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第二章 检测理论1二元检测： 感兴趣的信号在观测样本中受噪声干扰，根据接收到的测量值样本判决信号的有无。 感兴趣的信号只有两种可能的取值，根据观测样本判决是哪一个。 2二元检测的数学模型：感兴趣的信号s，有两种可能状态：s0、s1。在接收信号的观测样本y中受到噪声n的污染，根据测量值y作出判决：是否存在信号s，或者处于哪个状态。即： y(t)=si(t)+n(t) i=0,1假设：H0：对应s0状态或无信号， H1：对应s1状态或有信号。 检测：根据y及某些先验知识，判断哪个假设成立。 3. 基本概念与术语 先验概率：不依赖于测量值或观测样本的条件下，某事件（假设）发生或 成立的概率。p(H0),p(H1)。 后验概率：在已掌握观测样本或测量值y的前提下，某事件（假设）发生或成立的概率。 p(H0/y),p(H1/y) 。 似然函数：在某假设H0或H1成立的条件下，观测样本y出现的概率。 似然比： 虚警概率 ：无判定为有； 漏报概率 ：有判定为无； （正确）检测概率 ：有判定为有。 平均风险： 4.1 最大后验概率准则（MAP）在二元检测的情况下，有两种可能状态：s0、s1，根据测量值y作出判决：是否存在信号s，或者处于哪个状态。即： y(t)=si(t)+n(t) i=0,1假设：H0：对应s0状态或无信号， H1：对应s1状态或有信号。 如果 成立，判定为H0成立； 否则 成立，判定为H1成立。 利用贝叶斯定理： 可以得到： 如果 成立，判定为H0成立； 如果 成立，判定为H1成立； 定义似然比为： 得到判决准则： 如果 成立，判定为H0成立； 如果 成立，判定为H1成立； 这就是最大后验准则。最佳门限值由先验概率决定。要求在先验概率已知的条件下进行判决。已知：先验概率、在各种假设条件下的概率分布/密度函数。 判决依据：观测信号样本。判决准则：后验概率最大化。数学描述：似然比是否超过门限。其中门限值为先验概率的比值。 即：以观测样本为依据，以似然比为检测统计量，以后验概率最大为衡量标准（准则），以先验概率比为检测门限。4.2 最小错误概率准则如果 成立，判定为H0成立； 否则 成立，判定为H1成立。 可以得到： 如果 成立，判定为H0成立； 如果 成立，判定为H1成立； 定义似然比为： 得到判决准则： 如果 成立，判定为H0成立； 如果 成立，判定为H1成立； 结论与最大后验准则完全一致！ 即：以观测样本为依据，以似然比为检测统计量，以错误概率最小为衡量标准（准则），以先验概率比为检测门限。 5.1 贝叶斯准则贝叶斯准则就是以代价最小化为基准的检测判决准则。 平均代价：判决准则：如果 成立，判定为H0成立； 如果 成立，判定为H1成立； 成立条件： 已知两种假设条件下的概率密度函数； 已知先验概率； 已知代价函数。 5.2贝叶斯准则与最大后验概率准则和最小错误概率准则之间的关系u 当 时，即当两种假设条件下错误判决与正确判决的风险之差为定值（二者相等）时，贝叶斯准则的判决门限仅取决于先验概率比值，此时贝叶斯准则蜕化为最大后验概率准则。此时代价因子在判决过程中不起作用。 u 当满足代价：C00=C11 =0, C10=C01=1条件时，即：正确判决无代价，错误代价相同。贝叶斯准则蜕化为最小错误概率准则。u 如果在判决过程中完全忽略代价、先验概率对判决结果的影响。直接把判决门限取为1，贝叶斯准则蜕化为最大似然准则贝叶斯准则的意义是在先验概率已知条件下，对于给定（预先设定）代价函数，平均代价最小的判决方式。6. 极大极小化准则当先验概率未知时，通过微分求极值，得到： 上式称为极大极小化方程，其中左侧代表H0假设时的代价，右侧代表H1假设发生时代价，该方程就是的解就是使得两者代价平衡。求解得出对应贝叶斯风险最大时的先验概率P(H0)=x=x0 。此时实际风险对于未知先验概率x的斜率为0。即极大极小化解与两个条件风险相等的点相对应。