高等数学同济第五版课后答案第六章.pdf

? 习题 62 1. 求图 621 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为0, 1. 所求的面积为 6 1 12 )( 12 2 3 1 =xxdxxxA. 23 0 0 解法一x 轴上的投影区间为0, 1. 所求的面积为 0 画斜线部分在 y 轴上的区间为1, e. 所求的面积为 (2) 画斜线部分在 1| )()( 1 1 = xx eexdxeeA, 0 解法二投影 1) 1(|lnln= eedyyyydyA e e e . 1 1 1 (3) ? 解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为3, 1. 所求的面积为 3 32 2)3( 1 3 2 =dxxxA. (4) 解 1, 3. 所求的面积为 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为 3 32 | ) 3 1 3()32( 3132 3 1 2 =+=+= xxxdxxxA. 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 2 2 1 xy=与x2+y2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282) 2 1 22 2 22 8(2 0 2 00 2 0 22 1 = dxxdxxdxxdxxxA 3 2 3 cos16 4 0 2 += tdt. 48 ? 3 4 6)2 1 2 =S. 2( 2= A (2) x y=1与直线 y=x 及 x=2; 解: 所求的面积为 =A = 2 0 2ln 2 3 ) 1 (dx x x. ex, y=ex与直线x=1; 解: 所求的 (3) y= 面积为 += 1 0 2 1 )( e edxeeA xx . (4)y=ln x, y 轴与直线 y=ln a, y=ln b (ba0). 解 ? 所求的面积为 abedyeA b a y b a y = ln ln ln ln 3. 求抛物线y=x2+4x3 及其在点(0, 3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解: 过点(0, 3)处的切线的斜率为 4, 切线方程为 y=4(x3). , 切线方程为 y=2x+6. y=2 x+4. 过点(3, 0)处的切线的斜率为2 两切线的交点为) 3 , 2 3 (, 所求的面积为 4 9 34(62)34(34 2 3 0 2 3 2 3 2 =+= dxxxxxxxA. 4. 求抛物线y2=2px及其在点), 2 (p p 处的法线所围成的图形的面积. 解 2yy=2p . 在点处, 1 ), 2 ( = p p y p y,), 2 (p p 法线的斜率 k=1, 法线的方程为) 2 ( p xpy=, 即y p x= 2 3 . ? ), 2 (p p 求得法线与抛物线的两个交点为和)3, 2 9 (pp. 法线与抛物线所围成的图形的面积为 2 3 32 3 2 3 16 ) 6 1 2 1 2 3 () 22 3 (py p yy p dy p y y p A p p p p = . 5. 求由下列各曲线 所围成的图形的面积; (1)=2acos ; 解: 所求的面积为 = 2 2 2 1 2 0 2 cos4)cos2( 2 dadaA=a2. acos3t, y=asin3t; 解 2 (2)x= 所求的面积为 = 2 0 422 0 2 33 0 sincos34)cos()sin(44 tdttatadtaydxA a 22 0 62 0 42 8 3 sinsin12atdttdta = . ? (3)=2 解 所求的面积为 a(2+cos ) 2 2 0 22 2 0 2 18)coscos44(2)cos2(2 2 1 adadaA =+=+= . 6. 求由摆线 x=a(tsin t), y=a(1cos t)的一拱(0t2)与横轴 所围成的图形的面积. 解: 所求的面积为 = aaa dttadttataydxA 2 0 22 2 0 2 0 )cos1 ()cos1 ()cos1 ( 2 2 0 2 3) 2 cos1 cos21 (adt t ta a = + += . 7. 求对数螺线=ae()及射线=所围成的图形面积. 解 ? 所求的面积为 )( 42 )( 2 edeadae 11 22 2 222 =e a . 8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积. (1)=3cos 及=1+cos 解 曲线=3cos 与=1+cos 交点的极坐标为 A ) 3 , 2 3 ( A, ) 3 , 2 3 ( B. 由对称性, 所求的面积为 4 5 )cos3 ( 2 1 )cos1 ( 2 1 2 2 3 2 3 0 2 =+= ddA. (2)sin2=及 解 2cos 2= . ) 6 , 2 2 ( .曲线sin2=与2cos 2= 的交点 M 的极坐标为 M 所求的面积为 2 31 6 2cos 2 1 )sin2( 2 1 2 4 6 6 0 2 +=+= ddA. ? 