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学业分层测评(十二) 圆、椭圆的参数方程的应用(建议用时:45分钟)学业达标1当x2y24时,求ux22xyy2的最值【解】设(02),于是ux22xyy24cos28cos sin 4sin24cos 24sin 28sin(2)所以,当,x,y1时,或,x,y1时,umax8;当,x1,y时,或,x1,y时,umin8.2若x,y满足(x1)2(y2)24,求2xy的最值【解】令x12cos ,y22sin ,则有x2cos 1,y2sin 2,故2xy4cos 22sin 24cos 2sin 2sin()(tan 2)22xy2.即2xy的最大值为2,最小值为2.3过点P(3,0)且倾斜角为30的直线和曲线(t为参数)相交于A、B两点求线段AB的长【导学号:98990037】【解】直线的参数方程为(s为参数),曲线(t为参数)可以化为x2y24.将直线的参数方程代入上式,得s26s100.设A、B对应的参数分别为s1,s2,s1s26,s1s210.AB|s1s2|2.4已知A是椭圆长轴的一个端点,O是椭圆的中心,若椭圆上存在一点P,使OPA90,求椭圆离心率的取值范围【解】设椭圆的方程为1,A(a,0),设P(acos ,bsin )是椭圆上一点,则(acos a,bsin ),(acos ,bsin ),由于OPA90,所以0,即(acos a)acos b2sin20,a2(cos2cos )b2sin20,a2cos (cos 1)b2(1cos )(1cos )0.因为P与A不重合,所以cos 10,则a2cos b2(1cos ),11.因为(0,)(,2),所以(,1),e(,1)5已知椭圆y21上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点,求证:OPOQ为定值【证明】设M(2cos ,sin ),为参数,B1(0,1),B2(0,1)则MB1的方程:y1x,令y0,则x,即OP|.MB2的方程:y1x,令y0,则x.OQ|.OPOQ|4.即OPOQ4为定值6已知直线C1:(t为参数),圆C2:(为参数),(1)当时,求C1与C2的交点坐标;(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点,当变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线【解】(1)当时,C1的普通方程为y(x1),C2的普通方程为x2y21.联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0),(,)(2)C1的普通方程为xsin ycos sin 0.A点坐标为(sin2,cos sin ),故当变化时,P点轨迹的参数方程为(为参数),P点轨迹的普通方程为(x)2y2,故P点的轨迹是圆心为(,0),半径为的圆7求椭圆C:1上的点P到直线l:3x4y180的距离的最小值【解】设点P的坐标为(4cos ,3sin ),其中0,2),则点P到直线l的距离d,当sin()1时,等号成立因为0,2),所以.所以当时,d取得最小值.能力提升8在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为,其中为参数以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos()3.求椭圆C上的点到直线l距离的最
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