2019版高考数学第3章导数及其应用6第6讲利用导数研究函数零点问题教案.docx

第6讲利用导数研究函数零点问题数形结合法研究零点问题典例引领 已知f(x)ax2(aR)，g(x)2ln x.(1)讨论函数F(x)f(x)g(x)的单调性；(2)若方程f(x)g(x)在区间，e上有两个不相等的解，求a的取值范围【解】(1)F(x)ax22ln x，其定义域为(0，)，所以F(x)2ax(x0)当a0时，由ax210，得x，由ax210，得0x，故当a0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减当a0时，F(x)0(x0)恒成立故当a0时，F(x)在(0，)上单调递减(2)原式等价于方程a在区间，e上有两个不等解令(x)，由(x)易知，(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则(x)max()，而(e)，().由(e)()0，所以(e)()所以(x)min(e)，如图可知(x)a有两个不相等的解时，需a.即f(x)g(x)在，e上有两个不相等的解时a的取值范围为，)含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数图象，根据图象特征求参数的范围 利用函数性质研究函数零点 典例引领 已知函数f(x)xln x，g(x)(x2ax3)ex(a为实数)(1)当a4时，求函数yg(x)在x0处的切线方程；(2)如果关于x的方程g(x)2exf(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围【解】(1)当a4时，g(x)(x24x3)ex，g(0)3，g(x)(x22x1)ex，g(0)1，所以，所求的切线方程为y3x0，即yx3.(2)由g(x)2exf(x)，可得2xln xx2ax3，ax2ln x.设h(x)x2ln x(x0)，所以h(x)1，所以x在上变化时，h(x)，h(x)的变化如下：x1(1，e)h(x)0h(x)单调递减极小值(最小值)单调递增又h3e2，h(1)4，h(e)e2.且h(e)h42e0.所以实数a的取值范围为40；x时，f(x)0，注意f(0)1，f0，则f(x)的大致图象如图(1)所示：不符合题意，排除A、C.当a时，f(x)4x26x2x(2x3)，则当x时，f(x)0，x(0，)时，f(x)0，注意f(0)1，f，则f(x)的大致图象如图(2)所示不符合题意，排除D.3.函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)的导函数的图象如图所示：(1)求a，b的值并写出f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)有三个零点，求c的取值范围解：(1)因为f(x)x3ax2bxc，所以f(x)x22axb.因为f(x)0的两个根为1，2，所以解得a，b2，由导函数的图象可知，当1x2时，f(x)0，函数单调递减，当x1或x2时，f(x)0，函数单调递增，故函数f(x)在(，1)和(2，)上单调递增，在(1，2)上单调递减(2)由(1)得f(x)x3x22xc，函数f(x)在(，1)，(2，)上是增函数，在(1，2)上是减函数，所以函数f(x)的极大值为f(1)c，极小值为f(2)c.而函数f(x)恰有三个零点，故必有解得c.所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是.4已知f(x)3，F(x)ln x3x2.(1)判断f(x)在(0，)上的单调性；(2)判断函数F(x)在(0，)上零点的个数解：(1)f(x)，令f(x)0，解得x1，令f(x)0，解得0x1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)F(x)f(x)3，由(1)得x1，x2，满足0x11x2，使得f(x)在(0，x1)上大于0，在(x1，x2)上小于0，在(x2，)上大于0，即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增，而F(1)0，x0时，F(x)，x时，F(x)，画出函数F(x)的草图，如图所示故F(x)在(0，)上的零点有3个1已知函数f(x)(2a)(x1)2ln x(aR)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在上无零点，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)x12ln x，则f(x)1，由f(x)0，得x2，由f(x)0，得0x2，故f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，)(2)因为f(x)0在区间上恒成立不可能，故要使函数f(x)在上无零点，只要对任意的x，f(x)0恒成立，即对x，a2恒成立令h(x)2，x，则h(x)，再令m(x)2ln x2，x，则m(x)0，故m(x)在上为减函数，于是，m(x)m42ln 30，从而h(x)0，于是h(x)在上为增函数，所以h(x)h23ln 3，所以a的取值范围为23ln 3，)2(2018豫南九校联考)对于函数yH(x)，若在其定义域内存在x0，使得x0H(x0)1成立，则称x0为函数H(x)的“倒数点”已知函数f(x)ln x，g(x)(x1)21.(1)求证：函数f(x)有“倒数点”，并讨论函数f(x)的“倒数点”的个数；(2)若当x1时，不等式xf(x)mg(x) x恒成立，试求实数m的取值范围解：(1)证明：设h(x)ln x(x0)，则h(x)0(x0)，所以h(x)在(0，)上为单调递增函数而h(1)0，h(e)0，所以函数h(x)有零点且只有一个零点所以函数f(x)有“倒数点”且只有一个“倒数点”(2)xf(x)mg(x)x等价于2xln xm(x21)，设d(x)2ln xm，x1.则d(x)，x1，易知mx22xm0的判别式为44 m2.当m1时，d(x)0，d(x)在1，)上单调递减，d(x)d(1)0，符合题意；当0m1时，方程mx22xm0有两个正根且0x11x2，则函数d(x)在(1，x2)上单调递增，此时d(x)d(1)0，不合题意；当m0时，d(x)0，d(x)在(1，)上单调递增，