在数值上等于在各种可能的先验概率中贝叶斯风险的最大值。 如果 成立，判定为H0成立； 如果 成立，判定为H1成立； 极大极小化准则只需要预知风险系数，但不需要预先知道先验概率。 7. NP准则聂曼-皮尔逊（Neyman-Pearson）准则：在虚警概率一定的条件下，使检测（发现）概率最大的判决准则。已知：观测样本的概率密度函数 定义似然比为： 判决准则： 如果 成立，判定为H0成立； 如果 成立，判定为H1成立； 门限由给定的虚警概率 决定。 即使在观测样本的概率密度函数 未知，仅 已知时也可以应用。仅需要关于噪声的概率分布情况，而不需要关于信号的任何先验信息。 检测准则及其必备条件准则必备条件先验概率代 价贝叶斯是是MAP是否极大极小化否是Neyman-Pearson否否8. 最大似然准则最大似然准则： 判定为有信号； 判定为无信号。 即等价的似然比门限取值为1。9. 序贯检测与延时判决似然比检测准则：利用一个受噪声干扰的观测样本，计算似然比 ，然后与某准则下的门限进行比较，作出判决。 输出：只有两种选择：有或无。物理本质：在虚警和漏报这两种错误之间进行权衡。二者此消彼长，在临界区域（即信噪比比较低时）顾此则失彼。 存在的问题：随机问题用单个样本分析的结果而不是统计处理的结果进行抉择，进而做决策。信息量严重匮乏，能力受限。 统计处理：序贯检测+延时判决 判决准则调整为：其中 和 分别为上、下门限值。似然比高于上门限，判为有信号，低于下门限，判为无信号。 增加一个选择判断的出口，待定。 如果不能得出一个合理、可靠、低风险的结论，不妨暂缓。稍晚作出一个正确的判决总比过早地作出一个错误的判决风险要低得多。 延时判决当然不是消极的等待，而是要通过序贯的多次的测量获取更多的观测样本，为作出正确判决提供强有力的物理支撑。 10. 二元假设下的多样本检测如果判决时所依据的观测样本有k个，则数学上可通过定义如下的列向量来简化表示： 多样本条件下的条件概率即似然函数可表示为： 似然比为：对应的判决是k维空间的判决问题。其全空间可以划分为两个区域R0和R1。如果向量 位于区域 ，i=0或1，则判决为 。 多重测量样本：可以是时域、频域、空域中的同类样本，也可以是来自于不同测量方式、不同类型的样本。 多样本数据的数学表达与物理意义： 其中u可以是时间t、频率f、角度 或其它参数域符号。 下角标i=0,1，分别表示两种假设的信号状态；j为k个样本的序号。与分别对应于待测信号在传播过程中的衰减与相移。 判决准则与门限：门限与单个样本时完全一样，差别仅在于似然比的计算是基于k维的联合条件概率密度比得到。 贝叶斯准则： 当 成立，判定为H0成立； 当 成立，判定为H1成立； 最小错误概率准则和最大后验准则： 当 成立，判定为H0成立； 当 成立，判定为H1成立； 极大极小化准则： 当 成立，判定为H0成立； 当 成立，判定为H1成立；NP准则：当 成立，判定为H0成立； 当 成立，判定为H1成立； 其中门限 由限定的虚警概率依据多个样本的联合概率密度函数决定。需要进行多重积分计算概率进而得到相应的门限值。 似然比的计算也是基于k维的联合条件概率密度比得到。 11.1 确知信号的检测-匹配滤波器观测信号的数学描述： 是待检测的目标信号，波形已知。 是含有噪声的观测信号样本。 最优准则（最佳的条件）：最大输出信噪比 。（使输出信号峰值处的瞬时功率相对于输出噪声平均功率的比为最大。） 信号：波形确知。 （除了时延和幅度外的所有信息）噪声：平稳、高斯、加性、白噪声； 信号和噪声统计独立。系统：线性时不变系统 信道：单途径时不变信道时域系统函数： 系统函数由信号波形确定频域系统函数： 物理实现：根据系统函数设计滤波器。 基本性质： 对输入波形相似，幅度、时延不同的信号具有适应性；对频移信号其处理能力降低。（若有多普勒频移则处理性能下降） 输出波形形状为信号的自相关积分，并且关于峰值点对称。 峰值点位置出现在信号的后沿时刻，输出峰值正比于输入信号的能量。 时间压缩效应： 处理增益：10lg(BT)，正比于时间带宽积。 