于曲线ex下方, 9. 求位y=该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积. 解 设直线y=kx与曲线y=ex相切于A(x0, y0)点, 则有 xy ey kxy x x 0 0 )( 0 0 00 , , y0=e, k=e . 所求面 = = = ke 求得x0=1 积为 2 1 ln 2 1 )ln 1 ( 0 00 2 0 e dy y yyyy e dyyy e e ee e =+= . 10. 求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值. 解 设弦的倾角为. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为 10 AAA+=. 显然当 2 =时 1=0; 当 , A 2 1 因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 0. 2 0 3 0 0 3 8 3 8 22axadxaxA aa = . 1. 把抛物线y2=4ax及直线x=x0(x00)所围成的图形绕x轴旋转, 计算 得旋转体的体积. 1 所 解 所得旋转体的体积为 2 0 0 22 224 0 00 xaaxdxdxyV x xx = 00 xa . 12. 由y=x3, x=2, y=0 所围成的图形, 分别绕x轴及y轴旋转, 计算所得 转所得旋转体的体积为 两个旋转体的体积. 解 绕 x 轴旋 7 128 7 1 2 0 7 2 0 6 2 0 2 = xdxxdxyV x . 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为 ? = 8 0 3 2 8 0 22 3282dyydyxVy 5 64 5 3 32 8 0 3 5 =y. 所围成的图形, 绕 x 轴旋, 计算所得旋转体的体积. 解 由对称性, 所求旋转体的体积为 13. 把星形线转 3/23/23/2 ayx=+ dxxadxyV aa = 22 2 2 = 0 3 33 )(2 0 3 0 2 3 4 3 2 3 2 3 4 2 105 32 )33(2adxxxaxaa a =+= . 14. 用 积 分 方 法 证 明 图 中 球 缺 的 体 积 为 )( 2 H RHV=. 3 证明 = R HR R HR dyyRdyyxV)()( 222 ) 3 () 1 ( 32 yyR R HR = 3 2 H RH. 15. 求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生 的体积: (1 的旋转体 ) 2 xy=, 2 yx=, 绕 y 轴; )( 22 = dyyydyV 解 10 3 ) 5 1 2 1 ( 1 0 52 1 0 1 0 =yy. (2) a x aych=, x=0, x=a, y=0, 绕 x 轴; 解 = = 1 0 2 ch udu 3 0 22 0 2 ch)(a x dx a x adxxyV aa 令 au ? 1 0 22 )()2( uuu duee =+= 22 3 1 0 3 2 1 2 2 1 44 u eue aa + ) 2sh2( 4 3 + a = . (3) 2 16) 5( 2= y, 绕 x 轴. 解 +x += 4 4 22 4 4 22 )165 ()165 (dxxdxxV 2 4 0 2 1601640 =dxx . x= (tsin t), =a(1cos t)的一拱, y=0, 绕直线 y=2a . 解 a dyyadxaV 0 2 2 0 2 )2()2( 2323 7)8ata a =+=. 16. 求圆盘 (4)摆线a y a2 = += 2 0 2223 )sin()cos1 (8ttdataa 0 sincos1 (tdta 23 2 222 ayx+绕 x=b(ba0)旋转所成旋转体 解 的体积. += a a a a dyyabdyyabV 222222 )()( 22 0 22 28badyyab a = . 17. 设有一截锥体, 其高为 h, 上、下底均为椭圆, 椭圆的轴 2a、2b 和 2A、求这截锥体的体积. 解 建立坐标系如图. 过 y 轴上 y 点作垂直于 y 轴的平面, 则 易得其 长分别为2B, 平面与截锥体的截面为椭圆,长短半轴分别为 y h aA A , y h bB B . 积为)()(y截面的面 hh B By aA A b . 于是截锥体的体积为 ? )( 2 6 1 )()(bV h = 0 ABahdyy h bB By h aA A+= . 计算底面是半径为 R 的圆, 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角 . x 且垂直于 x( ) 件知, 它是边长为 bAaB 18. 形的立体体积 解 设过点轴的截面面积为 A x , 由已知条 xR 2 的等边三角形的面积, 其值为 )(3)( 22 xRxA=, 322 3 34 )(3RdxxRV R = R 所以 a . 