理论力学简明教程第二版陈世民答案.pdf

第一章牛顿力学的基本定律 万丈高楼从地起。整个力学大厦的地基将在此筑 起三百年的人类最高科学智慧结晶将飘来他的古朴 与幽香。此时矢量言语将尽显英雄本色微积分更是 风光占尽。 【 要点分析与总结】 1质点运动的描述 1 直线坐标系 rx iy jz k rx iy jz k arx iy jz k =+ =+ =+ r r r r r r r r r e , e, e; e , e, e ; e, e, e . r r r r r r r r r r r r 矢量微分 r kr kr k kk d e eee d t d e eee d t d e ee0 d t = = = r r r r () 0 2 x xx d V 0 d x = 此时势能处极小处 m V 且能量满足 M m VE0 0E VE + ( 2 ) 画出棒的瞬时转动中心的位置. 解如右图所示建立坐标系x o y依图知: 0 2 c o s () s i ns i n A drr riii d t = r r r r 4 =可得 1 a r c c o s () 2 = 2 7 一对称陀螺 质心离顶点的距离为l 对顶点的主转动惯量为 * J * J和 z J。若此陀螺对顶点作规则进动 进动角速度大小为 0 章动 角为 0 。求出陀螺的角速度在对称轴方向的分量. 解因为是规则进动。有 000 0 ,s i ns i n xy = q,q,q; t ) Q= Q( p,pp; q,q,q; t ) LL LL 正则变换的条件 * 1 1 (PQ)() (Q) s s pd qdHHd t UUU d qdd t qQt d U = = + =+ = 依上亦可得 * P U p q U Q U HH t = = = U为母函数当P Q H不显含t时 以上条件等于 1 (PQ) s pd qd = d U= 析 正则变换妙在不解方程而使问题出解。“ 得意忘形” 到极点了。 解题演示 1 .一长为 0 l质量为m的匀质棒斜靠在固定的半球形碗的边 缘一端置于碗内如图。已知碗是光滑的半径为r棒在 碗内的长度为l(2)lr的光 滑球面上弹性圈因自 重而下滑。用虚功原理法语出平衡时弹 性绳圈对球心所张的角度为应满足的方程。 解 易知 绳伸长量 0 2s i nxRl=以O 为参照点 高度为c o shR= Wm ghk xx=+ 00 s i n( 2s i n) 2c o sg l RkRlR = + 22 00 s i n2s i n 22c o s0 W g l RRkk R l = += 化简得 00 2 s i n 2c o ss i n0 2 lg l RR k = 5 .一半径为R的半球形碗内装有两个质量分别为 1 m和 2 m的球 体它们的半径同为r2rR 。用虚功原理求出这两个球体 在碗中平衡时它们的连心线与水平线间的夹角 解如右图所示以o 为参照点取 21 1 2 OO O= 21 OO与水平线 角为。则有 12 () c o s () ,() c o s () OO hRrhRr= = + 12 1212 () s i n ()() s i n () OO WmghmghmgRrmgRr =+= + 则 12 ()s i n ()s i n () W Rrgmm = + 1122 () t a nt a nt a nt a n c o sc o s 0 Rrg mmmm = = 代入 222 t a n ()2 rr RrrRR r = 得 12 12 t a nt a n mm mm = + 12 2 12 () a r c t a n ()2 mmr mmRR r = + 6 .一轻杆长为2l一端光滑铰链于固定点O 另一端点及中点 分别焊接有质量为m和m的小球。 杆可在铅直平面内绕固定点 摆动。写出此力学系统的拉格朗日 函数并求出其作微小摆 动时的周期。 解以O 为参照点取杆与竖直方向夹角为。则有 2222 c o s(2c o s)(2)c o s 114 222 mm Vm g lmglmmg l mm TJJl = += + + =+= 2 2 k s Vm g x= +; 2 22 1 42 k s Tmr =+ q,q,q; t )LL存在 如下关系 , ;, GG pGqG qp = = (1 , 2 , 3, )s=L 证明 1 1 ,()0 s ppGGGG pG qppqqq = = 得, G pG q = 2 1 ,() s qqGGG qG qppqq = = 得, G qG p = 2 3 . 证明一质点关于坐标原点的位矢r r 动量p r 和角动量L r 的直 角坐标分量存在如下关系 y , Lxz= z , Lxy= x , L0x= y , L xz pp= z , L xy pp= x , L0 x p= xy L, L z L= xz L, L y L= 2 x L, L0= 证明 xyzzyxzyx L = LLLrp = ( y p- z p)( z p- x p)( x p- y p)ijkijk+=+ r r r r r r r r r 可得 xzyyxzzyx Ly p- z p, Lz p- x p, Lx p- y p= 1 yyy y , LLL , L() xyz x xx xz ppp = = zzz z , xxx x , LLL , L() LLL , L()0 xyz x xyz x xx xy ppp xx x ppp = = = = 2 yyy y , LLL , L() xx xz xyz pp pp ppx = = = zzz z , xxx x , LLL , L() LLL , L()0 xx xy xyz xx x xyz pp pp ppx pp p ppx = = = = = 3 yy xx xy , LL LL L, L() xyz pp = = yy xx z LL LL L zy yx zppz x py p = = = xzxz xz , LLLL L, L() xyz pp = = xzxz LLLL yy zx y yppy x pz p L = = = 2 xx L, L0 ,LLL= r r 2 xx L, L L,LL= r r xx xxyz zy yzzy L, L, 2 L, LLL 2( LL) 2 ( LLLL) 0 LLLL Lijk Ljk =+ =+ = = = r r r r r r r r r r r 2 4 . 试问变换,2QqPp=是正则变换吗 解因为,P UU p qQ = 则 PQ =Q = =2( 2) UUUUU p d qdd qdd qd qd qdU qQqqq += 即是正则变换 2 5 . 取母函数 1 (,)P s UqPq = = 求出正则变换关系。 解 111 (P)(,) P sss qUqP p qq = = 111 (P)(,) PP sss qUqP Qq = = 2 6 . 试证变换 1 l n (s i n) ,c o tQpPqp q =为一正则变换。 证明 1 PQ =c o t( l n (s i n) )p d qdp d qqp dp q 2 2 c o s1 c o t() s i n (c o t)c o t c o t s i n ()(c o t) (c o t) p p d qqpd pd q pq ppd qqp d p q p d qq d pp d qd p p dp qdqp dp qqp d U = =+ =+ =+ =+ = 2 7 . 证明 变换关系 1111 2222 ( 2)c o s,( 2)s i nqQkPpQkP =为一正则变 换。 证明依 11 22 2 ()c o s,( 2)s i n Q qPpQ kP k = 可得 222 PQ =a r c t a n() 2 ppkq p d qdp d qd k qk + 22 2 2 22 2 22 2 2 2 2 22 (a r c t a n)()(a r c t a n)() 22 1()1() (a r c t a na r c t a n)() 222 () a r c t a n 2222 1 () a r c t a n 22 pq pppkpp kk p d qdddqd pp kk qk qk qk q k qk q ppkpkp dqqdp d q kk qk qk q pkpqp dqd pd q kk q p qpp dk q kk q d U =+ + = + = + =+ = 2 8 . 质量为m 的质点竖直上抛写出质点运动的哈密顿函数。 利用母函数 3 1 () 6 Um gg Qx Q=+作正则变换求解此质点的运动。 求解此质点的运动。其中x为质点上抛的距离Q为“ 新广义 坐标” 在初始时刻 0 0 ,xx= = & 。 解 2 2 x p HTVm g x m =+=+