输出信噪比：2E/N0，与波形细结构无关。 其中B、T、E、N0分别是系统带宽、观测时间、信号能量、噪声的功率谱密度。 模糊度函数：信号的固有特性，物理上用于表征该信号在时频平面上的可分辨能力。数学上定义为： 匹配滤波器的输出为时延和多普勒为0时的信号的模糊度函数。信号的模糊度函数是带有时延和多普勒频移的匹配滤波器的输出。对信号的分辨能力取决于信号本身。11.2 确知信号的检测-相关接收机拷贝相关器数学描述： 其中z(t)是主动系统发射信号的拷贝（副本）。拷贝相关器与匹配滤波器在性能上等价。基本性质与适用条件（具体实现方法除外）可完全套用匹配滤波器。 对数字系统，相关器可以在时域通过移位乘累加实现，物理上比匹配滤波器更容易实现，应用也更加广泛。 拷贝相关器与自相关器、互相关器的差异：（*与匹配滤波等价的只有拷贝相关器，拷贝相关器与自相关器、互相关器不具有替代性） 自相关：功率谱估计、能量估计、信道估计；单输入（无处理增益） 互相关：互谱、时延差估计、被动测距、被动测向；（有处理增益） 拷贝相关：主动系统，时延估计、确知信号检测。 输入信号条件、特点不同； 处理效果不同。 应用背景不同。 12. 接收机工作特性曲线（ROC） 系统的检测性能与信噪比和门限两个量相关。 关心两个量：虚警和检测概率。 可以由信噪比和门限两个量作为参量，分别以虚警概率和检测概率为横轴、纵轴，形成ROC曲线。13.随机参量信号的检测一个确知信号在发射端发射，经信道传输及目标反射后到达接收端接收，信号受到的影响包括： 传感器频响特性的影响产生的波形畸变；（先验） 接收、发射两端电路的影响。（先验已知） 信道的影响： 传播时延； (与介质、路径有关) 传播衰减； （影响了信号的幅度和能量） 多普勒频移； （有相对运动就会造成多普勒） 相移。 （换能器、电路、信道均会引入相移） 叠加了加性噪声、非加性干扰。（随机） 即除了噪声的影响外，幅度、频率、时延、相位等参数都引入了随机性变化。 应对策略：1. 化未知为已知，即，先估计随机参量，相应的调整处理器的结构或参数，在此基础上进行检测。存在问题：在低信噪比条件下，参数估计的精度低，可能影响检测器的性能。影响程度的大小取决于估计结果的概率分布。该分布是信噪比的函数。信噪比本身通常就是未知的。 增加了设备的复杂性。 2. 采用更宽容的处理技术算法本身对不同参数变化的敏感度分析； 对信号参量的“随机性”评估，采取针对性检测技术的必要性分析。 13.1 随机幅度信号仅有信号幅度是随机性的； 最常见的随机参量信号：一般的雷达、声纳的接收信号的幅度是未知的、随机的。检测统计量：幅度的函数检测准则：NP（在噪声背景中取一个门限，与幅度无关，即，由噪声来控制虚警概率）确知信号的检测方法可用，判决策略加以微调（对雷达、声纳，对通信不需要）。 13.2 随机时延和随机相位信号 除了一个随机的附加相位其它参量已知； 由随机时延和信号采样引起的随机相移； 两种情况等效对于一个窄带单频信号，时延与相位存在一个线性关系。随机时延对匹配滤波器无影响；但是对于拷贝相关器，在数字化的过程中，引入了一个相移，会造成相位信息模糊。若要进行相关检测则需要进行相关性损失补偿，即，采用正交接收机非相关：包络检波：瑞利分布、莱丝分布、取模与平方检波。 相关：双通道，俩个正交参考输入；相关积分+平方求和，门限比较判决。似然比：零阶修正贝塞尔分布；取对数； NP准则：只按照噪声取门限！ 系统简化：利用函数的单调关系，贝塞尔分布、对数、开方等非线性运算均可省略！ 13.3.1 随机多普勒信号信号条件： 信号发射波形已知；多普勒未知； 在信号持续时间内多普勒不变； 相关接收机、匹配滤波器均对多普勒敏感。 多普勒容限预估：与信号本身形式多通道相关的必要性：通道数= 各通道独立判决门限确定：按噪声的统计特性、虚警概率或误码率指标确定（NP，MM）。 13.3.2 随机频率线谱信号如果随机频率信号的频率随机性不是由多普勒引起，而是散布在一个较宽的频带范围内，多路并行的相关接收机结构将变得过于庞大和复杂，不具有可行性。 