第7章模拟信号的数字传输习题答案.doc

第7章 模拟信号的数字传输7.1 学习指导7.1.1 要点本章的要点主要有抽样定理；自然抽样和平顶抽样；均匀量化和非均匀量化；PCM原理，A律13折线编码，译码；M原理，不过载条件；PCM，M系统的抗噪声性能；PCM与M的比较；时分复用和多路数字电话系统原理；1. 概述 为了使模拟信号实现数字化传输，首先要通过信源编码使模拟信号转换为数字信号，或称为“模/数转换”即A/D转换。模/数转换的方法采用得最早而且应用较广泛的是脉冲编码调制(PCM)，PCM通信系统原理图如图7-1所示。由图7-1可见，PCM系统由以下三部分组成。(1) 模/数转换（A/D转换）模/数转换包括三个步骤：抽样(Sampling)、量化(Quantization)和编码(Coding)。a. 抽样是把在时间上连续的模拟信号转换成时间上离散的抽样信号，抽样信号在时间上是离散的，但是其取值仍然是连续的，所以是离散模拟信号。b. 量化。量化是把幅度上连续的抽样信号转换成幅度离散的量化信号，故量化信号已经是数字信号了，它可以看成是多进制的数字脉冲信号。c. 是编码。编码是把时间离散且幅度离散的量化信号用一个二进制码组表示。(2) 数字方式传输基带传输或带通传输；(3) 数/模转换（D/A）将数字信号还原为模拟信号。包含了译码器和低通滤波器两部分。2.抽样定理为模拟信号的数字化和时分多路复用（TDM）奠定了理论基础。根据抽样的脉冲序列是冲激序列还是非冲激序列，抽样可以分为理想抽样和实际抽样。抽样是按照一定的抽样速率，把时间上连续的模拟信号变成一系列时间上离散的抽样值的过程。能否由此样值序列重建源信号，取决于抽样速率大小，而描述这一抽样速率条件的定理就是著名的抽样定理。(1) 低通信号的抽样定理定理：设有一个频带限制在（0，fH）内的连续模拟信号m(t)，若以Ts1/(2fH)间隔对它抽样，则m(t)将被这些抽样值所完全确定。此定理又称均匀（等间隔）抽样定理。含义：欲传信号m(t)，只需传抽样信号ms(t)接收端就能恢复m(t)，其条件是： 抽样间隔Ts1/(2fH)，或抽样速率fs 2fH 其中fs=1/Ts。理想抽样信号ms(t)可表示为： (7-1)式中，是周期为Ts的冲击函数序列，因此称为理想抽样信号。 的频谱为: (7-2)式中，。 式(7-2)表明，抽样信号的频谱Ms(f)是无数间隔频率为fs的原信号频谱M(f)相叠加而成，只要fs 2fH ，则Ms(f)中相邻的M(f-nfs)之间互不重叠，而位于n=0的频谱就是原信号频谱M(f)本身。这时，在接收端用一个低通滤波器，就能从Ms(f)中取出M(f)，也就是说能从抽样信号中恢复原信号m(t)。若抽样速率fs 2fH，则会产生混叠失真。最低抽样速率fs=2fH，称为奈奎斯特（Nyquist）速率。与此相应的最大抽样时间间隔T=1/(2fH)称为奈奎斯特间隔。实用的抽样频率fs必须比2fh大多一些。例如，典型的电话信号的最高频率通常在3400Hz，而抽样频率通常采用8000Hz。(2) 带通信号的抽样定理定理：设带通型模拟信号m(t)的最高频率为fH，最低频率为fL，其带宽B=( fH fL )与fH的关系可表示为 (7-3)这时，带通模拟信号所需的最小抽样频率为 (7-4)式中，n为商(fH/B)的整数部分；k为商(fH/B)的小数部分，0k1。对于窄带信号(fL很大时)，最小抽样频率。实际抽样由于冲击序列Ts(t)不能实现，通常采用窄脉冲串代替冲击序列。用窄脉冲序列进行实际抽样的两种方式是：自然抽样和平顶抽样。a.自然抽样自然抽样的各个脉冲有一定的宽度，脉冲顶部随m(t)相应时段的值“自然波动”。自然抽样是基带模拟信号m(t)与矩形窄脉冲序列s(t)的乘积。