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第二章 质点力学 本章以单个质点作为研究对象，研究其运动情况，包括质点运动学和质点动力学两部 分。质点运动学部分介绍了质点运动的矢量描述和坐标描述，以及运动描述的相对性。 质点动力学部分介绍了牛顿运动定律，以及在实际中如何运用牛顿运动定律去解题。另 外，本章还介绍了非惯性参照系。 习习 题题 2-1 一质点沿一抛物线y=x2 运动，在任意时刻vx=3m/s，试求在x=2/3m处这质点的速度 和加速度的大小和方向。 分析：已知运动轨迹，求轨迹上某点的速度。利用速度及加速度的微分定义即可求得。 解: 0 . 3= = x v x x xv dt dy y v62= j xiv 6 3 +=+= v ji x v 4 3 3/2 += = += = v 5 2 4 2 3=+=+=v v =538 . 0arcsinarcsin v y v 速度大小为5m/s2，方向与X轴正方向成53角。 Q 0= = x a 186= x v dt y dv y a ja 18= = v 加速度大小为18m/s2，方向沿Y轴正方向。 2-2 一物体沿 X 轴运动，其加速度可以表示为 ax=4x-2 (m/s2)。已知 x0=0,v0=10 m/s， 试求在任意位置 x 处的速度. 分析：已知加速度，求物体运动的速度。利用加速度的微分定义，经移项、积分即可求 得。 解: 因为 v dx dv dt dx dx dv x dt dv a=24 即 vdvdxx=)24( 或 = v v x x vdvdxx 00 )24( 10 ,0 00 =vxQ 代入得： 10044 22 +=xxv 2-3 一物体做直线运动，初速度为零，初始加速度为 a0，出发后每经过时间间隔 ， 加速度均匀增加 a0 ，求经过 t 秒后物体的速度和距出发点的距离。 分析：已知直线运动中的加速度，求物体运动的速度及位移。利用积分定义，即可求得。 解: 物体运动加速度： t a aa 0 0 += t 秒后物体运动的速度为： 20 0 0 2 1 t a taadtv t = t 秒后距出发点的距离： 302 0 0 6 1 2 1 t a tavdtx t = 2-4 如图所示，跨过滑轮 C 的绳子，一端挂有重物 B。另一端 A 被人拉着沿水平方向匀 速运动，其速率0=1.0 m/s，A 点离地面的距离保持着 h=1.5 m。运动开始时，重 物在地面上的 B0处，绳两侧都呈竖直伸长状态，且滑轮离地面 H=10 m，滑轮半径 不计， 求 (1) 重物上升的运动方程； (2) 到达滑轮前的任意 t 时刻的速度和加速度以及到达滑轮处所需要的时间. 分析：本题需要搞清楚两个距离：1.人运动的距离，即人 的位移：tv0 。 2.物体上升的距离， 即物体的位移 （物 体的位移=绳长-） 。以及这两个位移之间的关系（三 角形关系） 。速度及加速度可用微分定义求得。 解: 以B0为原点，竖直向上方向为 x 轴，建立坐标系。由 几何关系，得 2 ) 0 ( 2 )( 2 tvhHl+=+= 将已知条件H，h，v0 代入上式，得 22 5 . 8tl+=+= 根据已知条件，CA 的初始位置在铅直方向。 H h H-h A C B0 x （1）运动方程： 5 . 8 22 5 . 8)(+=+=thHlx （2）速度： 22 5 . 8t t dt dx v + = + = 加速度： 23 ) 2 5 . 8 2 ( 2 2/1 2 5 . 8 2 1 + + = + + = t t t dt dv a 105.8 22 5.8=+=+=tH 所需时间： )(4 .16st = = （负值舍去） 2-5 在距河岸 5.0 千米处有一灯塔，它发出的光束每分钟转动一周。求：当光束扫至与岸 边成 600 角时，光束(光点)沿岸边滑动的速度和加速度。 分析：本题是速度分解的问题，但是需要特别注意的是所求的速度和加速度并不是光束 转速的切向或法向分量，而是切向分量与法向分量在沿岸方向的和。 