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文档简介

1.1.3导数的几何意义学习目标:1.了解导函数的概念,理解导数的几何意义.2.会求导函数(重点、难点)3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程(重点)4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线,并会求其方程(易混点)自 主 预 习探 新 知1导数的几何意义(1)切线的定义:图116如图116,对于割线PPn,当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线(2)导数的几何意义:导数的几何意义:函数f(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k,即k f(x0)(3)切线方程:曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2导函数对于函数yf(x),当xx0时,f(x0)是一个确定的数,当x变化时,f(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称为导数),即f(x)y .思考: f(x0)与f(x)有什么区别?提示f(x0)是一个确定的数,而f(x)是一个函数基础自测1思考辨析(1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点xx0处切线的斜率()(2)若曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处有切线,则f(x0)必存在()(3)f(x0)(或y|xx0)是函数f(x)在点xx0处的函数值()(4)直线与曲线相切,则直线与已知曲线只有一个公共点()答案(1)(2)(3)(4)2若曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为2xy10,则()Af(x0)0Bf(x0)0Cf(x0)0Df(x0)不存在C由题意可知,f(x0)20,故选C.3已知函数f(x)在x0处的导数为f(x0)1,则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为_. 【导学号:31062012】解析设切线的倾斜角为,则tan f(x0) 1,又0,180),45.答案454若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是1,那么过点A的切线方程是_解析切线的斜率为k1.点 A(1,2)处的切线方程为y2(x1),即xy30.答案xy30合 作 探 究攻 重 难导数几何意义的应用(1)已知yf(x)的图象如图117所示,则f(xA)与f(xB)的大小关系是()图117Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能确定(2)若曲线yx2axb在点(0,b)处的切线方程是xy10,则()Aa1,b1Ba1,b1Ca1,b1Da1,b1(1)B(2)A(1)由导数的几何意义,f(xA),f(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率,由图象可知f(xA)f(xB)(2)由题意,知ky|x0 1,a1.又(0,b)在切线上,b1,故选A.规律方法1.本例(2)中主要涉及了两点:f(0)1,f(0)b.2.解答此类问题的关键是理解导数的几何意义.3.与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识,如直线的方程、直线间的位置关系等,因此要综合应用所学知识解题.跟踪训练1设曲线yax2在点(1,a)处的切线与直线2xy60平行,则a等于() 【导学号:31062013】A1 BCD1A由题意可知,f(1)2.又 (ax2a)2a.故由2a2得a1.2如图118,函数yf(x)的图象在点P(2,y)处的切线是l,则f(2)f(2)等于()图118A4B3C2D1D直线l的方程为1,即xy40.又由题意可知f(2)2,f(2)1,f(2)f(2)211.求切点坐标过曲线yx2上某点P的切线满足下列条件,分别求出P点(1) 平行于直线y4x5;(2)垂直于直线2x6y50;(3)与x轴成135的倾斜角解f(x) 2x,设P(x0,y0)是满足条件的点(1)切线与直线y4x5平行,2x04,x02,y04,即P(2,4)是满足条件的点(2)切线与直线2x6y50垂直,2x01,得x0,y0,即P是满足条件的点(3)切线与x轴成135的倾斜角,其斜率为1.即2x01,得x0,y0,即P是满足条件的点规律方法1.本题关键是由条件得到直线的斜率,从而得知函数在某点处的导数,进而求出切点的横坐标.2.根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0,y0);(2)求导函数f(x);(3)求切线的斜率f(x0);(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;(5)x0代入f(x)求y0得切点坐标. 跟踪训练3已知曲线y2x27在点P处的切线方程为8xy150,求切点P的坐标. 【导学号:31062014】解设切点P(m,n),切线斜率为k,由y (4x2x)4x,得ky|xm4m.由题意可知4m8,m2.代入y2x27得n1.故所求切点P为(2,1)求曲线的切线方程探究问题1如何求曲线f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程?提示:yy0k(xx0)即根据导数的几何意义,求出函数yf(x)在点(x0,f(x0)处的导数,即曲线在该点处的切线的斜率,再由直线方程的点斜式求出切线方程2曲线f(x)在点(x0,f(x0)处的切线与曲线过点(x0,y0)的切线有什么不同?提示:曲线f(x)在点(x0,f(x0)处的切线,点(x0,f(x0)一定是切点,只要求出kf(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点3曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?提示:不一定曲线yf(x)在点P(x0,y0)处的切线l与曲线yf(x)的交点个数不一定只有一个,如图所示已知曲线C:yx3.(1)求曲线C在横坐标为x1的点处的切线方程;(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程思路探究(1)(2) 解(1)将x1代入曲线C的方程得y1,切点P(1,1)y|x1 33xx23.ky|x13.曲线在点P(1,1)处的切线方程为y13(x1),即3xy20.(2)设切点为Q(x0,y0),由(1)可知y|xx03x,由题意可知kPQy|xx0,即3x,又y0x,所以3x,即2xx010,解得x01或x0.当x01时,切点坐标为(1,1),相应的切线方程为3xy20.当x0时,切点坐标为,相应的切线方程为y,即3x4y10.母题探究:1.(变结论)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?解由解得或从而求得公共点为P(1,1)或M(2,8),即切线与曲线C的公共点除了切点外,还有另一公共点(2,8)2(变条件)求曲线yf(x)x21过点P(1,0)的切线方程解设切点为Q(a,a21),2ax,当x趋于0时,(2ax)趋于2a,所以所求切线的斜率为2a.因此,2a,解得a1,所求的切线方程为y(22)x(22)或y(22)x(22)规律方法利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0,y0)在已知曲线上,求在点(x0,y0)处的切线方程,先求出函数yf(x)在点x0处的导数,然后根据直线的点斜式方程,得切线方程yy0f(x0)(xx0).(2)若点(x0,y0)不在曲线上,求过点(x0,y0)的切线方程,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程. 当 堂 达 标固 双 基1已知曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为2xy20,则f(1)()A4B4C2D2D由导数的几何意义知f(1)2,故选D.2下面说法正确的是()A若f(x0)不存在,则曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处没有切线B若曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处有切线,则f(x0)必存在C若f(x0)不存在,则曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线斜率不存在D若曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处没有切线,则f(x0)有可能存在C根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0,y0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D错误3已知二次函数yf(x)的图象如图119所示,则yf(x)在A,B两点处的导数f(a)与f(b)的大小关系为:f(a)_f(b)(填“”或“”)图119解析f(a)与f(b)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,由图象可得f(a)f(b)答案4曲线f(x)在点(2,1)处的切线方程为_. 【导学号:31062015】解析f(2) ,切线方程为

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