八年级数学下册课后补习班辅导图上距离与实际距离黄金分割讲学案苏科版.docx

图上距离与实际距离、黄金分割【本讲教育信息】一. 教学内容：10.110.3 图上距离与实际距离、黄金分割二. 教学目标：1、结合现实情境了解线段的比和成比例的线段，理解并掌握比例的性质。2、了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义，会找一条线段的黄金分割点，进一步感悟数学与生活的密切联系。3、理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念，能在诸多图形中找出相似图形。三. 教学重点与难点：重点：1、成比例线段的意义和比例的性质。 2、相似三角形的概念与相似图形的识别。难点：黄金分割的概念及其应用。四. 课堂教学：（一）知识要点知识点1、两条线段的比：两条线段长度的比叫做两条线段的比。两条线段的比值一定是没有单位的正数；两条线段的长度单位要一致，其比值与采用的长度单位无关。知识点2、成比例的线段：在4条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么称这4条线段成比例。知识点3、比例的性质（1）基本性质：如果，那么adbc;反过来，如果adbc（b0，d0），那么。（2）合比性质：如果，那么如果，那么（3）等比性质：如果，且bdn0，那么。知识点4、比例中项：如果（或b2ac），那么我们把b叫做a和c的比例中项。知识点5、黄金分割：点B在线段AC上，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点。AB与AC（或BC与AB）的比值约为0.618（精确值为），这个比值称为黄金比。知识点6、黄金矩形：若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形。知识点7、黄金三角形：顶角为36的等腰三角形称为黄金三角形。黄金三角形具有如下性质： （1）底边与腰的比值约为0.618 （2）底角的平分线与对边的交点是该边的黄金分割点。知识点8、相似三角形：各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形，其中对应边的比值叫做它的相似比。知识点9、相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似。相似多边形的对应边的比叫做相似比。【典型例题】 例1. 线段a5，b1，那线段ab与ab的比例中项是 。解：设ab，ab 的比例中项是x，则x2(ab)(ab)，即x264，x224，由题意知x0，所以x 。 所以线段ab，ab的比例中项是。评析：比例中项若是线段则为正，若是数，则可正可负。例2. （1）如图，已知，求的值。（2）如果，（k为常数），那么成立吗，为什么？解：（1）由，得a3b，c3d 因此， （2）成立因为得abk，cdk所以评析：该例题实际为我们展示了一个求比值的常用方法设k法，将等比式化为等积式，用含一个字母的代数式表示另一个字母，再代入求比值。例3. 已知三个数1，2，请你再添上一个（只添一个）数，使它们能构成一个比例式，则这个数是 。 解：从1：2：x，求出x 从1：x：2，求出x 从1：2x：，求出x故这个数为，或评析：这是一道开放创新题，由于题中未明确告知构成比例的各数的顺序，因此所添的数的位置有很大的灵活性。本题只要求添一个数，因此在解题时，不要被这种灵活性所困扰，而应避繁变简。例4. （1）如图，两个矩形是否相似？（2）已知四边形ABCD四边形ABCD，且AB：BC：CD：DA7：6：5：4，若四边形ABCD的周长为44，则AB ，BC= ，CD= ，DA= 解：（1），不相似。 （2）四边形ABCD的四边长的比为7：6：5：4，分别设7x，6x，5x，4x， 7x6x5x4x4422x44x2AB14，BC12，CD10，DA8。评析：从定义的角度出发是我们解决问题一个重要的方法，应加以重视。例5. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，求H的大小及BC、EH的长度。解：四边形ABCD与四边形EFGH相似BF100CG50HD360（ABC）360（4510050）165，由，得BC由，得EHH165，BC，EH评析：本例在求角度时，不但用到了相似多边形性质，还要结合四边形的内角和才可求出H，这就需要正确运用多边形的内角和公式，n边形的内角和（n2）180，求对应边的长时，必须先由已知求出对应边的长，再根据相似多边形的对应边成比例这一性质，列出比例式或方程，从而求出未知边的长度。例6. 科学研究表明：当人的下肢长与身高之比约为0.618时，能使人看起来感到匀称美，某成年女士身高153cm，下肢长92cm，据上述观点，她所选高跟鞋鞋跟的最佳高度应约为多少?