设m(t)的频谱为M(f)，s(f)的周期为Ts（按照抽样定理确定），频谱为S(f)、脉冲宽度为，幅度为A，则自然抽样信号ms(t)为m(t)与s(t)的乘积，即 (7-5)抽样信号ms(t)的频谱就是两者频谱的卷积： (7-6)式(7-6)中，=。可见，经过截止频率合适的理想低通滤波器，就可以从抽样信号ms(t)中无失真地恢复原始的模拟信号了。自然抽样信号的第一零点带宽为(Hz) (7-7)其中为窄脉冲序列s(t)的脉冲宽度。b.平顶抽样平顶抽样与自然抽样的不同之处在于抽样后信号中的脉冲顶部是平坦的，脉冲幅度等于瞬时抽样值。原理上可以看作由理想抽样和脉冲形成电路产生，如图7-2所示。设保持电路的传输函数为H(f)，则平顶抽样信号mH(t)的频谱MH(f)为： (7-8)其中，Ms(f)的表达式与理想抽样相同，即 (7-9)于是 (7-10)由式(7-10)可见：平顶抽样信号的频谱MH(f)由H(f)加权后的周期重复的M(f)组成，因此不能直接用低通滤波器恢复（解调）原信号。但只要在低通滤波器之前加一个传输函数为1/ H(f)的修正滤波器，就能无失真地恢复原模拟信号m(t)。3. 量化量化是将抽样信号幅值进行离散化处理的过程。量化后，无限个模拟抽样值变成了有限个量化电平值。量化过程可以认为是在一个量化器中完成的。量化的具体过程如图7-3所示，其中包括下面几个要点：(1) 量化器把整个输入区域划分成多个区间；对落入每个区间的输入，以同一个yi值作为输出，yi被称为输出电平；(2) 各区间之间的分界记为xi，称为分层电平或阈值电平；(3) 所分区间的个数记为M，称为量化电平数；实际上M常常取为2的幂次，不妨记为M = 2n，n称为量化器的位数(或比特数)。量化过程可以表达为 (7-11)式中，xi为分层电平。通常把i = xi+1 - xi称为量化间隔。显然，在量化过程中，量化输出电平yi和量化前信号的抽样值x(kTs)之间会产生误差，这种误差称为量化噪声。它对量化性能影响的程度可以用量化信噪比来衡量。量化信噪比被定义为 (7-11)式中， S0为量化器输出的信号功率； Nq为量化噪声功率。1) 均匀量化把输入信号的取值域等间隔分割的量化称为均匀量化。在均匀量化中，每个量化区间的量化电平均取在各个区间的中点。均匀量化是一种最基本的量化方法。假定量化器的最大量化范围为-V, +V，M个量化电平的均匀量化器的结构特点如下：(1) 把整个输入区域均匀地划分为M个区间，各量化间隔（区间长度）相等，记为，则 (7-12)(2) 个分层电平（端点）等间距排列，取值为 (7-13)(3) 量化输出电平一般取各区间的中点，取值为 在均匀量化时，量化噪声功率的平均值Nq可以用下式表示为 (7-14)式中，xk为模拟信号的抽样值即x(kTs)；qi为量化电平值；f(xk)为信号抽样值xk的概率密度；E表示求统计平均值；M为量化电平数；xi = -V + i；qi = -V + i 0.5。信号xk的平均功率可以表示为 (7-15)若已知信号xk的概率密度函数，则由式(7-14)和(7-15)可以计算出平均信号量噪比。当输入信号m(t)在区间-V,V具有均匀概率密度函数，量化电平数M，则均匀量化后的输出信号功率 (7-16)量化噪声功率 (7-17)所以，平均量化信噪比 (7-18)或写成 (7-19)式中，；N为二进制编码位数。由式(7-19)可见，编码位每增加1位，平均量化信噪比就提高6dB。由式(7-17)可见，量化噪声功率Nq只与量化间隔有关。对于均匀量化，是确定的，因而Nq固定不变。但是，信号的强度可能随时间变化。当信号小时，量化信噪比也小。所以，均匀量化对于小输入信号很不利。为了克服这一缺点，改善的小信号时的量化信噪比，在实际应用中常采用非均匀量化。2)非均匀量化为改善小信号时的信号量噪比，在实际应用中常采用非均匀量化。非均匀量化的量化间隔随信号抽样值的大小而变化，信号抽样值小时，也小；信号抽样值大时，也大。具体实现方法是先将信号抽样值压缩，再进行均匀量化。