解法一：由图可得 tLX tan= = t L tL dt dX v 2 cos 2 sec= 当 o 60= = 时， o t30= = ， 3060 2 = (m/s) 698 30 2 cos 30 3 105 = = = o v ) 2 (m/s 4 .84 60 3 cos sin2 2= = = = = o t t LXa & & 解法二：本题的另一种解法是首先求出光点在沿岸边方向上的位移，根据速度和加速度 的微分定义，求出速度和加速度。 r x L X t 用极坐标 rr rrr rvr r vv+=+=+=+=+=+= & & & v 即 vtv= =cos 0 )2( 0 ) 2 ( 2 cos/ ,cos ,cos/ r & & & & r & & & rrrrra thvhtrtrv += =而 += =而 , 0, 222 tan 2 ,tan = += = += & & & & Qttgrtrrtrr vvr t t ha r aa trratr r a = =+= = = =+= = : 2 cos sin 2 2 22 tan 2 22 0 , 2 tan 2 2 注意注意 & & 2-6 如图所示，绕过小滑轮 A 和 B 的绳两端各挂重物 m1 和 m2，绳上的 C 点起始位置 与 D 点重合， 若将此点以匀速率 v0 沿垂线 DC 向下拉， 求 t 时刻两重物的速率。 (AD = BD = l ) 分析： 本题仍然是速度矢量问题。 首先求出物体的位移， 然后应用速度的微分定义求解。 解：当t时刻，c点下降了v0t 22 ) 0 (ltvB+=+= lltvlBx+=+= 22 ) 0 ( D 0 v 0 vC A B m1 r r r v r r v r v r o o t t 0 v r B D C 22 ) 0 ( 2 0 ltv tv dt dx v + = + = 2-7 从地面向高空抛出一球，观察到它在高9.1米处的速度 （米/秒） ，X轴沿水平方向，Y轴沿竖直向上方向，求： （1） 球上升的最大高度； （2） 球所走过的总的水平距离； (3) 球在落地时的速度。 分析：本题已知物体在某点的速度，求物体运动的轨迹及速度等 解：根据运动的叠加原理，把小球的运动分解为X方向和Y方向两个运动的叠加： X方向：小球不受力，作匀速直线运动 t=0 时，x0=0，vx=7.6m/s Y方向：小球受重力作用，作匀减速直线运动， 加速度为重力加速度：a = - g t=0 时，y0=9.1m，vy0=6.1m/s，a= - g = - 9.8m/s2 （1） 球上升到最高点时，Y方向的速度为0 t = 6.1/9.8 = 0.62s 匀加速直线运动的位矢: y=y0+vy0t-(1/2)gt2 所以, 最高点处 y=11m （2）球从最高点到落地，所需要的时间为t, 则: (1/2)gt2=y 所以, 球走过的总的水平距离为: m ttvxx x 1 .16 )5 .162.0(6 .7 ) ( 0 = += += （3）球在落地时的速度为: vx=7.6m/s vy=gt=14.7m/s jiv 1.6 6.7+=+= v 08 . 91 . 6 0 =tgt y v y v 08.91.6 0 =tgt y v y v sgyt5 .1/2= 大小： sm y v x vv/5 .16 2 7 .14 2 6 . 7 22 =+=+=+=+= 方向: 与水平方向夹角: =7.62 6.7 7.14 arctg v v arctg x y 2-8 一半径为 0.1 米的圆盘，可以绕水平轴自由地转动，将一绳绕在圆盘上，绳的外端 栓一物体 A，假设 A 匀加速降落，它的加速度小于重力加速度。已知在 t=0 时 A 的速度为 0.04 米/秒， 2 秒后 A 落下 0.2 米的距离， 求圆盘边缘上任意一点在任一时 刻 t 的切向和法向加速度？ 分析：已知物体的作匀加速运动，求速度。注意：所求速度除切向加速度（物体 A 的加 速度）外，还有法向加速度。 解：已知：t=0 时，v0=0.04m/s t=2 时，x=0.2m 匀加速直线运动： 2 2 1 0 attvx+=+= 将已知条件代入上式，得 切向加速度： aa= = 法向加速度： R v n a 2 = = 又： atvv+=+= 0 ) 2 (m/s 1 . 