2016_2017学年高中数学2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教B版选修.docx

2.3.2离散型随机变量的方差1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.(重点)3.掌握方差的性质以及二点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.(难点)基础初探教材整理1离散型随机变量的方差的概念阅读教材P62例1以上部分，完成下列问题.离散型随机变量的方差与标准差名称定义意义方差一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，xn，这些值对应的概率是p1，p2，pn，则D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn，叫做这个离散型随机变量X的方差.离散型随机变量的方差和标准差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度).标准差D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差.1.下列说法正确的有_(填序号).离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值；离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平；离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平.【解析】错误.因为离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平.错误.因为离散型随机变量X的方差D(X)反映了随机变量偏离于期望的平均程度.错误.因为离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的波动水平，而随机变量的期望E(X)反映了X取值的平均水平.正确.由方差的意义可知.【答案】2.已知随机变量X，D(X)，则的标准差为_.【解析】X的标准差.【答案】教材整理2二点分布、二项分布的方差阅读教材P63例2以下部分，完成下列问题.服从二点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从二点分布，则D(X)p(1p)；(2)若XB(n，p)，则D(X)np(1p).若随机变量X服从二点分布，且成功概率P0.5，则D(X)_，E(X)_. 【导学号：62980055】【解析】E(X)0.5，D(X)0.5(10.5)0.25.【答案】0.250.5质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型离散型随机变量的方差的性质及应用设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽到一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数.(1)求X的分布列、期望及方差；(2)求Y的分布列、期望及方差.【精彩点拨】(1)可先求出X分布列，然后利用期望和方差公式求解；(2)可由Y分布列及其期望、方差、公式求解，也可由期望、方差性质求解.【自主解答】(1)X的可能取值为0,1,2.若X0，表示没有取出次品，其概率为P(X0)，同理，有P(X1)，P(X2).X的分布列为X012PE(X)012，D(X)222.(2)Y的可能取值为1,2,3，显然XY3.法一：P(Y1)P(X2)，P(Y2)P(X1)，P(Y3)P(X0)，Y的分布列为Y123PE(Y)123，D(Y)222.法二：E(Y)E(3X)3E(X)，D(Y)D(3X)(1)2D(X).1.由本例可知，利用公式D(aXb)a2D(X)及E(aXb)aE(X)b来求E(Y)及D(Y)，既避免了求随机变量YaXb的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程.2.若XB(n，p)，则D(X)np(1p)，若X服从二点分布，则D(X)p(1p)，其中p为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程.再练一题1.为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)3，D(X)，求n，p的值.【解】由题意知，X服从二项分布B(n，p)，由E(X)np3，D(X)np(1p)，得1p，p，n6.求离散型随机变量的方差、标准差编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是，求E()和D().【精彩点拨】首先确定的取值，然后求出的分布列，进而求出E()和D()的值.【自主解答】的所有可能取值为0,1,3，0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P(0)；1表示三位同学只有1位同学坐对了.则P(1)；3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P(3).所以，的分布列为013PE()0131；D()(01)2(11)2(31)21.求离散型随机变量的方差的类型及解决方法1.已知分布列型(非二点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下，(1)求均值；(2)求方差.2.已知分布列是二点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，(1)若X服从二点分布，则D(X)p(1p).(2)若XB(n，p)，则D(X)np(1p).3.未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况.4.对于已知D(X)求D(aXb)型，利用方差的性质求解，即利用D(aXb)a2D(X)求解.再练一题2.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为，求E()和D().【解】这3张卡片上的数字之和为，这一变量的可能取值为6,9,12.6表示取出的3张卡片上均标有2，则P(6).9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(9).12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P(12).的分布列为6912PE()69127.8.D()(67.8)2(97.8)2(127.8)23.36.探究共研型期望、方差的综合应用探究1A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10试求E(X1)，E(X2).【提示】E(X1)00.710.220.0630.040.44.E(X2)00.810.0620.0430.100.44.探究2在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？【提示】不能.因为E(X1)E(X2).探究3在探究1中，试想利用什么指标可以比较A、B两台机床加工质量？【提示】利用样本的方差.方差越小，加工的质量越稳定.