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阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-1,第七章,数值积分 与微 分(上),阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-2,第七章目录,1 数值积分的基本概念 1.1构造数值求积公式的基本思想 1.2代数精度 1.3插值型求积公式 2 牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式 2.1牛顿一柯特斯公式 2.2几种低价N-C求积公式的余项 2.3牛顿一柯特斯公式的稳定性和收敛性 3 复化求积公式 3.1复化梯形公式 3.2复化Simpson公式与复化Cotes公式,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-3,第七章目录,4 变步长方法(逐次分半算法) 4.1 梯形公式的逐次分半算法 4.2 Simpson公式的逐次分半算法 5 龙贝格(Romberg)求积公式 5.1外推法 5.2 Romberg求积公式 6 高斯(Gauss)型求积公式 7 数值微分,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-4,序(1),计算定积分 的值是经常遇到的一个问题, 由微积分理论知道:只要求出f (x)的一个原函数F(x), 就可以利用牛顿莱布尼慈(Newton-Leibniz)公式 出定积分值:,但是,在工程技术领域,在实际使用上述求积分方法 时,往往会遇到下面情况:,1. 函数f (x)没有具体的解析表达式,只有一些由实验 测试数据形成的表格或 图形。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-5,序(2),3. f (x) 的结构复杂,求原函数困难,即不定积分难求。,2. f (x)的原函数无法用初等函数表示出来,如:,由于以上种种原因,因此有必要研究积分的数值计算 方法,进而建立起上机计算定积分的算法,此外,数值积分也是研究微分方程和积分方程的数值解法的基础。,同样,对函数f (x)求导,也有类似的问题,需要研究数值微分方法。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-6,1 数值积分的基本概念,1.1 构造数值求积公式的基本思想,定积分I=ab f (x)dx在几何上为x=a, x=b, y=0和y=f (x)所 围成的曲边梯形的面积。定积分计算之所以困难,就在于 这个曲边梯形中有一条边y=f (x)是曲边,而不是规则图形。 由积分中值定理,对连续函数f (x),在区间a, b 内至少 存在一点,使:,也就是说,曲边梯形的面积I 恰好 等于底为(b-a),高为f ()的规则图 形矩形的面积(图7-1),f ()为曲 边梯形的平均高度,然而点的具体位置一般是不知道的, 因此难以准确地求出f ()的值。但是,由此可以得到这样 的启发,只要能对平均高度f ()提供一种近似算法,便可 以相应地得到一种数值求积公式。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-7,构造数值求积公式的基本思想(续),如,用两端点的函数值f (a)与f (b)取算术平均值作为平均 高度f ()的近似值,这样可导出求积公式:,更一般地,可以在区间a, b 上适当选取某些点xk (k=0,1, ,n),然后用f (xk) 的加权平均值近似地表示 f (),这样得到一般的求积公式:,其中,点xk 称为求积节点,系数Ak 称为求积系数,Ak 仅 仅与节点xk 的选取有关,而不依赖于被积函数f (x)的具体形式,即xk决定了,Ak也就相应的决定了。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-8,构造数值求积公式的基本思想(续1),回顾定积分的定义,积 分值I 是和式的极限:,其中xk是a, b 的每 一个分割小区间的长度,它与f (x)无关,去掉极限,由此 得到近似计算公式:,因此,式(7-1)可作为一般的求积公式,其特点是将积分问题归结为函数值的计算,从而避开了使用牛顿一莱布尼慈公式需要求原函数的困难,适合于函数给出时计算积分,也非常便于设计算法。便于上机计算。 求积公式(7-1)的截断误差为:,Rn也称为积分余项。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-9,1.2 代数精度,数值积分是一种近似方法,但其中有的公式能对较多 的函数准确成立,而有的公式只对较少的函数准确成立。 为了反映数值积分公式在这方面的差别,引入代数精度的概念。,定义1,如果某个求积公式对所有次数不大于m的多项式都 精确成立,而至少对一个m +1次多项式不精确成 ,则称该公式具有m次代数精度。,一般来说,代数精度越高,求积公式越好。为了便于应 用,由定义1容易得到下面定理。,定理1,一个求积公式具有m次代数精度的充分必要条件 是该求积公式对 1,x,x2,xm 精确成立,而对xm+1 不精确成立。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-10,代数精度(续1),试验证梯形公式具有一次代数精度。,例1,同理可证明矩形公式的 代数精度也是一次的,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-11,代数精度(续2),上述过程表明,可以从代数精度的角度出发来构造求积公 式。 例如,对于求积公式(7-1),若事先选定一组求积 节点xk (k=0,1,n,), xk可以选为等距点,也可以选为非 等距点,则可令公式对f(x)=1,x,xn 精确成立,即得:,这是关于A0、A1、An的线性方程组,系数行列式 为范德蒙行列式,其值不等于零,故方程组存在唯一的一 组解。