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文档简介

SI241 Probability for the other bound, use Part (a). Solution : (a) There are ?n 2 ? pairs of numbers, each of which is equally likely to be in either order. So by symmetry, linearity, and indicator r.v.s, the expected number of inversions is 1 2 ?n 2 ? . (b) Let X be the number of comparisons and V be the number of inversions. On the one hand, X V since every inversion must be repaired. So E(X) E(V ) = 1 2 ?n 2 ? .On the other hand, there are n-1 comparisons needed in the fi rst sweep, n-2 in the second sweep (if needed), , and 1 in the (n-1)st sweep (if needed). So X (n 1) + (n 2) + + 2 + 1 = n(n + 1) 2 = ?n 2 ? . Hence, 1 2 ?n 2 ? E(X) ?n 2 ? 8. For X Pois(), fi nd E(X!)(the average factorial of X), if it is fi nite. -7 Solution : By LOTUS, we have E(X!) = e X k=0 k! k k! = e 1 , for 0 1 since since this is a geometric series (and E(X!) is infi nite if 1). 9. Let X Geom(p) and let t be a constant. Find E(etX), as a function of t (this is known as the moment generating function; we will see in Chapter 6 how this function is useful). Solution : letting q = 1 p, we have E(etX) = p X k=0 etkqk= p X k=0 ?qet?k = p

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