0 2 )06. 004. 0(t n a + = + = 2-9 物体的坐标为 2 xt=， 2 (1)yt=,式中各量均为国际单位。 求：(1)何时物体速度有极小值？ (2)计算 t=1 秒时的切向和法向加速度 分析：已知物体的运动轨迹，求速度及加速度的分量式。利用法向加速度和切向加速度 的定义即可求出。 解: (1) Q x=t2 xt = = 0 t T T m m ) 2 /( 06. 0sma = = ) 2 /( 06. 0 sma = Q 2 )1( = ty 2 )1(=xy Q tx2= = & ) 1( 2=ty& 48 2 8 22 +=+=+=+=ttyxv & 0 48 2 82 8 16 = + = + = tt t dt dv 时，t=0.5s, 速度有极值 (2) Q 2= =x& & 2= =y& & 2 m/s 22=+=+=yxa & & & t=1 s, ) 2 (m/s 2 48 2 82 816 = = = = = tt t dt dv a ) 2 /( 2 22 smaa n a= 2-10 一质点沿一圆周按下述规律运动：s=t3+2t2，式中 s 是沿圆周测得的路程，以 m 为 单位，t 以 s 为单位，如果当 t=2s 时质点的加速度为 2 16 2/m s，求圆的半径。 分析： 已知圆周运动中路程与时间的函数关系， 可以根据速率的定义： 速率=路程/时间， 得到速率。根据圆周运动法向加速度=v2/R，切向加速度=速度的时间变化率。又已 知某一点的加速度值，可求出圆周的半径。 解：Q s=t3+2t2 tt dt ds v4 2 3+=+= 46 +=+=t dt dv a 2 /16 2 | sm t a= = = = R tt R v n a 2 )4 2 3( 2 + = + =Q R tn a 2 )812( 2 | + = = + = = 2 /216 22 smaaa n a=，又=，又 Q 2562256 400 2 = R n at mR25 16 400 = 2-11 一质点沿半径为 R 的圆周按规律 s=v0t-bt2/2 运动， v0 和 b 都是取正值的量。 求 （1） t 时刻质点的加速度（2) t为何值时加速度的值等于b?（3）加速度为b时，质点已 沿圆周行进了多少圈？ 分析：本题考查圆周运动中路程、速度和加速度之间的关系。 解：(1) 2 2 1 0 bttvs= b dt dv abtv dt ds v= , 0 2 )( 1 2 btv RR v n a= nbtv R ba 2 ) 0 ( 1 +=+= (2) bRbtvb n aaa=+=+=+=+= 2/1 24 ) 0 ( 2 2/1 ) 22 ( b v t 0 = (3) b v b v t bttvs 2 0 2 1 2 2 1 0 0 = = = = = Rb v 4 2 0 R2 s N = 2-12 质点在一平面内运动,其径向速度 r=4 米/秒, 角速度=1.0 弧度/秒,试求质点距 离原点 3 米时的速度及加速度。 分析：本题考查曲线运动中径向速度、横向速度，径向加速度以及横向加速度之间的关 系。注意：径向加速度不仅与径向速度的时间变化率有关，还与横向速度有关； 横向加速度也不仅仅与横向速度的时间变化率有关，同时还与径向速度有关。 解： 1 1, 1 4, 00 = =+= = =+=ssm r vvr r vv v vv Q 0 3 0 4 3 | v vv += = += = r r v 0 , . , 0 , 4 . =rrQ 0 )2( 0 ) 2 ( v & & & & v & & & v rrrrra+=+= 0 8 0 3 0 142 0 3 3 | v v v vv +=+= = +=+= = rr r a 2-13 一质点以角速度 常量运动， 且 ， r0和 b 都是常量， 且 b=, 求 径向速度、径向和横向加速度. 分析：与上题相似，本题考查曲线运动中径向速度、横向速度，径向加速度以及横向加 速度之间的关系。 