求解该方程组即可确定求积系数Ak,所得到的求积 公式(7-1)至少具有n次代数精度。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-12,代数精度举例,例2,确定求 积公式,使其具有尽可能高的代数精度。,解求积公式中含有三个待定参数,可假定近似式(7-3)的代数精度为m =2, 则当f (x)=1,x,x2 时,式(7-3)应 准确成立,即有:,代回去可得:,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-13,公式(7-4)不仅对特殊的次数不高于3次的多项式f (x) = 1,x,x2, x3准确成立,而且对任意次数不高于3次的多项式, a0+a1x+a2x2 + a2x3 (f (x)=1,x,x2, x3的线性组合)也准确成立,事实上,令R( f )表式(7-4)的截断误差:,检查(7-4)对 m = 3 是否成立,为此,令 f(x)=x3 代入(7-4),此时左边 。,再检查(7-4)对m=4是否成立,令f(x)=x4代入(7-4),此时:,因此近似式(7-4)的代数精度为m=3.,代数精度举例(续1),阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-14,由于对任意的常数, 和函数f (x),g (x) 成立:,这表明,误差对f (x)=1, x, x2, x3准确成立,则对它们的任意线性组合a0 + a1x + a2x2+ a3x3也准确成立,所以通常检查一个求积公式是否具有m次代数精度,只需检查对f(x)=1,x,xm 是否准确成立即可。,上述方法称为待定系数法!,代数精度举例(续2),阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-15,待定系数法注释,注1:由待定系数法确定的求积公式没有确 切的误差估计式,只能从其所具有的代数精 度去判定求积公式的准确程度。,注2:因此,希望由待定系数法确定的求积 公式的代数精度越高越好,通常的方法是要 确定n +1个待定系数。可设求积公式具有n次 代数精度,去建立n +1个方程求解,否则的 话,只设其具有0次代数精度,建立1个方程 也可以求出n +1个待定参数.,上述方法称为待定系数法,在具有尽可能高的 代数精度的要求下,利用它可以得出各种求积公式。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-16,1.3 插值型求积公式,设给定一组节点a x0 x1 xn-1xn b,且已知f (x) 在这些节点上的函数值,则可求 得f (x)的拉格朗日插值多项式:,其中lk(x) 为插值基函数。取f (x) Ln(x),则有:,记:,则有:,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-17,插值型求积公式(续),这种求积系数由式(7-5)所确定的求积公式称为 插值型求积公式。,根据插值余项定理,插值型求积公式的求积余项为:,其中a,b 且与x有关。在插值中,因f (x) 不知道,所以无法估计插值误差。而在这里,f (x)作为被积函数,式(7-6)却可以用于估计积分的误差。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-18,插值型求积公式代数精度定理,关于插值型求积公式的代数精度,有如下定理。,具有n +1个节点的数值求积公式(7-1)是插值型求积 公式的充分必要条件是该公式至少具有n次代数精度。,定理2,证:(充分性) 设求积公式(7-1)至少具有n次代数精度, 那么,由于插值基函数 li(x) (i=0,1,n)均是次数为n的 多项式,故式(7-1)对li(x)精确成立,即:,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-19,定理2(续),(必要性) 设求积公式(7-1)是插值型的,则对所有次数不大于n的多项式f (x),按(7-6)其求积余项Rn = 0,即公式是精确成立的。由定义1知求积公式至少具有n次代数精度。(证毕),定理2说明,当求积公式(7-1)选定求积节点xk 后,确定求积系数Ak有两条可供选择的途径:求解 线性方程 组(7-2)或者计算积分(7-5)。由此得 到的求积公式都是插值型的,其代数精度均不小于 n次。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-20,插值型求积公式举例,例3,考察求积公式:,具有几次代数精度。,此例说明三个节点的求积公式不一定具有二次数精度, 其原因是此求积公式不是插值型的。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-21,2 牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式,本节介绍求积节点等距分布时的插值型求积公式, 即牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式。,2.1 牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式,设将积分区间a, b 划分为n等分,步长h=(b-a)/n,求积 节点取为xk = a+kh(k=0,1,n),由此构造插值型求积公式, 则其求积系数为:,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-22,牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式(续),称之为n阶牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式简记为 N-C公式, 称为柯特斯系数。