如图, 在 x 处取一宽为 dx 的边梯形, 小曲边梯形绕 y 积近似为 2xf(x)dx, 这就是体积元素, 即 dV=2xf(x)dx, y 轴旋转所成的旋转体的体积为 = b a b dxxxfdxxxfV)(2)(2. 用题 19 和结论, 计算曲线 y=sin x(0x)和 x 轴所围 成的图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积. 解 . 19. 证明 由平面图形 0axb, 0yf(x)绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积为 = b dxxxfV)(2 证明 小曲轴旋转所得的旋转体的体 于是平面图形绕 a 20. 利 2 0 00 2)sincos(2cos2sin2 =+= xxxxxdxdxxV. y=ln x 上相应于83 21. 计算曲线x的一段弧的长度. 解 + =+=+= 8 2 8 3 8 x 3 2 3 2 1 ) 1 (1)(1dx x x dxdxxys, t1 2 = tx,x+ 2 1=, 即 则 令 2 3 ln 2 1 1 1 1 1 11 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 3 2 2 += +=ts = = dt t dtd t t dt t t t t . ? )3 (x 22. 计算曲线 3 弧的长度. x y=上相应于 1x3 的一段 解 xxxy 3 =, 1 xy 2 =, x 1 2 1 x x y 4 11 2 +=, 2 1 4 )(1 2 xy+=+, 1 2 1 x 为 所求弧长 3 4 32)2 3 2 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 3 1 3 1 =+=+= xxxdx x xs. 23. 计算半立方抛物线被抛物线 3 2 x y= 32 ) 1( 3 2 =xy截得的一段弧的长度. 解 由 = = 3 ) 1( 3 2 2 32 x y xy 得两曲线的交点的坐标为) 3 6 , 2(, ) 3 6 , 2(. 所求弧长为 += 2 1 2 12dxys. 因为 2 y x y 2 ) 1( =,) 1( 2 3 ) 1( ) 1 3 4 = 2 ) 1( 2= y yx, 3 2 () 1( 2 4 2 = y x y 所以 x x x . 1) 2 5 ( 9 8 ) 1) 1x3 (13 23 2 ( 2 3 12 2 3 2 1 2 1 =+= dxdxxs. 抛物线y2=2px 从顶点到这曲线上的一点M(x, y)的弧长. 24. 计算 +=+=+= yyy dys yp p dy p y dyyx 0 22 0 2 0 2 1 )(1)(1 解 ? y ypyp p 2222 ) 2 += y py 0 2 ln( 2 1 + p2 ypyp yp p y 22 22 ln 2 + +=. 25. 计算星形线tax 3 cos=, 的全长. 解 用参数方程的弧长公式. tay 3 sin= dttytxs= + 2 0 22 )()(4 += 2 0 2222 cossin3 )sin(cos3 4 dtttatta atdtt6cossin12 2 0 = . 26. 将绕在圆(半径为 a)上的细线放开拉直, 使细线与圆周始终相切, 细线端点画出的轨 迹叫做圆的渐伸线, 它的方程为 )sin(costttax+=, )cos(sintttay=. 计算这曲线上相应于 t 从 0 变到的一段弧的长度. 解 由参数方程弧长公式 +=+= 0 22 0 22 )sin()cos()()(dttattatdttytxs 0 2 2 a tdta=. cos t)上求分摆线第一拱成 1: 3 解 设t从 0 变化到t0时摆线第一拱上对应的弧长为s(t0), 则 27. 在摆线 x=a(tsin t), y=a(1的点的坐标. +=+= 00 0 22 0 22 0 sin)cos1 ()t ()()( tt dttatadtytxts ) 2 cos1 (4 2 sin2 0 0 0t adt t a t = . 当t0=2时, 得第一拱弧长s(2)=8a. 为求分摆线第一拱为 1: 3 的点为A(x, y), 令 ? a t a2) 2 cos1 (4 0 =, 3 2 解得 0 =t, 因而分点的坐标为: aax) 32 () 2 sin 2 (= , 横坐标 23 纵坐标 33 aay 2 3 ) 3 2 cos1 (= , 故所求分点的坐标为) 2 3 ,) 2 3 3 2 (aa . a e=相应于自=0 到的一段弧长 28. 求对数螺线=. 解 用极坐标的弧长公式. daeed aa +=+= 0 22 0 22 )()()()( s ) 1 ( 1 1 2 0 2 + =+= aa e a a dea. 29线1 相应于自 . 求曲= 4 3 =至 3 4 =.的一段弧长 极坐标公式可得所求的弧长 解 按 +=+= 3 4 4 3 2 2 23 4 4 3 22 ) 1 () 1 ()()( dds 2 3 ln 12 5 1 1 3 4 4 3 2 2 +=+= d. 30. 