2019版高考数学复习第9章平面解析几何10第10讲圆锥曲线中的范围、最值问题教案理.docx

第10讲圆锥曲线中的范围、最值问题范围问题 典例引领 (2018云南第一次统一检测)已知椭圆E的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率等于，P是椭圆E上的点以线段PF1为直径的圆经过F2，且91.(1)求椭圆E的方程；(2)作直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N.如果线段MN被直线2x10平分，求直线l的倾斜角的取值范围【解】(1)依题意，设椭圆E的方程为1(ab0)，半焦距为c.因为椭圆E的离心率等于，所以ca，b2a2c2.因为以线段PF1为直径的圆经过F2，所以PF2F1F2.所以|PF2|.因为91，所以9|21.由，得，所以椭圆E的方程为x21.(2)因为直线x与x轴垂直，且由已知得直线l与直线x相交，所以直线l不可能与x轴垂直，所以设直线l的方程为ykxm.由，得(k29)x22kmx(m29)0.因为直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N，所以4k2m24(k29)(m29)0，即m2k290.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2.因为线段MN被直线2x10平分，所以210，即10.由，得(k29)0，所以13，解得k或kb0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点M(0，2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求的取值范围解：(1)设T(x，y)，由题意知A(4，0)，B(4，0)，设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1，k2.由k1k2，得，整理得1.故椭圆C的方程为1.(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykx2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线PQ与椭圆方程联立，得，消去y，得(4k23)x216kx320.所以x1x2，x1x2.从而，x1x2y1y2x1x2(y12)(y22)2(1k2)x1x22k(x1x2)420.所以20.当直线PQ的斜率不存在时，的值为20.综上，的取值范围为.最值问题(高频考点)圆锥曲线中的最值问题是每年高考的热点，常涉及不等式，函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变主要命题角度有：(1)利用三角函数的有界性求最值；(2)数形结合利用几何性质求最值；(3)建立目标函数求最值；(4)利用基本不等式求最值典例引领 角度一利用三角函数的有界性求最值 过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|BF|的最小值是()A2B. C4D2【解析】设直线AB的倾斜角为，可得|AF|，|BF|，则|AF|BF|4.【答案】C 角度二数形结合利用几何性质求最值 已知椭圆C：1的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A(2，4)，则|PA|PF|的最小值为_【解析】如图，设椭圆的左焦点为F，则|PF|PF|4，所以|PF|4|PF|，所以|PA|PF|PA|PF|4.当且仅当P，A，F三点共线时，|PA|PF|取最小值|AF|5，所以|PA|PF|的最小值为1.【答案】1 角度三建立目标函数求最值 (2017高考浙江卷)如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值【解】(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为x0)的一个焦点为F(1，0)，左、右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点(1)当直线l的倾斜角为45时，求线段CD的长；(2)记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值【解】(1)由题意，c1，b23，所以a24，所以椭圆M的方程为1，易求直线方程为yx1，联立方程，得消去y，得7x28x80，288，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，x1x2，x1x2，所以|CD|x1x2|.(2)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x1，此时ABD与ABC面积相等，|S1S2|0；当直线l的斜率存在时，设直线方程为yk(x1)(k0)，联立方程，得消去y，得(34k2)x28k2x4k2120，0，且x1x2，x1x2，此时|S1S2|2|y2|y1|2|y2y1|2|k(x21)k(x11)|2|k(x1x2)2k|，因为k0，上式，所以|S1S2|的最大值为.圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率e，且椭圆过点.(1)求该椭圆的方程；(2)椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，则F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由解：(1)由题意可设椭圆方程为1(ab0)则解得a24，b23.所以椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设y10，y20，设F1AB的内切圆的半径为R，易知F1AB的周长为4a8，则SF1AB(|AB|F1A|F1B|)R4R，所以当SF1AB取得最大值时，R取得最大值，F1AB的内切圆的面积取得最大值由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为xmy1，由得(3m24)y26my90，所以y1y2，y1y2.则SF1AB|F1F2|(y1y2)，令 t，则m2t21(t1)，所以SF1AB(t1)，令f(t)3t(t1)，则f(t)3，当t1时，f(t)0，f(t)在1，)上单调递增，有f(t)f(1)4，所以SF1AB3，即当t1，即m0时，SF1AB取得最大值，最大值为3，由SF1AB4R，得Rmax，所以所求内切圆面积的最大值为.故F1AB的内切圆面积的最大值为，此时直线l：x1. 求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围 圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解 求解范围、最值问题的两个易错点(1)求范围问题要注意变量自身的范围；(2)利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系注意特殊关系，特殊位置的应用 1如图，抛物线W：y24x与圆C：(x1)2y225交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则PQC的周长的取值范围是()A(10，14)B(12，14)C(10，12)D(9，11)解析：选C.抛物线的准线l：x1，焦点(1，0)，由抛物线定义可得|QC|xQ1，圆(x1)2y225的圆心为C(1，0)，半径为5，可得PQC的周长|QC|PQ|PC|xQ1(xPxQ)56xP，由抛物线y24x及圆(x1)2y225可得交点的横坐标为4，即有xP(4，6)，可得6xP(10，12)，故PQC的周长的取值范围是(10，12)故选C.2过抛物线y22px(p0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若(1)，则的值为_解析：根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得，故y1y2，即.设直线AB的方程为y，联立直线与抛物线方程，消元得y2pyp20.故y1y2p，y1y2p2，2，即2.又1，故4.答案：43已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4且过点(，2)(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求的取值范围解：(1)椭圆C：1(ab0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，2)，(0，2)，2a4，所以a2，b2，即椭圆C的方程是1.(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0，2)，F(0，2)，8.若直线l不垂直于x轴，不妨设l过该椭圆的上焦点，则l的方程为ykx2，设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2k2)x24kx40，则x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)448，因为010，所以82，所以的取值范围是8，24设椭圆M：1(ab0)的离心率与双曲线x2y21的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线yxm交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求PAB面积的最大值解：(1)由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e，由2a4，b2a2c2，得a2，c，b，故椭圆M的方程为1.(2)不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组，得4x22mxm240，由(2m)216(m24)0，得2mb0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B若|PM|2|PA|PB|，求实数的取值范围解：(1)由题意，得a2c，bc，则椭圆E为1.由，得x22x43c20.因为直线1与椭圆E有且仅有一个交点M，所以44(43c2)0c21，所以椭圆E的方程为1.(2)由(1)得M(1，)，因为直线1与y轴交于P(0，2)，所以|PM|2，当直线l与x轴垂直时，|PA|PB|(2)(2)1，所以|PM|2|PA|PB|，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(34k2)x216kx40，依题意得，x1x2，且48(4k21)0，所以|PA|PB|(1k2)x1x2(1k2)1，所以(1)，因为k2，所以b0)的离心率为，椭圆C截直线y1所得线段的长度为2.(1)求椭圆C的方程；(2)动直线l：ykxm(m0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，点N是M关于O的对称点，N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与N分别相切于点E，F，求EDF的最小值解：(1)由椭圆的离