显然,柯特斯系数与被 积函数f (x) 和积分区间a, b 无关,且为多项式积分,其值 可以事先求出备用。表7-1中给了了部分柯特斯系数。,记:,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-23,柯特斯系数,表7-1,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-24,牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式(续1),经计算或查表得到柯特斯系数后,便可以写出对应的 牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式。,当n =1时,按公式(7-7)有:,得求积公式:,即为 梯形公式,相应的求积公式:,称为辛卜生 (Simpson) 公式。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-25,牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式(续2),所以柯特斯公式是:,当n=4时,所得的公式称作柯特斯公式,它有五个节点 ,其系数:,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-26,柯特斯系数的性质,1、与积分区间无关:当n确定后,其系数和 都等于1,即:,2、对称性:,此特性由表7-1很容易看出,现就一般情况证明之。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-27,3、柯特斯系数并不永远都是正的。 从表7-1可以看出当n = 8时,出现了负系数,在实际 计算中将使舍入误差增大,并且往往难以估计,从而牛顿 一柯特斯公式的收敛性和稳定性得不到保证,因此实际计 算中不用高阶的牛顿一柯特斯公式。,柯特斯系数的性质(续),2n阶Newton-Cotes公式至少具有 2n+1次代数精度。,一般地,由n次插值多项式导出的n次牛顿一柯特斯公 式至少具有n次代数精度,更进一步有以下结论:,定理3,(证明见下屏),阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-28,N为偶时的牛柯公式的代数精度证明,上式中被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称, 故积分值为0,即:,所以2n阶N-C公式至少具有2n+1次代数精度。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-29,N-C公式应用举例,例4,验证辛卜生 (Simpson)公式:,具有三次代数精度。,解:由定理2,辛卜生公式至少具有二次代数精度,因此只需 检查对f (x)=x3成立否。当f (x)=x3时:,所以I = S,表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多项 式准确成立,用同样的方法可以验证对于f (x)=x4,辛卜生 公式不成立,因此辛卜生公式的代数精度可以达到三次。 在几种低阶N-C公式中,感兴趣的是梯形公式(最简单, 最基本)、辛卜生公式和柯特斯公式。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-30,N-C公式应用举例(续),例5,解:由梯形公式 (7-9)得:,由辛卜生公式 (7-10)得:,由柯特斯公式(7-11)得:,事实上,积分的精确值:,与之相比可以看到,柯特斯公式的结果最好,具有七 位有效数字;辛卜生公式的结果次之,具有四位有效数字;而梯形公式的结果最差,只有两位有效数字。,分别用梯型公式、辛卜生公式 和柯特斯公式计算积分:,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-31,2.2 几种低价N-C求积公式的余项,考察梯形公式,按余项公式(7-6),梯形公式(7-9) 的余项为:,这里被积函数中的因子(xa)(xb)在区间a, b 上不变号(非正),故由积分中值定理,在a, b 内至少存在一点,使:,2. 对于辛卜生公式,为得到其误差估计式,在a, b 区间上构造三次多项式H(x),让H(x) 满足插值条 件(带导数插值):,(紧接下屏),阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-32,辛卜生公式误差估计式的 推导,而辛卜生公式至少具有三次代数精度,因此对上述三次多项式H(x) 应准确成立,即有:,其插值 余项为:,因此,辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分:,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-33,3. 柯特斯公式(6-10)的余项为:,辛卜生公式误差估计式的 推导(续),阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-34,2.3 牛顿一柯特斯公式的稳定性和收敛性,根据定理2,牛顿一柯特斯公式(6-7)对f (x)=1精确成立,即:,由此可得:,下面来分析f (xk) 的误差对数值求积结果的影响。 设f (xk) 有误差k,并设 ,,则由此引起的计算误差为:,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-35,牛顿一柯特斯公式的稳定性和收敛性(续),关于收敛性可以证明,并非对一切连续函数f (x),都有: ,,也就是说牛顿柯特斯公式的收敛性没有保证。因此,在实际计算中,一般不采用高阶(n 8) 的牛顿柯特斯公式。