用空间向量解立体几何问题方法归纳.doc

用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)平面，的法向量u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(1)线面平行：lauau0a1a3b1b3c1c30(2)线面垂直：lauakua1ka3，b1kb3，c1kc3(3)面面平行：uvukva3ka4，b3kb4，c3kc4(4)面面垂直：uvuv0a3a4b3b4c3c40例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC.证明以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F，(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0)(1)因为，所以，即EFAB.又AB平面PAB，EF平面PAB，所以EF平面PAB.(2)因为(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，所以，即APDC，ADDC.又APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以DC平面PAD.因为DC平面PDC，所以平面PAD平面PDC. 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.例2、在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点求证：(1)B1D平面ABD；(2)平面EGF平面ABD.证明：(1)以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BAa，则A(a,0,0)，所以(a,0,0)，(0,2,2)，(0,2，2)，0，0440，即B1DBA，B1DBD.又BABDB，因此B1D平面ABD.(2)由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，则，(0,1,1)，0220，0220，即B1DEG，B1DEF.又EGEFE，因此B1D平面EGF. 结合(1)可知平面EGF平面ABD.利用空间向量求空间角基础知识(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为，则cos |cosa，b|.(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为，则sin |cosn，a|.(3)向量法求二面角：求出二面角l的两个半平面与的法向量n1，n2，若二面角l所成的角为锐角，则cos |cosn1，n2|；若二面角l所成的角为钝角，则cos |cosn1，n2|.例1、如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面ABA1的一个法向量为n2(0,1,0)设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos |，得sin .因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.例2、如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值解(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由(1)知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 由题设知A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(1,0,0)则(1,0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则即 可取n(，1，1)故cosn，.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论(2)求空间角应注意：两条异面直线所成的角不一定是直线的方向向量的夹角，即cos |cos |.两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求例3、如图，在四棱锥SABCD中，ABAD，ABCD，CD3AB3，平面SAD平面ABCD，E是线段AD上一点，AEED，SEAD.(1)证明：平面SBE平面SEC；(2)若SE1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值解：(1)证明：平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，SE平面SAD，SEAD，SE平面ABCD. BE平面ABCD，SEBE. ABAD，ABCD，CD3AB3，AEED，AEB30，CED60. BEC90，即BECE. 又SECEE，BE平面SEC. BE平面SBE，平面SBE平面SEC.(2)由(1)知，直线ES，EB，EC两两垂直如图，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，ES为z轴，建立空间直角坐标系则E(0,0,0)，C(0,2，0)，S(0,0,1)，B(2,0,0)，所以(0，2，0)，(2，2，0)，(0，2，1)设平面SBC的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，得x，z2，则平面SBC的一个法向量为n(，1,2)设直线CE与平面SBC所成角的大小为，则sin |，故直线CE与平面SBC所成角的正弦值为.例4、如图是多面体ABCA1B1C1和它的三视图 (1)线段CC1上是否存在一点E，使BE平面A1CC1？若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值解：(1)由题意知AA1，AB，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，C1(1，1,2)，则(1,1,2)，(1，1,0)，(0，2，2)设E(x，y，z)，则(x，y2，z)，(1x，1y,2z)设 (0)，则则E，.由得解得2，所以线段CC1上存在一点E，2，使BE平面A1CC1.(2)设平面C1A1C的法向量为m(x，y，z)，则由得取x1，则y1，z1.故m(1，1,1)，而平面A1CA的一个法向量为n(1,0,0)，则cosm，n，故平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值为.