对未知频率的线谱信号检测，实际的可行技术是基于FFT的功率谱估计。（如周期图、平滑周期图、平均周期图等）如果是单个慢变化的线谱信号，可采用自适应技术实时跟踪线谱的变化。随机参量信号总结 随机幅度：不影响处理器结构，检测门限由虚警概率和噪声特性决定。 随机时延：对模拟的匹配滤波器没有影响。对数字化的相关器其影响等价于随机相移或相位失配。 随机相位：可采用两路正交的相关接收机补充相位失配的影响。或采用非相干接收机。 随机多普勒频偏：多通道接收机实现频率覆盖。 未知频率线谱：基于FFT，功率谱估计。 多未知参量的耦合问题：幅度影响忽略，时延和相位影响合并，随机相位和多普勒同时存在时，采用多通道的正交接收机，忽略各随机参数间的耦合。14. 恒虚警率检测虚警概率取决于噪声的概率分布、检测统计量、门限。 对平稳高斯白噪声背景，当背景分布参数已知时，NP准则条件下的检测器是恒虚警的；当参数（均值、方差）未知时，需要预估参数，才能使虚警概率与预期一致。 对非平稳的白噪声背景，当取固定门限时，恒虚警特性被破坏；可能的应对措施： 噪声背景的归一化噪声增益控制（NGC）；门限与噪声控制电平相匹配；即 基于实时噪声功率估计的自适应门限； 虚警概率由k值唯一确定。无论背景噪声如何变化，均可实现恒虚警率检测。 典型工况条件下的恒虚警率检测：混响条件下的恒虚警检测： （海洋混响的种类：体积混响、海面混响、海底混响。其中在深海条件下，以体积混响为主。混响的时变特性：体积混响按指数规律衰减，海面和海底混响与位置、海深、底质等因素有关；按固定的时间规律衰减；）混响背景下的恒虚警检测时间增益控制；即混响背景的归一化处理。对数恒虚警检测。 杂波背景下的恒虚警检测杂波背景归一化或自适应门限。通常处理原则： 背景统计采用长积分，信号处理采用短积分。通常认为杂波干扰的持续时间大于信号的持续时间，故对于杂波干扰采用长积分，而对于信号采用与其脉宽相匹配的短积分。因此，也可以使用鉴宽器。 讨论：对于水声信道中的多子带处理系统（如OFDM），由于信道环境噪声是非白的。如何实现恒虚警检测？ 15. 非参量检测参量检测： （最佳检测准则和恒虚警检测器成立的物理前提） 已知似然函数； 或至少已知无信号条件下的样本概率分布； 参数先验已知或可预估； 检测统计量直接取自于信号观测样本值或信号参数值，判决则依赖于观测样本的概率分布类型。 非参量检测：检测统计量与观测样本的具体分布无关。 即不依赖于信号样本值及其参数的概率分布具体参数； 非参量检测技术则可以摆脱由统计分布信息不足而带来的束缚。在一些条件受限的场合具有更为现实的物理实用价值。 15.1符号检测器符号检测器是最简单的非参量恒虚警检测器。 物理背景：在H0假设条件下，观测样本取正值与取负值的概率相等。在H1假设条件下，观测样本取正值的概率大于取负值的概率。 二元假设检验的模型为： 假设：H0： y(k)=n(k) 对应无信号状态， H1： y(k)=s (k)+n(k) 对应有信号状态。 检测统计量：观测样本中正值的个数。 判决准则： 当 时判为 H1 ；否则判为 H0 。判决门限 D 由规定的虚警概率 Pfa 确定。 虚警概率：检测概率： 在概率分布及参数已知的条件下，性能逊于NP检测器，但对未知的分布及参数不敏感。稳健性良好。 简单实用。 类似的检测器：过零检测器、鉴宽器等。 15.2 Wilcoxon 秩检测器假设：在 H0 成立条件下，样本服从均值为0的对称分布。 定义： 对输入观测样本 ，取各样本的绝对值 ，按绝对值的大小由小到大顺序排列，Ri 代表排序中的序号，定义检测统计量为： 判决准则：当 时判为 H1 ；否则判为 H0 。 无论对称分布的具体类型有多大差异，或与分布相关的参量如何变化，一旦门限确定，即具有恒虚警特性。 秩检测器的性能优于符号检测器，接近于NP检测器。检测理论总结 影响检测性能的要素： 检测理论、判决准则与门限：取决于先验信息。 与实际应用的背景需求最匹配的检测器是最佳的，了解清楚物理环境和使命任务至关重要。