2019版高考数学第12章复数、算法、推理与证明4第4讲直接证明与间接证明教案理.docx

第4讲直接证明与间接证明1直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法综合法又称为：由因导果法(顺推证法)(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法分析法又称为：执果索因法(逆推证法)2间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法3证题的三种思路(1)综合法证题的一般思路用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论(2)分析法证题的一般思路分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件(3)反证法证题的一般思路反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾()(5)常常用分析法寻找解题的思路与方法，用综合法展现解决问题的过程()答案：(1)(2)(3)(4)(5) 下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是逆推法；反证法是间接证法其中正确的有()A2个 B3个 C4个 D5个解析：选D.由分析法、综合法、反证法的定义知都正确 (教材习题改编)设m1，n2，则m与n的大小关系是()Amn BmnCmn Dmn解析：选C.法一：m2n2(1)2(2)2428240，又m0，n0.所以mn，故选C.法二：假设mn，即12.则有(1)2(2)2，即428，即24，即2，即34，显然错误，所以mn，故选C. 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设_答案：三角形三个内角都大于60 在不等边三角形中，a为最大边，要想得到边a的对角A为钝角的结论，三边a，b，c应满足_解析：由余弦定理cos A0，所以b2c2a2b2c2.答案：a2b2c2综合法 典例引领 如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D为BC的中点(1)若平面ABC平面BCC1B1，求证：ADDC1.(2)求证：A1B平面ADC1.【证明】(1)因为ABAC，D为BC的中点，所以ADBC，因为平面ABC平面BCC1B1，平面ABC平面BCC1B1BC，AD平面ABC，所以AD平面BCC1B1，因为DC1平面BCC1B1，所以ADDC1.(2)连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点，因为D为BC的中点，所以ODA1B，因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B平面ADC1.综合法的证题思路(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 在ABC中，设a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且直线bxycos Acos B0与axycos Bcos A0平行，求证：ABC是直角三角形证明：法一：由两直线平行可知bcos Bacos A0，由正弦定理可知sin Bcos Bsin Acos A0，即sin 2Bsin 2A0，故2A2B或2A2B，即AB或AB.若AB，则ab，cos Acos B，两直线重合，不符合题意，故AB，即ABC是直角三角形法二：由两直线平行可知bcos Bacos A0，由余弦定理，得ab，所以a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，所以c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)，所以(a2b2)(a2b2c2)0，所以ab或a2b2c2.若ab，则两直线重合，不符合题意，故a2b2c2，即ABC是直角三角形分析法 典例引领 已知数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)证明：对任意的n1，都存在mN*，使得a1，an，am成等比数列【解】(1)由Sn，得a1S11，当n2时，anSnSn13n2，当n1时也适合，所以数列an的通项公式为an3n2.(2)证明：要使得a1，an，am成等比数列，只需要aa1am，即(3n2)21(3m2)，即m3n24n2，而此时mN*，且mn，所以对任意的n1，都存在mN*，使得a1，an，am成等比数列分析法的证题思路先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证提醒要注意书写格式的规范性 ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：.证明：要证，即证3，也就是证1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2.又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立反证法 典例引领 设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b0，用分析法证明2 Bx24Cx20 Dx21解析：选C.因为x0，所以要证1，只需证()2，即证00，因为x0，所以x20成立，故原不等式成立3若a，bR，则下面四个式子中恒成立的是()Alg(1a2)0 Ba2b22(ab1)Ca23ab2b2 D.0，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负值 B恒等于零C恒为正值 D无法确定正负解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)0.6用反证法证明命题“若x2(ab)xab0，则xa且xb”时，应假设为_解析：“xa且xb”的否定是“xa或xb”，因此应假设为xa或xb.答案：xa或xb7(2018福州模拟)如果abab，则a，b应满足的条件是_解析：abab，即()2()0，需满足a0，b0且ab.答案：a0，b0且ab8已知点An(n，an)为函数y图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nN*，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_解析：由条件得cnanbnn，所以cn随n的增大而减小，所以cn1cn.答案：cn10，求证：2a3b32ab2a2b.证明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0，2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.10已知函数f(x)ln(1x)，g(x)abxx2x3，函数yf(x)与函数yg(x)的图象在交点(0，0)处有公共切线(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)g(x)解：(1)f(x)，g(x)bxx2，由题意得解得a0，b1.(2)证明：令h(x)f(x)g(x)ln(x1)x3x2x(x1)h(x)x2x1.h(x)在(1，0)上为增函数，在(0，)上为减函数h(x)maxh(0)0，所以h(x)h(0)0，即f(x)g(x)1已知a，b，cR，若1且2，则下列结论成立的是()Aa，b，c同号Bb，c同号，a与它们异号Ca，c同号，b与它们异号Db，c同号，a与b，c的符号关系不确定解析：选A.由1知与同号，若0且0，不等式2显然成立，若0且0，0，2 2，即0且0，即a，b，c同号2在等比数列an中，a1a2a3是数列an递增的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选C.当a1a2a3时，设公比为q，由a1a1q0，则1q1，此时，显然数列an是递增数列，若a1qq2，即0q1，此时，数列an也是递增数列，反之，当数列an是递增数列时，显然a1a2a3.故a1a20，公差d0.(1)若a11，d2，且，成等比数列，求整数m的值；(2)求证：对任意正整数n，都不成等差数列解：(1)由题意，得，(a)2(a1am)2，因为a11，d2，所以aa1am，491(m1)2，解得m25.(2)证明：假设，成等差数列，则，即，所以a(an1an2)a(anan1)，a(2an3d)(an2d)2(2and)，即2d(3a6and2d2)0，因为a10，d0，所以ana1(n1)d0，故2d(3a6and2d2)0这与式矛盾，所以假设不成立即对任意正整数n，都不成等差数列6若f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(ab)，则称函数f(x)是a，b上的“四维光军”函数(1)设g(x)x2x是1，b上的“四维光军”函数，求常数b的值；(2)是否存在常数a，b(a2)，使函数