利用空间向量解决探索性问题例1、如图1，正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB(如图2)(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角EDFC的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由解(1)在ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EFAB.又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.(2)以点D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2，0)，E(0，1)，F(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,0,2)平面CDF的法向量为(0,0,2)设平面EDF的法向量为n(x，y，z)，则即取n(3，3)，cos，n，所以二面角EDFC的余弦值为.(3)存在设P(s，t,0)，有(s，t，2)，则t20，t，又(s2，t,0)，(s,2t,0)，(s2)(2t)st，st2. 把t代入上式得s，在线段BC上存在点P，使APDE. 此时，.(1)空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.例2、.如图所示，在直三棱柱ABCA1B 1C1中，ACB90，AA1BC2AC2.(1)若D为AA1中点，求证：平面B1CD平面B1C1D；(2)在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1CDC1的大小为60？解：(1)证明：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)，即(0,2,0)，(1,0,1)，(1,0,1)由(0,2,0)(1,0,1)0000，得，即C1B1CD.由(1,0,1)(1,0,1)1010，得，即DC1CD.又DC1C1B1C1，CD平面B1C1D.又CD平面B1CD，平面B1CD平面B1C1D.(2)存在当ADAA1时，二面角B1CDC1的大小为60.理由如下：设ADa，则D点坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)，设平面B1CD的法向量为m(x，y，z)，则令z1，得m(a,1，1)又(0,2,0)为平面C1CD的一个法向量，则cos 60，解得a(负值舍去)，故ADAA1.在AA1上存在一点D满足题意空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点一、经典例题领悟好例1、如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD，F为PC的中点，AFPB.(1)求PA的长；(2)求二面角BAFD的正弦值(1)由条件知ACBDDB，AC分别为x，y轴写出A，B，C，D坐标设P坐标可得F坐标0得P坐标并求PA长(2)由(1)，的坐标n10且n10求得n1n2求得夹角余弦解(1)如图，连接BD交AC于O，因为BCCD，即BCD为等腰三角形，又AC平分BCD，故ACBD.以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则OCCDcos 1.而AC4，得AOACOC3.又ODCDsin，故A(0，3,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)因PA底面ABCD，可设P(0，3，z)由F为PC边中点，知F.又，(，3，z)，AFPB，故0，即60，z2(舍去2)，所以| |2.(2)由(1)知(，3,0)，(，3,0)，(0,2，)设平面FAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为n2(x2，y2，z2)，由n10，n10，得因此可取n1(3，2)由n20，n20，得故可取n2(3，2)从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2.故二面角BAFD的正弦值为.建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系(本题利用ACBD)，若图中存在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称.例2、如图，在空间几何体中，平面ACD平面ABC，ABBCCADADCBE2.BE与平面ABC所成的角为60，且点E在平面ABC内的射影落在ABC的平分线上(1)求证：DE平面ABC；(2)求二面角EBCA的余弦值解：证明：(1)易知ABC，ACD都是边长为2的等边三角形，取AC的中点O，连接BO，DO，则BOAC，DOAC. 平面ACD平面ABC，DO平面ABC. 作EF平面ABC，则EFDO. 根据题意，点F落在BO上，EBF60， 易求得EFDO，四边形DEFO是平行四边形，DEOF.DE平面ABC，OF平面ABC，DE平面ABC.(2)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，可求得平面ABC的一个法向量为n1(0,0,1)可得C(1,0,0)，B(0，0)，E(0，1，)，则(1，0)，(0，1，)设平面BCE的法向量为n2(x，y，z)，则可得n20，n20，即(x，y，z)(1，0)0，(x，y，z)(0，1，)0，可取n2(3，1)故cosn1，n2. 又由图知，所求二面角的平面角是锐角，故二面角EBCA的余弦值为.专题训练1.如图所示，在多面体ABCDA1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1底面ABCD，ABA1B1，AB2A1B12DD12a.(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中点，求证：FB1平面BCC1B1.解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2a,0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(a,0,0)，B1(a，a，a)，C1(0，a，a)(1)(a，a，a)，(0,0，a)，cos，所以异面直线AB1与DD1所成角的余弦值为.(2)证明：(a，a，a)，(2a,0,0)，(0，a，a)，FB1BB1，FB1BC.BB1BCB，FB1平面BCC1B1.2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值解：(1)证明：因为四边形AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AC，AA1AB. 