解： = = & bt err 0 vv = = bt er bt berr r v 00 =& = dt d bt err 0 vv = = 0= = & & bt er bt ebrr 2 0 2 0 = & & 0 2 = & & & rr r a bt errra 2 0 202 =+=+= & & & & 2-14 列车在圆形轨道上自南转向东行驶， t=0 时列车在 O 点，它距 O 点的路程由 l =80t-t2 给出，如图所示,轨道半径 R=1500 米，求列车时过 O 点以后前进至 1200 米处的速度和加速度 。 分析：本题已知路程，求速度和加速度。注：圆周运动中速度始终指向切线方向，所以 实际是求速率。对圆周运动， 、已知速率，加速度可以直接求出。 解： 1200 2 80=tts t=20（s） 或或 t=60（s） 而 0280=t dt ds v 时，t=40（s） 这说明 t=60（s）是返回至 1200 米的时间，舍去. )(4020280 20 | 1200 |sm t v s v= = = = = = = = 又 a dt dv =2 15 16 20 | 2 = = = = = t R v n a na rrr 15 16 2+=+= 2-15 小船渡河，从 A 点出发，如果保持与岸垂直的方向划行，10 分钟以后到达对岸的 C 点，C 点与正对着 A 点位置的 B 点之间的距离是 BC=120 米。如果要使小船正 好到达 B 点，则小船必须向着 D 点方向划行，如题图所示，这时需要 12.5 分钟才 能到达对岸。试求小船划行的速率u，河面宽度 L，水流速度 v 以及航角？ 分析：本题是速度的合成问题。 解：设船相对于地面的速度为 , 则 vuV vv v +=+= 当船由 A 向 B 行驶时， tvuAC)( vv +=+= ut1=L vt1=BC=120m t1=10 分=600s L B A C D v r V v O O 北 东 当船由 A 向 D 行驶时， tvuDB)( vv +=+= Ltu= 2 cos vu= = sin t2=12.5 分=750s 联立解得 smv/2 . 0=流速 =流速 1 / 3 um s= 11 2 cos36.9 t t = 2-16 测得一质点Q在坐标系O中的位置为 22 (64 )( 3 )(3)rittjtk=+ rrr r 米。 (1) 如果在坐标系O内测得Q的位置为 22 (63 )( 3 )(3)rittjtk = + rrr r 米试确定O系相对于O系的速度。 (2)证明在这两个坐标系中，质点的加速度相同。 分析：本题是坐标变换（伽利略变换）的问题。 解：(1) 由位移相对性 )3() 2 3()4 2 6(ktjttir rrr r +=+= )3() 2 3()3 2 6(ktjttir rrr r +=+= 即 ,4 2 6ttx= ,3 2 6ttx+=+= , 2 3ty= = , 2 3ty= , 3= =z , 3= = z , yy = = zz = = 根据伽利略变换，有 utxx= ,4 2 63 2 6vttttt=+=+ ju r v 7= = v r u r V r B D A 由速度相对性 ,)6()412(jtit dt rd v rr r +=+= ,)6()312(jtit dt rd v rr r += =+= = jvvu r vvv 7= (2) 证明 ji dt rd a 6 12 2 2 = r r ji dt rd a 6 12 2 2 = = = r r 在这两个坐标系中，质点的加速度相同。 2-17 一人在静水中划船的速率为u， 现在他在水流速率为v的小河中将船从一岸划向另 一岸，如果他希望用最短的时间到达对岸，应向什么方向划行？如果他希望用最 短路径到达对岸，应向什么方向划行？ 分析：本题与 2-15 题相似，是速度的合成问题。 解：设船沿如图方向划行，则船对地的速度为 vuV vv v +=+= 如右图所示建立直角坐标系，则： juiuvj y ui x uvV cos )sin( )(+=+=+=+= v 由于河宽为L，划船到对岸所需的时间t为： cosu L y V L t= 如果要用最短的时间到达对岸，即t最小，则需要ucos最大，即船相对于地面来 说，在垂直于河水流动的方向上具有最大速度。