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求，的分布列；(2)求，的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.【精彩点拨】(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出，的分布列.(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值.【自主解答】(1)由题意得：0.53aa0.11，解得a0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1(0.30.30.2)0.2.所以，的分布列分别为10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.2(2)由(1)得：E()100.590.380.170.19.2；E()100.390.380.270.28.7；D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96；D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.由于E()E()，D()D(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高.构建体系 1.设一随机试验的结果只有A和，且P(A)m，令随机变量则的方差D()等于()A.mB.2m(1m)C.m(m1)D.m(1m)【解析】随机变量的分布列为：01P1mmE()0(1m)1mm.D()(0m)2(1m)(1m)2mm(1m).【答案】D2.已知X的分布列为X101P0.50.30.2则D(X)等于()A.0.7B.0.61C.0.3D.0【解析】E(X)10.500.310.20.3，D(X)0.5(10.3)20.3(00.3)20.2(10.3)20.61.【答案】B3.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，则自动包装机_的质量较好. 【导学号：62980056】【解析】因为E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，故乙包装机的质量稳定.【答案】乙4.一批产品中，次品率为，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D(X)的值为_.【解析】由题意知XB，所以D(X)4.【答案】5.已知离散型随机变量X的分布列如下表：X1012Pabc若E(X)0，D(X)1，求a，b的值.【解】由题意，解得a，bc.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)11，D(X乙)3.4.由此可以估计()A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D.甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较【解析】D(X甲)D(X乙)，乙种水稻比甲种水稻整齐.【答案】B2.设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为()A.n4，p0.6B.n6，p0.4C.n8，p0.3D.n24，p0.1【解析】由题意得，np2.4，np(1p)1.44，1p0.6，p0.4，n6.【答案】B3.已知随机变量X的分布列为P(Xk)，k3,6,9.则D(X)等于() 【导学号：62980057】A.6B.9C.3D.4【解析】E(X)3696.D(X)(36)2(66)2(96)26.【答案】A4.同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为，则D()()A.B.C.D.5【解析】两枚硬币同时出现反面的概率为，故B，因此D()10.故选A.【答案】A5.已知X的分布列为X101P则E(X)，D(X)，P(X0)，其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】E(X)(1)01，故正确；D(X)222，故不正确；P(X0)显然正确.【答案】C二、填空题6.(2014浙江高考)随机变量的取值为0,1,2.若P(0)，E()1，则D()_.【解析】设P(1)a，P(2)b，则解得所以D()01.【答案】7.(2016扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p_时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_.【解析】由独立重复试验的方差公式可以得到D()np(1p)n2，等号在p1p时成立，所以D()max10025，5.【答案】58.一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为_.【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y4X.由题知XB(25,0.6)，所以E(X)250.615，D(X)250.60.46，E(Y)E(4X)4E(X)60，D(Y)D(4X)42D(X)16696，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.【答案】60,96三、解答题9.海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：X121012P0.050.050.80.050.05X221012P0.10.20.40.20.1根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量.【解】E(X1)0，E(X2)0，E(X1)E(X2).D(X1)(20)20.05(10)20.05(00)20.8(10)20.05(20)20.050.5；D(X2)(20)20.1(10)20.2(00)20.4(10)20.2(20)20.11.2.D(X1)D(X2).由上可知，A面大钟的质量较好.10.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4).现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若YaXb，E(Y)1，D(Y)11，试求a，b的值.【解】(1)X的分布列为：X01234PE(X)012341.5.D(X)(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由D(Y)a2D(X)，得a22.7511，得a2.又E(Y)aE(X)b，所以当a2时，由121.5b，得b2；当a2时，由121.5b，得b4.或即为所求.能力提升1.若X是离散型随机变量，P(Xx1)，P(Xx2)，且x1x2，又已知E(X)，D(X)，则x1x2的值为()A.B. C.3D.【解析】E(X)x1x2.x242x1，D(X)22.x1x2，x1x23.【答案】C2.设随机变量的分布列为P(k)Cknk，k0,1,2，n，且E()24，则D()的值为()A.8B.12C.D.16【解析】由题意可知B，nE()24，n36.又D()n368.【答案】A3.变量