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-36,在实验计算中常用的就是以上三种低阶的 N-C公式,但若积分区间比较大,直接使用这 些求积公式,则精度难以保证;若增加节点, 就要使用高阶的N-C公式,然而前面已指出, 当n 8时,由于N-C公式的收敛性和稳定性得 不到保证,因此不能采用高阶的公式,事实上, 增加节点,从插值的角度出发,必然会提高插 值多项式的次数,Runge现象表明,一般不采 用高次插值,亦即不用高阶N-C公式,为提高 精度,当增加求积节点时,考虑对被积函数用 分段低次多项式近似,由此导出复化求积公式。,3 复化求积公式,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-37,3.1 复化梯形公式,用分段线性插值函数近似被积函数,等于把积分区 间分成若干小区间,在每个小区间上以梯形面积近似曲边 梯形面积,即用梯形公式求小区间上积分的近似值。如图 7-2所示,这样求得的近似值显然比用梯形公式计算高。 定积分存在定理表明,只要被积函数连续,当小区间长度 趋于零时,小梯形面积之和趋于曲边梯形面积的准确值, 即定积分的准确值。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-38,复化梯形公式,它实际上就是用定积分 定义计算积分,经等分区 间,在每个小区间上以直 线近似替代曲顶(线)然 后求知,略掉无限细分区 间(求极限)这一步而得 到的近似值。,式(7-15)称为复化梯形公式。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-39,复化梯形公式的截断误差,因为f (x) 在a, b 连续,由介值定理,存在 (a, b),使得:,从而有:,这就是复化梯形公式的截断误差。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-40,复化梯形公式的数值稳定性讨论,下面简单讨论复化梯形公式的数值稳定性。设 计算函数值f (xk) 时产生误差为k (k=0,1,n),则 用式(7-15)计算结果的误差为:,因此,无论n为多大,复化梯形公式是数值稳 定的。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-41,3.2 复化Simpson公式和复化Cotes公式,如果用分段二次插值函数近似被积函数,即在小区间上用Simpson公式计算积分近似值,就导出复化Simpson公式。,整理后得到:,式(7-17)称为复化Simpson公式。,(紧接下屏),阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-42,复化Simpson公式的截断误差,如果f (x)C(4)a, b,由式(7-13)可得复化Simpson公式的截断误差为:,因为f (4)(x) 连续,故存在(a, b),使得:,式(7-18)表明,步长h越小,截断误差越小。与复化 梯形公式的分析相类似,可以证明,当n 时,用复化 Simpson公式所求得的近似值收敛于积分值,而且算法具 有数值稳定性。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-43,复化Cotes公式,将区间a, b分成n 等分,分点为:,用Cotes公式得到复化Cotes公式 :,复化Cotes公式的截断误差为:,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-44,复化求积公式举例,根据函数表,例6,解:(1)由复化梯形公式,n=8,h=1/8:,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-45,例6(续),(2)由复化Simpson公式,n=4,h=1/4:,与准确值I=0.9460831比较,显然用复化Simpson公式 计算精度较高。,事实上,由误差公式(7-16)与(7-18)有 RT (f )=O(h2), RS (f )=O(h4),故当h比较小时,用复化Simpson公式计算误差较小。,由误差估计公式不仅可以计算所求近似值的误差,反 之,亦可由给定的精度估计应取多大步长。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-46,复化求积公式举例(续),若用复化求积 公式计算积分:,的近似值,要求计算结果有 四位有效数字,n应取多大?,例7,解 因为当0x1时有0.3e-1e-x1于是:,要求计算结果有四位有效数字,即要求误差不超过10-4 / 2。 又因为:,因此若用复化梯形公式求积分,n应等于41才能达到精度。 若用复化Simpson公式,由式(7-18),即得n 3.2。故应取n = 4。,由复化梯形公式 误差估计式:,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-47,例6、例7说明,例7的计算结果表明,为达到相同的精度, 用复化Simpson公式所需的计算量比复化梯形公式 少,这也说明了复化Simpson公式的精度较高,实 际计算时多采用复化Simpson公式。,复化求积方法又称为定步长方法,要应用复 化求积公式,必须根据预先给定的精度估计出合 适的步长或n,进而确定对积分区间的等分数,如 同例7一样。然而当被积函数稍复杂一些,要由误 差估计式给出合适的步长,就要估计被积函数导 数的上界值,而这一点是相当困难的。,(紧接下屏),阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-48,例6、例7说明(续),要使截断误差不超过10-3 / 2,h应取多大?,如对例6,用复化梯形求积公式计算积分:,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-49,4 逐次分半算法(变步长方法),用复化求积公式(定步长方法)必 须要用误差估计式对于预先给定的精度 给出步长h或n,但由于误差估计式中要估 计高阶导数,而这一点往往很困难,因 此实际计算时,常采用变步长方法:逐 步缩小步长,每次将步长缩小一半,或 者说逐次等分区间,反复利用复化求积公 式,直到相邻两次计算结果相差不大为 止或者满足给定精度为止。