求心形线=a(1+cos )的全长. 解 用极坐标的弧长公式. daads=2 + 0 222 0 22 )sin()cos1 ()()(2 ada8 2 0 cos4= . ? 习题 63 1. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力 F(单位: N)与伸长量 s(单位: cm)成正比, 即 F=ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸 6cm, 计算所作的功. 解 将弹簧一端固定于 A, 另一端在自由长度时的点 O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元 素为 dW=ksds, 所求功为 18 2 1 6 0 2 6 0 =skksdsWk(牛厘米). 2. 直径为 20cm、 高 80cm的圆柱体内充满压强为 10N/cm2的蒸汽. 设温度保持不变, 要 使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？ 解 由玻马定律知: 80000)8010(10 2 =kPV. 设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x厘米时压强 为P(x)牛/厘米2, 则 80000)80)(10()( 2 =xxP, = 80 800 )(xP. 功元素为dxxPdW)()10( 2 =, 所求功为 2ln800 80 1 80000 80 800 )10( 40 0 40 0 2 = = = dxdxW(J). 3. (1)证明: 把质量为 m 的物体从地球表面升高到 h 处所作的功是 hR mgRh W + =, 其中 g 是地面上的重力加速度, R 是地球的半径; (2)一颗人造地球卫星的质量为 173kg, 在高于地面 630km处进入轨道. 问把这颗卫星 从地面送到 630 的高空处, 克服地球引力要作多少功？已知g=9.8m/s2, 地球半径 R=6370km. 证明 (1)取地球中心为坐标原点, 把质量为 m 的物体升高的功元素为 dy y kMm dW 2 =, 所求的功为 )( 2 hRR mMh kdy y kMm W hR R + = + . ? (2) 5 33 324 11 1075. 9 10)6306370(106370 106301098. 5173 1067. 6= + = W(kJ). 4. 一物体按规律 3 ctx=作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由 x=0 移至 x=a 时, 克服媒质阻力所作的功. 解 因为 3 ctx=, 所以 2 3)(cxtxv=, 阻力 422 9tkckvf=. 而 3 2 )(c x t=, 所以 3 4 3 2 3 4 2 9)(9)(xkc c x kcxf=. 功元素 dW=f(x)dx, 所求之功为 3 7 3 2 0 3 4 3 2 0 3 4 3 2 0 7 27 99)(akcdxxkcdxxkcdxxfW aaa = . 5. 用铁锤将一铁钉击入木板, 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比, 在 击第一次时, 将铁钉击入木板 1cm. 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等, 问锤击第二次 时, 铁钉又击入多少？ 解 设锤击第二次时铁钉又击入 hcm, 因木板对铁钉的阻力 f 与铁钉击入木板的深度 x(cm)成正比, 即 f=kx, 功元素 dW=f dx=kxdx, 击第一次作功为 kkxdxW 2 1 1 0 1 =, 击第二次作功为 )2( 2 1 2 1 1 2 hhkkxdxW h += + . 因为, 所以有 21 WW = )2( 2 1 2 1 2 hhkk+=, 解得12=h(cm). 6. 设一锥形贮水池, 深15m, 口径20m, 盛满水, 今以唧筒将水吸尽, 问要作多少功？ ? 解 在水深 x 处, 水平截面半径为xr 3 2 10=, 功元素为 dxxxdxrxdW 22 ) 3 2 10(=, 所求功为 = 15 0 2 ) 3 2 10(dxxxW += 15 0 32 ) 9 4 40100(dxxxx =1875(吨米)=57785.7(kJ). 7. 有一闸门, 它的形状和尺寸如图, 水面超过门顶 2m. 求闸门上所受的水压力. 解 建立 x 轴, 方向向下, 原点在水面. 水压力元素为 xdxdxxdP221=, 闸门上所受的水压力为 212 5 2 2 5 2 = xxdxP(吨)=205. 8(kN). 8. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体, 尺寸如图所示. 当 水箱装满水时, 计算水箱的一个端面所受的压力. 解 建立坐标系如图, 则椭圆的方程为 1 1 ) 4 3 ( ) 4 3 ( 2 2 2 2 =+ y x . 