数学物理方法第三章幂级数展开.ppt

数学物理方法,幂级数展开,幂级数展开,复级数 幂级数和泰勒展开 双边幂级数和罗朗展开 孤立奇点 本章小结,复级数,复数项级数 形式：i=1 ui 通项：ui 为复数 部分和：sn = n ui 和：s = lim sn 余项：rn = s - sn = un+1 + un+2 + 收敛：s 存在 0, N(), s.t. nN() = |s-sn|收敛,复级数,收敛性判别法 级数 i=1 ui 比值法 = limk|uk+1/uk| 1，发散。 根值法 = limk|uk|1/k 1，发散。,例： 判断几何级数的敛散性 n=0 a0 qn 解： 1.比值法 = |q| |q|1，发散。 2.根值法 =|q|limk|a0|1/k = |q| |q|1，发散。,复级数,复函项级数 形式：i=1 ui(z) 通项：ui(z) 部分和函数：sn(z) = i=1n ui(z) 和函数：s(z) = lim sn(z) 收敛域： z|s(z)存在 定义：0, N(,z), s.t. nN(,z)|s(z)-sn(z)|0, N(), s.t. nN() |s(z)-sn(z)| 性质： 各项连续和连续，和的积分=各项积分之和； 各项可导和可导，和的导数=各项导数之和,幂级数和泰勒展开,幂级数 形式： s(z) = k=0 ak(z-b)k 收敛域： R = limk|ak/ak+1| = limk|ak+1(z-b)k+1 /ak(z-b)k|=|z-b|/R |z-b|R 1，发散。 一致收敛性： s(z)dz = k=0 ak(z-b)k dz s(z) = k=0 ak(z-b)k,幂级数和泰勒展开,泰勒展开 问题： 一个幂级数是其收敛圆内的解析函数，反之如何？ 泰勒定理： 一个在圆|z-b|=R 内解析的函数f(z)可以展开为幂级数 f(z) = k=0 ak(z-b)k 该幂级数在圆|z-b|=R内收敛； 以b为中心的展开式是唯一的； 系数 ak=f(n)(b)/n! 应用柯西积分公式，系数也可以表示为,幂级数和泰勒展开,展开方法 基本方法（用定理） f(z) = k=0 ak(z-b)k， an=f(n)(b) /n! 例1： 题目： 在b=0的邻域上把f(z)=exp(z)展开。 解答： f(z) = exp(z) f(n)(z) = exp(z) f(n)(0) = 1 an= 1/n! f(z) = k=0 zk/k! 该幂级数在圆|z|内收敛；,幂级数和泰勒展开,例2： 题目： 在b=0的邻域上把f(z)=1/(1-z)展开。 解答： f(z) = 1/(1-z) f(z) = 1/(1-z)2 f”(z) = 2/(1-z)3 f(n)(z) = n!/(1-z)n+1 f(n)(0) = n! an= 1 f(z) = k=0 zk 该幂级数在圆|z|1内收敛；,幂级数和泰勒展开,发散方法（用性质） 线性组合的展开 = 展开之线性组合。 和函数的积分 = 各项积分之和； 和函数的导数 = 各项导数之和； 例3： 题目： 在b=0的邻域上把f(z)=cosh(z)展开。 解答： cosh(z) = exp(z)+exp(-x)/2 exp(z) = k=0 zk/k! exp(-z) = k=0 (-z)k/k! cosh(z) = k=0 zk/k!+ (-z)k/k!/2 = k=0 z2k/(2k)! 该幂级数在圆|z|内收敛；,幂级数和泰勒展开,例4： 题目： 在b = 0 的邻域上把 f(z)=ln(1-z) 展开。 解答： ln(1-z) = -(1-z)-1dz (1-z)-1 = k=0 zk ln(1-z) = -k=0 zk dz = - k=0 zk+1/(k+1) 例5： 题目： 在b = 0 的邻域上把 f(z)= (1-z)-2 展开。 解答： (1-z)-2 = (1-z)-1 (1-z)-1 = k=0 zk (1-z)-2 = k=0 zk = k=0 k zk-1,双边幂级数和罗朗展开,负幂级数 形式： s(z) = k=0 ak(z-b)-k 收敛域： t = 1/|z-b| |t| = 1/|z-b| R = 1/R 双边幂级数 形式： s(z) = k=- ak(z-b) k 分析 双边幂级数 = 正幂级数 + 负幂级数 收敛域： R|z-b|R,双边幂级数和罗朗展开,罗朗展开 问题： 一个双边幂级数是其收敛环内的解析函数，反之如何？ 罗朗定理： 一个在环R1|z-b|R2内解析的函数f(z)可以展开为双边幂级数 f(z) = k= ak(z-b)k 该幂级数在环R1|z-b|R2内收敛； 同一环域中的罗朗展开式是唯一的； 罗朗系数为,双边幂级数和罗朗展开,罗朗展开举例 例1： 题目： 在|z|0的区域上把f(z)=cosh(z)/z展开。 解答： cosh(z) = k=0 z2k/(2k)! cosh(z)/z = k=0 z2k-1/(2k)! 例2： 题目： 在|z|0的区域上把f(z)=exp(1/z)展开。 解答： exp(t) = k=0 tk/k! exp(1/z) = k=0 z-k/k!,双边幂级数和罗朗展开,例3： 题目： 以b=0为中心把f(z)=1/z(z-1)展开。 分析 因为f(z)有两个单极点z=0和z=1, 所以它以b=0为中心的解析环有两个 0|z| 1和1|z|，需要分别展开 解答： 在环域0|z| 1中 f(z) = 1/z(z-1)= -1/z(1-z) = -1/z k=0 zk = -k=0 zk-1 在环域 1|z|中 f(z) = 1/z(z-1) = 1/z2(1-z-1) = 1/z2k=0 z-k = k=0 z-k-2,孤立奇点,概念 奇点： 定义：函数的非解析点； 举例：csc(z)在z=n, csc(1/z)在z=0，1/n ； 判断：初等函数在其定义域内解析； 孤立奇点： 定义：存在解析邻域的奇点； 举例：csc(z)在z=n为孤立奇点, csc(1/z)在z=0为非孤立奇点； 特点：本身无定义，对周围有影响； 判断：只有有限个奇点的函数不存在非孤立奇点；,孤立奇点,分类 原则： 根据函数趋向于孤立奇点时的极限行为的不同来分类； 分类： 极限为有限值，称为可去奇点，例如 sinz/z； 极限为(n阶)无穷大，称为(n阶)极点，例如 1/zn； 极限不存在，称为本性奇点，例如 exp(1/z) ； 性质 奇点 邻域罗朗展开式 可去奇点： 无负幂项； (n阶)极点： 有限个负幂项， (最高为n次) ； 本性奇点： 无限多个负幂项；,本章小结,双边幂级数 形式：s(z) = k=- ak(z-b)k 性质：在环域内