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-50,4.1 梯形法的递推公式,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-51,因此计算梯形序列T2m可按:,梯形公式的逐次分半算法(续1),阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-52,梯形公式的逐次分半算法(续1),4,设将区间a , bn等分,共有n+1个分点,,如果将积分区间再等分一次,则分点增为2n+1个,将 等分前后两个积分值联系起来加以考察:,注意到每个子区间,经过等分只增加了一个分点:,用复化梯形公式可求得,上的积分值为,注意,这里,代表等分前的步长。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-53,梯形公式的逐次分半算法(续2),此为复化梯形公式的递推公式,将每个子区间上的积分值相加得:,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-54,梯形公式的逐次分半算法(续3),阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-55,复化梯形公式的停止计算控制, f (m-1) 与 f (m) 是二阶导数 f (x) 在a, b上2m-1个点 与2m个点的算术平均数(每个小区间上取一个点), 若f (x) 在a, b 的二阶导数连续,则当m较大时:,以此作为停止计算 的控制。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-56,复化simpson的停止计算控制,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-57,4.2 Simpson公式的逐次分半法,(紧接下屏),阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-58,Simpson公式的逐次分半法(续),阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-59,梯形公式的逐次分半法举例,用自动选择步长的梯形 公式计算I,要求误差,例8,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-60,例8(续),上例说明Tn收敛慢,求T128 要计算64个新增的函数值,而将T8与T4重新组合可构造S8。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-61,例8说明,由T8与T4重新组合可 构造S8,这一结果并 不是偶然,因为有:,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-62,例8说明(续1),我们将此误差估计加到T2m上构成新的近似值:,在复化梯形公式逐次分半算法中:,而在Simpson逐次分半算法中:,(紧接下屏!),阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-63,即由Simpson序列可构造出收敛更快的Cotes序列 。,例8说明(续2),阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-64,例8说明(续3),并且我们的具体做法都是利用控制结束的误差式,构 成新的,收敛更快的序列,而由前面的推导可知,下面这 些公式具有如下规律性:,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-65,例8说明(续4),类似地,也可以推导出:,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-66,5 龙贝格(Romberg)求积公式,5.1 外推法,从上面例,我们看到复化梯形序列T2m收敛较慢,而利 用梯形序列这些较粗略的近似值,重新进行线性组合得到 的结果收敛更快,更准确。这种利用若干精略近似值推算 更精确的近似值的方法,称为外推法。 下面再举例说明:,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-67,外推法(续1),可见梯形公式序列收敛差,而由T4与T8经线性组合却收敛很快,可见提高收敛速度,研究外推算法很重要。,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-68,外推法(续2),关于外推算法,我们再举引例,帮助理解:利用近似 值找更精确的近似值。科学实验中,特殊值的函数值很重 要,但很难求出。如f (0)无法求出,只能通过实验求出一 串f (h),f (h/2),来逼近f (0),h越小,实验的难度和代 价就越大,能否用f (h),f (h/2),构造一个新的序列,使 它更快地收敛于f (0) 呢?,实际上,我们可运用Taylor展式得到:,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-69,外推法(续3),既然f1(h) 容易获得,那么我们能否以f1(h) 再产生 新的序列f2(h),使f2(h)比f1(h)更快地收敛于f (0)呢?,阜师院数科院 第七章 数值积分与微分,7-70,外推法(续4),可见:序列f2(h) 逼近f

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