压力元素为 dxxxdxxyxdP 22 ) 4 3 () 4 3 ( 3 8 )(21=, 所求压力为 += 2 2 2 3 0 22 cos 4 3 cos 4 3 )sin1 ( 4 3 3 8 ) 4 3 () 4 3 ( 3 8 tdxttdxxxP ? 16 9 cos 4 9 2 0 2 = tdx(吨)=17.3(kN). (提示: 积分中所作的变换为txsin 4 3 4 3 =) 9. 有一等腰梯形闸门, 它的两条底边各长10m和6m, 高为20m. 较长的底边与水面相 齐. 计算闸门的一侧所受的水压力. 解 建立坐标系如图. 直线 AB 的方程为 xy 10 1 5=, 压力元素为 dxxxdxxyxdP) 5 1 10()(21=, 所求压力为 1467) 5 1 10( 20 0 =dxxxP(吨)=14388(千牛). 10. 一底为 8cm、 高为 6cm 的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与 水面平行, 而顶离水面 3cm, 试求它每面所受的压力. 解 建立坐标系如图. 腰 AC 的方程为xy 3 2 =, 压力元素为 dxxxdxxxdP) 3( 3 4 3 2 2) 3(+=+=, 所求压力为 168) 2 3 3 1 ( 3 4 ) 3( 3 4 6 0 23 6 0 =+=+=xxdxxxP(克)=1.65(牛). 11. 设有一长度为 l、线密度为的均匀细直棒, 在与棒的一端垂直距离为 a 单位处有 一质量为 m 的质点 M, 试求这细棒对质点 M 的引力. 解 建立坐标系如图. 在细直棒上取一小段dy, 引力元素 为 ? dy ya Gm ya dym GdF 2222 + = + = , dF 在 x 轴方向和 y 轴方向上的分力分别为 dF r a dFx=, dF r y dFy=. 22 0 2222 0 22 )( 1 )( laa lGm dy yaya aGmdy ya Gm r a F ll x + = + = + = , ) 11 ( )( 1 22 0 2222 0 22 laa Gmdy yaya Gmdy ya Gm r y F ll y + = + = + = . 12. 设有一半径为 R、中心角为 的圆弧形细棒, 其线密度为常数 . 在圆心处有一 质量为 m 的质点 F. 试求这细棒对质点 M 的引力. 解 根据对称性, Fy=0. cos 2 = R dsmG dFx d R Gm R RdGm coscos )( 2 =, d R Gm Fx = 2 2 cos 2 sin 2 cos 2 2 0 R Gm d R Gm = . 引力的大小为 2 sin 2 R Gm , 方向自 M 点起指向圆弧中点. ? 总 习 题 六 1. 一金属棒长 3m, 离棒左端 xm 处的线密度为 1 1 )( + = x x (kg/m). 问 x 为何值时, 0, x一段的质量为全棒质量的一半? 解 x 应满足 + = + 3 00 1 1 2 1 1 1 dt t dt t x . 因为212 12 1 1 0 0 +=+= + xtdt t x x , 1 12 2 1 1 1 2 1 3 0 3 0 =+= + tdt t , 所以 1212=+x, 4 5 =x(m). 2. 求由曲线=asin, =a(cos+sin)(a0)所围图形公共部分的面积. 解 += 4 3 2 222 )sin(cos 2 1 ) 2 ( 2 1 da a S 24 3 2 22 4 1 )2sin1 ( 28 ad aa =+= . 3. 设抛物线cbxaxy+= 2 通过点(0, 0), 且当 x0, 1时, y0. 试确定 a、b、c 的值, 使得抛物线 与直线 x=1, y=0 所围图形的面积为cbxaxy+= 2 9 4 , 且使该图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积最小. ycbxax +=+ 解 因为抛物线 2 y 通过点(0, 0), 所以 c=0, 从而 bxax += 2 . bxaxy+= 2 与直线 x=1, y=0 所围图形的面积为 抛物线 ? 23 )( 1 0 2 ba dxbxaxS+=+=. 令 9 4 23 =+ ba , 得 9 68a b =. 该图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为 ) 235 ()( 22 1 0 22 abba dxbxaxV+=+= ) 9 68 ( 2 ) 9 68 ( 3 1 5 2 2 aaaa + +=. 令0)128 ( 18 1 81 86 3 12 5 =+ + 2 =a aa d dV , 得 3 5 =a, 于是 b=2. 4. 求由曲线 2 3 xy=与直线 x=4, x 轴所围图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 所求旋转体的体积为 7 512 7 2 22 4 0 2 7 4 0 2 3 = xdxxxV. 5. 求圆盘1) 2( 22 +yx绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 ) 2(122 3