关于电话信号的压缩特性，国际电信联盟(ITU)制定了两种建议，即A压缩律，及相应的近似算法13折线法和15折线法。我国大陆、欧洲各国以及国际间互连时采用A律及相应的13折线法，北美、日本和韩国等少数国家和地区采用率及15折现法。A压缩律 (7-20)式中，x为压缩器归一化输入电压；y为压缩器归一化输出电压；A为常数，它决定压缩程度。在实用中，选择A=87.6.压缩律 (7-21)式中，为常数，它决定压缩程度。A律13折线A律13折线是A压缩律的近似算法。它是用13段折线逼近A=87.6的A律压缩特性的，其特性曲线如图7-4所示。注：图中仅画出了压缩特性曲线的一半（正极性范围）。图7-4 A 律13折线特性13折线的实现方法是，将x轴在01范围内不均匀分成8段，分段的方法是每次以1/2对分，每一段在均匀分成16个量化级，共有128个量化级；y轴在01范围内均匀分成8段，每段间隔1/8，每一段在均匀分为16个量化级。在x轴，第1、2段最短，量化间隔最小，为1/2048，称为最小量化单位；第8段最长，量化间隔为1/32，包含64个最小量化单位。注意：在实际中，量化过程通常是和后续的编码过程结合在一起完成的，不一定存在独立的量化器。4.编码编码就是把量化后的信号电平值变换成二进制码组的过程。1)常用二进制码对于M个量化电平，可以用N位二进制码来表示，其中的每一个码组称为一个码字。在PCM编码中常用的二进制码有三种：自然二进制码、折叠二进制码和格雷二进制码（反射二进制码）。折叠二进码具有镜像特性，即除了其最高位符号相反外，其上下部分呈现镜像关系，或称折叠关系。这种码的优点之一是，在用最高位表示极性后，双极性电压可以采用单极性编码方法来处理，从而使编码电路和编码过程大为简化；优点之二是，误码对于小电压影响较小。由于话音信号小电压出现的概率较大，所以折叠码有利于减小话音信号的平均量化。2) A律13折线编码在话音通信中，通常采用8位的PCM编码。下面将结合我国采用的13折线法的编码，介绍一种码位排列方法。第一位码是极性码，记为a0。当x 0时，a0 = 1；当想x 半个量化级译码电平为 （个量化单位）译码后的量化误差为 个量化单位半个量化级此例也很好地解释了为什么译码器中采用7/12变换电路。它就是为了增加一个Vi/2恒流电流，人为地补上半个量化级，把译码电路的电平置于量化级的中点位置，从而使最大量化误差不超过Vi/2。72 习题解答 7-1 已知一低通信号的频谱为为 (1) 假设以Hz的速率对进行理想抽样，试画出已抽样信号的频谱草图；(2) 若用Hz的速率抽样，重做上题。 解 (1) 由题意知，以抽样信号为 其频谱函数为 当抽样速率=300Hz时 其频谱如图7-18 (a)所示。 (2) 当抽样速率Hz时 其频谱如图9-18 (b)所示。7-2. 对模拟信号m(t) = sin(200t)/(200t)进行抽样。试问：(1)无失真恢复所要求的最小抽样频率为多少？(2)在用最小抽样频率抽样时，1分钟有多少个抽样值？解： (1) 信号的最高频率为fH=200Hz，抽样定理要求无失真恢复所要求的最小抽样频率为Hz (2) 1秒钟抽取400个样值，则1分钟有60400=24 k个抽样值。7-3. 在自然抽样中，模拟信号m(t)和周期性的矩形脉冲串c(t)相乘。已知c(t)的重复频率为fs，每个矩形脉冲的宽度为，fs 1。假设时刻t = 0对应于矩形脉冲的中心点。试问：(1) m(t)经自然抽样后的的频谱，说明fs与的影响；(2) 自然抽样的无失真抽样条件与恢复m(t)的方法。解：(1) 自然抽样是m(t)与c(t)的乘积，所以其频谱可表示为周期重复的频谱分量间隔为抽样频率fs，抽样周期越大，分量间隔越密。各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。各谱线的幅度按Sa(f) 包络线变化。