即船向正对岸方向划行（ =0） 时，可以用最短时间到达对岸。 由于船所行使的实际距离为： 22 )sin( 2 )( 2 )( 2 )( 2 )( Ltuv t y ut x uvt y Vt x V += +=+ += +=+ 要想使船用最短路径到达对岸，则需要 具有最小值 当uv时： 0sin= uv u v arcsin= = x L B A v r u v y tuv)sin( 当u= ，证明平均速度和平均加速度的定义满足这一公式。 分析：本题考察平均速度和平均加速度的概念。平均速度时一段时间内速度的平均值； 平均加速度是一段时间内加速度的平均值。 答：平均速度： 假设速度随时间的变化规律为：( )vv t= vv 在 t 时间内运动的位移为： 0 ( ) t t rv t dt= vv 在 t 时间内的平均速度为： 0 ( ) t t v t dt r v tt = v v v 平均加速度： 假设加速度随时间的变化规律为：( )aa t= vv 在 t 时间内加速度的变化量为： 0 0 ( ) t tt t vva t dt= vvv 在 t 时间内的平均加速度为： 00 ( ) t ttt a t dt vv a tt = v vv v 2-26 已知质点的运动方程x=x(t) ,y=y(t) ，在计算质点的速度大小和加速度大小时，有 人先求出 1 22 2 ()rxy=+ ，然后根据 dr v dt =， 2 2 d r a dt = 求得 ；又有人先求 x dx v dt =， x dx v dt = ， 2 2 x d x a dt =， 2 2 y d x a dt =，然后求得 22 1/222 1/2 ()()() xy dxdy vvv dydx =+=+， 22 1/2 ()() dxdy a dydx =+ ，那一种方法正确？为什么？ 分析：同一题目，用不同方法求解，最终结果相同。本题除考察速度及加速度的概念外， 还要求学生熟练微积分（主要是微分）的运算 答：两种方法都正确，其最终结果是相同的。 以速度的求解为例：第一种方法， 22 1/2 ()rxy=+ 2/122 2/122 2/122 2/122 2/122 22 2/122 2/122 )()( )( )()( )( )22( )( 1 2 1 )( )( 1 2 1 )( dt dy dt dx vv tvtv vtvvtv yx yvxv dt dy y dt dx x yx dt yxd yx yx dt d dt dr v yx yx yyxx yx += += + + = + + = + + = + + = += tt dt dy dt dx vx yx y vy v x v , = = 与第二种方法得到的结果相同。 同理加速度也可以得到相同的结果： 2/12 2 2 2 2 2 2/122 2/122 2/1 22 2/122 2/122 2/122 2 2 )()( )( )()( )( )22( )( 1 2 1 )( )( dt yd dt xd aa tata ataata vv avav dt dv v dt dv v vv vv dt d yx dt d dt d dt rd a yx yx yyxx yx yyxx y y x x yx yx += += + + = + + = + + = += += tatav dt dv dt dv a tt dt dy dt dx v yxx y x x x = = = = y y yx y v a , vy v x v , 与第二种方法得到的结果也相同。 2-27 讨论下面各种说法的正误或确切与否。 分析：这道题目考察力与运动力与运动之间的关系。 (1)物体(质点)具有恒定的速率时，必作直线运动。 答：错误。速率只表示速度的大小，而不考虑方向，所以以恒定速率运动的物体，其运 动方向可能发生改变，此时物体不做直线运动。例如匀速圆周运动，具有恒定的速 率，但是是曲线运动。 (2)物体具有恒定的速度时，必作直线运动。 答：正确。