适用条件。 算法与结构： 在不降低性能的前提下追求简单与实用。 性能的改善与提高。提高信干噪比、改进判决机制； 算法与结构的负面影响与应对措施；如数字化 先验信息与盲处理；减少盲点、透明化设计。 信噪比。提高信噪比是最有效手段之一。 理论与应用。关于稳健性、一体化、延时判决等的深入探讨。检测与滤波，时、频、空域联合滤波。 信号、背景与检测器的算法与结构 最佳似然比检测：贝叶斯准则的三个条件： 已知概率密度函数；似然比函数； 已知先验概率； （极大极小准则不需要） 已知代价函数。（最小错误概率准则不需要） 恒虚警检测：只需要已知无信号条件下的噪声概率分布，可扩展到非平稳背景。 非参量检测：不需要概率分布的确切信息，只需进行一些宽松的约束。 确知信号检测：匹配滤波、拷贝相关； 随机参量信号检测：幅度影响忽略、时延和相位影响采用正交接收机，多普勒影响采用多通道接收机。 二、思考题：1. 对数似然比，为什么用对数？答：（1）似然比函数含有指数形式，由于自然对数是单值函数，所以可以对似然比检验判决的两端分别取自然对数，这样就可以去掉似然比中的指数形式，使判决式得到简化。 （2）可以对对数似然比检验判决式进行分子、分母相约，移项，乘系数等运算，使判决式的左边为检验统计量，右侧为门限，是构成的检测系统容易实现，同时带来性能分析方便的优点。（或对指数型的概率密度函数和似然比函数，可以通过取对数来简化数学运算。）2. 最大似然检测时，如果 怎么办？后验概率数学上怎么计算？你怎么看？ 答：对于连续概率分布，落在同一点的概率为0，可以不考虑，对于离散概率分布，考虑其无意义。3. 最小错误概率检测时，计算总错误概率时为什么要加权？答：所有的密度函数都是非加性的。4. 这些先验知识从哪里来？物理上是否可以得到？如果先验知识不足呢？ 5. 与其它准则相比，聂曼-皮尔逊准则的很大优势和特点在哪里？ 答：对应用条件的要求比较低，在前面介绍的几个似然比准则里，要求的先验信息是最少的。6. 似然比检测准则解决了检测中的什么问题？以似然比为检测统计量的门限！局限性？ 答：似然比检测可以定量的算出门限值。7. 检测的使命任务是什么？如何评估其效果？答：为以后的决策提供依据。（检测器性能评估的问题）8. 降低误码、虚警、漏报概率？ 提高检测概率？答：可以提高其物理可实现性、可靠性、稳健性，改变检测域 （提高SNR）9. 在各种似然比准则中，完全看不到一点关于信号特性和信号处理方法的影子，检测效果与此无关？与信号什么关系？与信噪比什么关系？ 答：似然比检测准则只是给出了在一定条件下的门限值，与信号的特性和信号处理方法无关。提高SNR可以提高检测器的检测性能，提高检测概率。10. 影响检测器的性能有哪些？ 答：算法、结构、检测统计量、门限、信噪比 11. 你怎么理解处理增益与输出信噪比之间的关系？ 答：处理增益 = = BT。处理增益越高，输出信噪比越高12. 在实际应用场合，常用带通滤波器替代匹配滤波器实现CW脉冲信号的检测，为什么？CW脉冲信号的BT等于1，你怎样评价匹配滤波器的处理效果？ 答：用带通滤波器替代匹配滤波器实现CW脉冲信号的检测，容易实现，代价小。因为处理增益=10lg(BT)，其中B是系统带宽（或前置滤波器的带宽），经过带通滤波后，可以获得一定的处理增益。尤其是当当输入为白噪声时，有明显的处理增益；若输入的是窄带噪声且带宽与信号带宽相同，则没有处理增益。13. 针对LFM和CW脉冲信号，匹配滤波器的检测效果有什么不同？为什么？答：处理增益=10lg(BT)，若LFM与CW的BT不同则匹配滤波器的处理增益不同。又因为输出信噪比=2E/N0，与波形细结构无关。因此若LFM与CW的信号的E相同，背景噪声N0相同，则输出信噪比相同。14. 多普勒容限取决于什么？（信号的模糊度函数）答：多普勒容限取决于信号的模糊度函数。（模糊度函数是信号的固有特性，物理上用于表征该信号在时频平面上的可分辨能力。）15. 关于相干接收机与相关接收。答：相关接收机利用