(精确到0.1cm)解：设该女士穿高跟鞋时，鞋跟的最佳高度为xcm，根据题意得：(92x)(153x)0.61810.618(153x)92xx6.7(cm)评析：应该特别值得注意的是，该女士穿高跟鞋以后，身高和下肢的长都增加了，其增加的高度均为鞋跟的高度。例7. 古希腊时期的巴农台神庙，把它的正面放在一个矩形ABCD内，以矩形的宽为边在其内部作正方形AEFD，如图，那么我们惊奇地发现：，点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？解：四边形ABCD是矩形，四边形AEFD是正方形ADBCAE又 即因此点E是线段AB的黄金分割点，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比评析：在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这样的矩形叫黄金矩形， 黄金矩形给人以美感。另外还有黄金三角形（顶角为36的等腰三角形）等。例8. 顶角为36的等腰三角形称为黄金三角形，如图ABC，BDC，DEC都是黄金三角形，已知AB1，则DE 。解：ABC，BDC，DEC都是黄金三角形设DEX则DCX，0.618则DE0.6180.618AB0.382评析：用比例式解题很有效，还可以用方程的思想来解。例9. 如图，四边形ABCD与四边形ABCD相似，试求未知边AB， BC的长度以及C的度数。解：四边形ABCD与四边形ABCD相似，它们的对应边成比例，对应角相等； 解得AB27，BC31.5又DD134 C360(7083134)73评析：在利用相似多边形的基本特征解题时，要注意边和角的对应顺序.例10. 如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，DFFC31图中有哪些相似三角形？请说明理由。解：ABEECFAEF理由如下：设正方形的边长为4K，根据题意，得BECE2K，CFK，所以，又因为BC90，所以ABEECF因为AE2AB2BE2，EF2EC2CF2，AF2AD2DF2，所以AE2（4K）2（2K）220K2， EF2（2K）2K25K2， AF2（4K）2（3K）225K2，所以AE2EF2AF2，即AEF90，又因为，所以所以AEFABE，综上所述，ABEECFAEF评析：利用代数计算的方法得到几何论证，也是说理的一种重要方法。【模拟试题】（答题时间：40分钟）（一）选择题1、已知A、B两地的实际距离是250cm，若画在图上的距离是5cm，则图上距离与实际距离的比是（ ） A、150 B、15000 C、1500 D、1500002、若点P是线段AB的黄金分割点（PAPB），则下列式子错误的是（ ）A、AP2ABPB B、 C、BP2ABPA D、AP3、已知线段AB1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（ ） A、 B、 C、 D、以上结论都不对4、下列说法中，正确的是（ ） A、所有的矩形都相似 B、所有的等腰三角形都相似 C、所有的正方形都相似 D、所有的等腰梯形都相似5、有甲、乙两张同样的地图，若它们的比例尺分别为：1100和1300，则甲地图与乙地图的相似比为（ ）A、13 B、31 C、91 D、19（二）填空题：6、正方形的边长与对角线长的比是 。7、已知C是线段AB的黄金分割点（ACBC），那么AC是线段 与 的比例中项；如果AB12cm，那么AC cm，BC cm。8、若两个相似多边形的相似比为23，且周长的和为50cm，那么这两个相似多边形的周长分别为 和 。9、如图所示，在ABC中，BCa，B1，B2，B3，B4是AB边的五等分点，C1，C2，C3，C4是AC边的五等分点，B1C1B2C2B3C3B4C4 。10、如图所示，E为平行四边形ABCD的边长AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点；即ADAE，BE交DC于点F，若AB，则CF的长为 （三）解答题：11、已知xyz235，求的值。12、已知：abcd，证明：。13、科学研究表明，当人的上肢长与下肢长之比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，上肢长为61cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为多少厘米（精确到0.1cm）?14、如图， （1）若，求的值（2）若AO30，AB70，CD105，求OD的长？15、如图，在ABC内任取一点P，连接PA、PB、PC，分别取PA、AB、AC的中点D、E、F，连接DE、EF、FD，DEF与PBC相似吗？请说明理由。【试题答案】（一）选择：1、A 2、