(2) 自然抽样的无失真抽样条件只要满足抽样定理即可，带宽满足这个条件的低通滤波器即可恢复m(t)。7-4. 设信号m(t) = 9 + Acos(t)，其中A 10V。若m(t)被均匀量化为40个电平，试确定所需的二进制码组的位数N和量化间隔。解 因为254026，所以所需的二进制码组的位数N=6位。量化级间隔 V7-5. 采用A律13折线编码，设最小量化间隔为1个单位，已知抽样脉冲值为+635：(1) 试求此时编码器输出码组，并计算量化误差；(2) 写出对应于该7位码（不包括极性码）的均匀量化11位码（采用自然二进制码）解 (1) 已知抽样脉冲值 它位于第7段序号为3的量化级，因此输出码组为 =11100011量化误差为27。(2) 对应的11位均匀量化码位 010011000007-6. 在A律PCM系统中，当归一化输入信号抽样值为0.12、0.3与-0.7时，编码器输出码组是多少？解 所以=，编码器输出码组为11001110 同理可得=，编码器输出码组为11100011= ，编码器输出码组为011101107-7. 对10路带宽均为300Hz3400Hz的模拟信号进行PCM时分复用传输。设抽样速率为8000Hz，抽样后进行8级量化，并编为自然二进制码，码元波形是宽度为的矩形脉冲，且占空比为1。试求传输此时分复用PCM信号所需的奈奎斯特基带带宽解 由抽样频率kHz，可知抽样间隔 (s) 对10路信号进行时分复用，每路占用时间为(s)又对抽样信号8级量化，故需要3位二进制码元编码，每位码元占用时间为(s)因为占空比为1，所以每位码元的矩形脉冲宽度(s)故传输此时分复用PCM信号所需的奈奎斯特基带带宽为(kHz)7-8. 一单路话音信号的最高频率为4kHz，抽样频率为8kHz，以PCM方式传输。设传输信号的波形为矩形脉冲，其宽度为，且占空比为1：(1)若抽样后信号按8级量化，试求PCM机电信号频谱的第一零点频率；(2)若抽样后信号按128级量化，则PCM二进制基带信号频谱的第一零点频率又为多少？解 (1) 由抽样频率kHz，可知抽样间隔(s)对抽样后信号8级量化，故需要3位二进制码编码，每位码元占用时间为 (s)又因占空比为1，所以每位码元的矩形脉冲宽度(s)故PCM基带信号频谱的第一零点频率(kHz)(2) 若抽样后信号按128级量化，故需要7位二进制码编码，每位码元的矩形脉冲宽度为(s)故PCM基带信号频谱的第一零点频率(kHz)7-9. 已知话音信号的最高频率fm = 3400Hz，今用PCM系统传输，要求信号量化噪声比S0/Nq不低于30dB。试求此PCM系统所需的奈奎斯特基带频宽。解 由题意知，量化信噪比所以二进制码位数，故PCM系统所需的最小带宽为(kHz)7-10. 已知正弦信号的频率为4kHz，试分别设计线性PCM与DM系统，使量化信噪比都大于30dB，并比较两系统的数据率。解 设计PCM系统如图所示(1)抽样频率。因为fm=4kHz，所以抽样频率fs=2 fm=8kHz。(2)量化电平数。因为，所以M=32。(3)编码位数N=5。(4)最小带宽。(5)信息速率设计DM系统如图所示，设接收端低通滤波器截止频率为(1)抽样频率。，所以，所以。(2)取抽样频率。(3)最小带宽。(4)信息速率Rb= fs=120 kb/s。综上所述，在两个系统的输出信噪比都满足30dB的要求下，DM系统的信息速率高于PCM系统。三级项目试设计一个8路模拟信号的A/D转换电路，要求采用速率为不低于4000Hz，精度为8bit。解 该项目的原理组成方框图如图P7_1所示，其中，八路模拟信号分别为u0、u1、u2、u3、u4、u5、u6和u7；三根地址信号为A2、A1和A0，采样定时脉冲信号为P_clk，其频率就是采用频率；A/D转换电路与控制电路之间有启动、转换完成、输出使能信号的双向通信。根据题目要求，采用一片AT89C51单片机完成控制和采用定