速度是一个矢量，它包括大小和方向两个因素，既然速度恒定，说明大小和 方向这两个方面都是恒定的，那么既然方向恒定，必然是直线运动。 (3)物体的加速度？等于恒量时，必作直线运动。 答：错误。虽然加速度的大小和方向都不变，但是如果物体运动速度的方向与加速度的 方向不同，那么速度的方向将会发生改变，此时物体的运动轨迹不是直线。 (4)物体加速度的绝对值减小时，该物体的速率也一定在减小。 答：错误。只要加速度的方向与速度的方向相同，不管加速度是增大还是减小，物体的 速度都在增加。 (5)速度等于零的物体，其加速度可以不等于零。 答：正确。静止的物体（速度为零） ，如果受到力的作用，就会产生加速度。 (6)在直线运动中，r的方向始终不变。 答：错误。如果初始时刻r的方向与速度方向不一致，那么即使物体作直线运动，r的 方向也是始终在变化的。在直线运动中， r v 的方向始终不变。 (7)物体作曲线运动时必定有加速度，加速度的法向分量必不为零。 答：正确。正是加速度的法向分量在改变物体的运动方向，使物体作曲线运动。 (8)物体作曲线运动时，其加速度一定指向内切圆一方(即凹侧)。 答：正确。曲线运动中，加速度使物体的运动方向向着加速度的方向改变，所以加速度 一定指向物体运动的凹侧。 (9)物体作曲线运动时，其速度一定沿切线方向，即 0 n v ，所以 0 n a 。 答：不确切。前一句正确：物体在作曲线运动时，其速度一定沿切线方向，其法线方向 的速度为零。但是法线方向速度为0，加速度不一定为0，例如，圆周运动，法向 速度为0，但是法向加速度不为0。 (10)物体作圆运动时，其加速度一定指向圆心。 答：不确切。如果是匀速圆周运动，加速度始终指向圆心。但是如果是变速圆周运动， 其加速度是切向加速度和法向加速度之和，不一定指向圆心。 (11)物体具有向西的速度，然而却同时具有向东的加速度。 答：可以有这种情况。加速度与速度的方向相反，也就是物体作减速运动。 (12)只有法向加速度的运动一定是圆周运动。 答：错误。由于只有法向加速度，没有切向加速度，法向加速度改变物体运动的方向， 切向加速度改变物体运动速度的大小。所以物体运动的速度大小不变，只是速度的 方向在发生改变。如果法向加速度的大小不变，则为匀速圆周运动，如果法向加速 度的大小发生变化，则不是圆周运动。 (13)只有切向加速度的运动一定是直线运动。 答：正确。切向加速度只改变运动速度的大小，不改变运动的方向。 2-28 一人在静水中划船的速率为u， 现在他在水流速率为v的小河将船从一岸划向另一 岸，如果他希望用最短的时间到达对岸，应向什么方向划行？如果他希望用最短路 径到达对岸，应向什么方向划行？ 分析：本题考查速度的合成问题。 答：如图所示，船真正的航行速度是船 速与水的速度的合成，即： vuV vv v += vuV vv v += 如果他希望用最短时间到达对岸，他只需要沿垂直河岸的方向滑行，那么如果河宽为l， 他到达对岸需要的时间为：l/u. v u V 如果他希望用最短的路径到达对岸，他应该沿稍逆水的方向划行，使静水中船速与水流 速的合成速度的方向指向河对岸，如图所示。船划行方向与河岸的夹角为： arccos v u 2-29 在平静的湖面上，甲乙两船各以恒速 1 V和 2 V行驶，判断两船是否相撞的最简单方 法是什么？ 分析：已知两物体速度，判断物体的行使轨迹，并考察到达轨迹上某点所需时间。如果 我们选择甲船作为参照系，那么认为甲船不懂，只有乙船在运动，这样判断是否相 撞就容易的多。 答：在平静的湖面上，没有风，说明船无加速度。甲乙两船的速度恒定，那么两船均作 匀速直线运动。 选择甲船作为坐标原点建立坐标系， 求乙船相对于甲船的运动， 得： 12 vvV vv v += 。此时如果乙船的相对速度V v 的方向指向坐标原点（即甲船） ，那么经过 一段时间后，两船会相撞；否则，如果乙船的速度不是指向坐标原点（即甲船）的， 则不会相撞。 2-30在直线运动中， 物体的运动方向是否一定与合力的方向相同？当作用于物体上的合 力增大时，物体的速率是否一定增大？当作用于任何上的合力减小时，物体的速率 是否一定减小？ 分析：这道题目考察的是速度与力之间的关系。 答：根据牛顿运动定律，力是产生加速度的原因，而不是产生速度的原因。所以力的方