B6 C7 D8(2)设数列an是公差d0的等差数列,Sn为前n项和,若S65a110d,则Sn取最大值时,n的值为()A5 B6C5或6 D11(3)已知等差数列an的首项a120,公差d2,则前n项和Sn的最大值为_答案(1)B(2)C(3)110解析(1)依题意得2a64,2a72,a620,a710;又数列an是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当Sn取最大值时,n6,选B.(2)由题意得S66a115d5a110d,所以a60,故当n5或6时,Sn最大,选C.(3)因为等差数列an的首项a120,公差d2,代入求和公式得,Snna1d20n2n221n22,又因为nN*,所以n10或n11时,Sn取得最大值,最大值为110.6等差数列的前n项和及其最值典例(1)在等差数列an中,2(a1a3a5)3(a7a9)54,则此数列前10项的和S10等于()A45 B60C75 D90(2)在等差数列an中,S10100,S10010,则S110_.(3)等差数列an中,已知a50,a4a70,a2a3a1da2d(a1a2)2d,由于d正负不确定,因而a2a3符号不确定,故选项A错;若a1a30,a1a2a1a3d(a1a3)d,由于d正负不确定,因而a1a2符号不确定,故选项B错;若0a10,d0,a20,a30,所以aa1a3(a1d)2a1(a12d)d20,所以a2,故选项C正确;若a10,则(a2a1)(a2a3)d(d)d20,故选项D错3设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm12,Sm0,Sm13,则m等于()A3 B4C5 D6答案C解析数列an为等差数列,且前n项和为Sn,数列也为等差数列,即0,解得m5,经检验为原方程的解,故选C.4数列an的首项为3,bn为等差数列,且bnan1an(nN*),若b32,b1012,则a8等于()A0 B3C8 D11答案B解析设bn的公差为d,b10b37d12(2)14,d2.b32,b1b32d246.b1b2b77b1d7(6)2120.又b1b2b7(a2a1)(a3a2)(a8a7)a8a1a830,a83.故选B.5已知数列an满足an1an,且a15,设an的前n项和为Sn,则使得Sn取得最大值的序号n的值为()A7 B8C7或8 D8或9答案C解析由题意可知数列an是首项为5,公差为的等差数列,所以an5(n1),该数列前7项是正数项,第8项是0,从第9项开始是负数项,所以Sn取得最大值时,n7或8,故选C.6已知数列an中,a11且(nN*),则a10_.答案解析由已知得(101)134,故a10.7已知递增的等差数列an满足a11,a3a4,则an_.答案2n1解析设等差数列的公差为d,a3a4,12d(1d)24,解得d24,即d2.由于该数列为递增数列,故d2.an1(n1)22n1.8设数列an的通项公式为an2n10(nN*),则|a1|a2|a15|_.答案130解析由an2n10(nN*)知an是以8为首项,2为公差的等差数列,又由an2n100得n5,n5时,an0,当n5时,an0,|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.9若数列an的前n项和为Sn,且满足an2SnSn10(n2),a1.(1)求证:成等差数列;(2)求数列an的通项公式(1)证明当n2时,由an2SnSn10,得SnSn12SnSn1,所以2,又2,故是首项为2,公差为2的等差数列(2)解由(1)可得2n,Sn.当n2时,anSnSn1.当n1时,a1不适合上式故an10等差数列an中,设Sn为其前n项和,且a10,S3S11,则当n为多少时,Sn最大?解方法一由S3S11得3a1d11a1d,则da1.从而Snn2n(n7)2a1,又a10,所以0.故当n7时,Sn最大方法二由于Snan2bn是关于n的二次函数,由S3S11,可知Snan2bn的图象关于n7对称由方法一可知a0,故当n7时,Sn最大方法三由方法一可知,da1.要使Sn最大,则有即解得6.5n7.5,故当n7时,Sn最大方法四由S3S11,可得2a113d0,即(a16d)(a17d)0,故a7a80,又由a10,S3S11可知d0,所以a70,a80,所以当n7时,Sn最大B组专项能力提升(时间:20分钟)11设Sn为等差数列an的前n项和,(n1)SnnSn1(nN*)若1,则()ASn的最大值是S8 BSn的最小值是S8CSn的最大值是S7 DSn的最小值是S7答案D解析由条件得,即,所以anan1,所以等差数列an为递增数列又1,所以a80,a70,即数列an前7项均小于0,第8项大于零,所以Sn的最小值为S7,故选D.1

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