由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，(0,3，4)，(4,0,0)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m(3,4,0)所以cos n，m.由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)证明：设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且.所以(x，y3，z)(4，3,4)解得x4，y33，z4.所以(4，33，4)由0，即9250，解得.因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时，.3如图(1)，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB2，DC1，BC，ABAD.将图(1)沿直线BD折起，使得二面角ABDC为60，如图(2)(1)求证：AE平面BDC；(2)求直线AC与平面ABD所成角的余弦值解：(1)证明：取BD的中点F，连接EF，AF，则AF1，EF，AFE60.由余弦定理知AE.AE2EF2AF2，AEEF.ABAD，F为BD中点BDAF. 又BD2，DC1，BC，BD2DC2BC2，即BDCD.又E为BC中点，EFCD，BDEF.又EFAFF，BD平面AEF.又BDAE，BDEFF，AE平面BDC.(2)以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A，C，B，D，(2,0,0)，.设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，由得取z，则y3，又n(0，3，)cosn，.故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为.4如图所示，在矩形ABCD中，AB3，AD6，BD是对角线，过点A作AEBD，垂足为O，交CD于E，以AE为折痕将ADE向上折起，使点D到点P的位置，且PB.(1)求证：PO平面ABCE；(2)求二面角EAPB的余弦值解：(1)证明：由已知得AB3，AD6，BD9. 在矩形ABCD中，AEBD，RtAODRtBAD，DO4，BO5.在POB中，PB，PO4，BO5，PO2BO2PB2，POOB.又POAE，AEOBO，PO平面ABCE.(2)BO5，AO2.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,4)，A(2，0,0)，B(0,5,0)，(2，0，4)，(0,5，4)设n1(x，y，z)为平面APB的法向量则即取x2得n1(2，4,5)又n2(0,1,0)为平面AEP的一个法向量，cosn1，n2，故二面角EAPB的余弦值为.5.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O为AD中点(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2)求B点到平面PCD的距离；(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角QACD的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)在PAD中，PAPD，O为AD中点，所以POAD.又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.又在直角梯形ABCD中，连接OC，易得OCAD，所以以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，(1，1，1)，易证OA平面POC，(0，1,0)是平面POC的法向量，cos，. 直线PB与平面POC所成角的余弦值为.(2) (0,1，1)，(1,0,1)设平面PDC的一个法向量为u(x，y，z)，则取z1，得u(1,1,1)B点到平面PCD的距离为d.(3)假设存在一点Q，则设 (01)(0,1，1)，(0，)，(0，1)，Q(0，1)设平面CAQ的一个法向量为m(x，y，z)，又(1,1,0)，AQ(0，1,1)，则取z1，得m(1，1，1)，又平面CAD的一个法向量为n(0,0,1)，二面角QACD的余弦值为，所以|cosm，n|，得321030，解得或3(舍)，所以存在点Q，且.6如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SAABBC2，AD1.M是棱SB的中点(1)求证：AM平面SCD；(2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值；(3)设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为，求sin 的最大值解：(1)以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，S(0,0,2)，M(0,1,1)所以(0,1,1)，(1,0，2)，(1，2,0)设平面SCD的法向量是n(x，y，z)，则即令z1，则x2，y1，于是n(2，1,1)n0，n.又AM平面SCD，AM平面SCD.(2)易知平面SAB的一个法向量为n1(1,0,0)设平面SCD与平面SAB所成的二面角为，则|cos |，即cos .平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为.(3)设N(x,2x2,0)(x1,2)，则(x,2x3，1)又平面SAB的一个法向量为n1(1,0,0)，sin .当，即x时，(sin )max.7、如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，FABDAB90，AFABBC2，AD1，FACD.(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行；(2)求二面角FCDA的余弦值解：(1)证明：由已知得，BEAF，BCAD，BEBCB，ADAFA，平面BCE平面ADF. 设平面DFC平面BCEl，则l过点C.平面BCE平面ADF，平面DFC平面BCEl，平面DFC平面ADFDF.DFl，即在平面BCE上一定存在过点C的直线l，使得DFl.(2)FAAB，FACD，AB与CD相交，FA平面ABCD.故以A为原点，AD，AB，AF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图由已知得，D(1,0,0)，C(2,2,0)，F(0,0,2)，(1,0,2)，(1,2,0)设平面DFC的一个法向量为n(x，y，z)，则不妨设z1.则n(2，1,1)，不妨设平面ABCD